Учебник. Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью. Тогда любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью.

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.

Комплексные числа на плоскости

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r. Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z → ; величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –1 – i.

Источник

Что такое arg в математике

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Комплексные числа

Мнимая единица

На специальной панели символов системы Mathematica имеется мнимая единица, но иногда ее удобно ввести просто как букву I или даже как \[Imaginaryi] или \[ImaginaryJ]. Вот примеры.

Вещественная часть комплексного числа: функция Re

Это совсем незамысловатая функция, возвращающая вещественную часть комплексного числа.

Заметьте, что в последнем примере вещественность а и b не предполагается.

Мнимая часть комплексного числа: функция Im

Тоже совсем незамысловатая функция, возвращающая мнимую часть комплексного числа.

Заметьте, что в случае Im[a+b I] вещественность а и b не предполагается – в отличие от случая, когда используется функция ComplexExpand.

Аргумент комплексного числа: функция Arg

Функция Arg[z] возвращает аргумент комплексного числа z.

Вот как, например, можно получить аргументы корней четвертой степени из 1.

Возвращаемый угол всегда по абсолютной величине не превосходит n.

Сопряженное комплексное число: функция Conjugate

Выражение Conjugate [z] представляет собой сопряженное комплексное число z. Вот как, например, можно получить число, сопряженное к х+I у.

Заметьте, что х и у предполагаются комплексными.

Резюме

Мы рассмотрели основные числовые системы, предусмотренные в системе Mathematica. Они полностью охватывают классическую математику. Благодаря такому богатству система Mathematica может помочь в решении практически любых математических задач. Но благодаря этому же богатству при решении задач можно столкнуться с теми же проблемами, что и в математике. И потому решение исследовательских задач с помощью системы Mathematica может потребовать основательного знакомства с методологией применения данной системы в конкретной области науки и техники. Конечно, по высказыванию Гаусса, математика – царица всех наук. И потому в первую очередь следует освоить именно методологию применения системы Mathematica к решению математических задач. И начнем мы с царицы математики (по выражению того же Гаусса) – с арифметики.

Источник

Меняя реальность: что такое ARG?

Игры бывают разные. На наш взгляд, самые лучшие из них – те, которые с головой погружают тебя в процесс и не дают продохнуть, стирая грань между фантазией и реальностью. И лучше всего с этой задачей справляются ARG – «игры в альтернативной реальности», интерактивные рассказы, в которых именно ты – Протагонист. Весь мир – твоя игровая площадка, все вещи вокруг – твой геймпад. Однако сразу вникнуть в суть этого явления трудно. Мы поможем разобраться.

Что нужно знать для начала?

Итак, ARG (Augmented Reality Game – «игра в дополненной реальности») – это новый вид интерактивных развлечений, родившийся в эпоху развития интернета. В его основе лежит художественный сюжет, обрывки которого участники получают в ходе игры. Чтобы сделать повествование и игровой процесс более насыщенными, авторы используют множество механик, завязанных на различных медиаобъектах – интернете, телевидении, сотовых и телефонных сетях, QR-кодах, мобильных приложениях и так далее. Например, в ходе игры нужно позвонить кому-либо, получить от него «морзянкой» код, который поможет разблокировать видео на отдельном сайте, а это видео надо будет проиграть задом наперёд, чтобы получить зашифрованный текст со ссылкой на новый сайт и так далее, и так далее, и так далее…

Но зачастую игрокам приходится искать куски глобальной головоломки ещё и в реальном мире, например, на улицах городов и рядом с достопримечательностями. Так, в некоторых ARG авторы прикапывают сундуки с сокровищами в разных точках планеты, а потом на определённом этапе скидывают игрокам координаты. Или же в какой-то момент начинают расклеивать в нужном районе плакаты с новой загадкой. Это отличает ARG от обычных «квестов» – глобальность происходящего завораживает.

Главное условие – всё, что происходит с участником, не должно выглядеть как игра. Максимальный натурализм и минимум фантастики – в этом сущность ARG. Кстати, для лучшего понимания советуем триллер Дэвида Финчера «Игра» – там главный герой принимает участие в чём-то очень похожем на классическую ARG. Именно этот фильм вдохновил создателей первых «игр в альтернативной реальности».

Обычно ARG создаются для пиар-кампании какого-либо продукта, например, фильма, сериала или видеоигры. Это – отличный маркетинговый ход, который запомнится потребителю намного лучше, чем классическая реклама. Попасть же в игру можно с помощью так называемых «кроличьих нор» – объектов, относящихся ко вселенной ARG. Это могут быть постеры, мемы, кадры из трейлеров, телефонные номера, файлы в социальных сетях и многое другое – всё зависит от фантазии создателей конкретной истории.

Как создаются ARG?

Проектирование ARG – дело трудоёмкое, но интересное. Всё благодаря количеству любопытных решений и поворотов, которые можно внедрить в игру. Но есть набор определённых стартовых особенностей, на которые авторы обязательно обращают внимание при создании новых ARG.

1. Информация – это ключ

Два основных действия в ARG – поиск информации и обмен всё той же информацией. Задача разработчика состоит в том, чтобы сделать их максимально удобными и увлекательными для конечного пользователя.

2. Археологическое повествование

Сюжеты ARG обычно не подаются участникам на блюдечке – у данных игр нет чёткой, хронологически верной линии, по которой бы шли все причастные. Напротив, создатели стараются разбросать фрагменты истории по всем доступным углам, предоставляя игрокам возможность самостоятельно собрать их и отыскать нужные связи.

Нельзя запереть ARG только в интернете или в сотовых сетях – они должны задействовать максимально возможное количество объектов медиасреды, чтобы разнообразить повествование.

4. Один за всех и все за одного

Залогом успеха для прохождения ARG необходимо сделать коллективную работу. Для этого разработчики вводят загадки из абсолютно разных областей знаний, что заставляет одиночек объединяться в команды, а команды – формировать целые сообщества. Ведь знать всё на свете – нереально, но всегда можно найти человека, который сведущ в необходимой тебе сфере.

5. Шёпот громче крика

Главное средство для продвижения ARG – антимаркетинг. Создатели не кричат о своей игре на каждом углу, а наоборот, всячески утаивают её существование. И это работает – чрезмерная секретность привлекает гораздо сильнее, ведь участники чувствуют себя посвященными в нечто недоступное обывателям.

Несмотря на то, что организаторы ARG заранее прописывают основную канву происходящего, они также ориентируются на действия игроков, запутывая и переворачивая ход игры, или наоборот, помогая подсказками и новыми «кроличьими норами».

Конечно, все эти «особенности проектировки» весьма условны, и разработчики вполне могут обойтись без некоторых из них. Более важными являются принципы ARG – характерные признаки игр в альтернативной реальности, отсутствие которых ставит под вопрос причисление проекта к данной категории развлечений.

В чём состоят основные принципы ARG?

TINAG

TINAG, или This Is Not A Game – незыблемый принцип. Он состоит в следующем – ARG сами по себе не признают, что они игры. Все инструменты (вроде телефонных номеров, электронных почт или сайтов) активны и работают в реальности. Всё действие происходит в реальном времени и не повторяется. Четких правил у ARG нет – есть только тонко очерченные границы вселенной. Все персонажи – реальные, живые люди, которые действуют соответствующе и подстраиваются под ситуацию, например, при встречах с игроками.

За занавесом

ARG – это, в сущности, огромное иммерсивное театрализованное представление. И режиссёр в этом случае до последней минуты остаётся в тени, за таинственным занавесом. В классической терминологии создателей ARG называют «кукловодами». Соответственно, персонажи и действующие лица, которых в ходе игры встречают игроки, будут называться «марионетками». Для сохранения эстетики TINAG очень важно, чтобы «кукловоды» общались с участниками только через «марионеток», окружение или с помощью медиаобъектов.

Ты – герой

В ARG участнику не нужно создавать своего героя с нуля или примерять на себя роль другого персонажа. Именно ты сам, со своими знаниями и умениями, являешься протагонистом этой истории. И твой уникальный жизненный опыт способен помочь сообществу выйти из очередного тупика.

(Не)реальность

Принцип, явно противоречащий TINAG. При всей «реальности» происходящего в ARG, она скрыто или явно демонстрирует свои границы и общую «художественность» процесса. Это сделано, чтобы уберечь чересчур впечатлительных и внушаемых игроков. Также этот принцип помогает разработчикам избежать проблем с законом и других подобных проволочек – мало ли кто решит заявить в полицию об «убийстве», «мошенничестве» или «глобальном заговоре»?

А какая ARG была первой?

Первой ARG считают «Зверя» – трёхмесячную игру, которая проводилась в 2001 году в качестве пиар-кампании картины «Искусственный интеллект» и одноимённой серии видеоигр. The Beast – объект совместного творчества режиссёра Стивена Спилберга, креативного директора компании «Майкрософт» Джордана Вайсмана, гейм-дизайнера Элана Ли, фантаста Шона Стюарта и разработчика Пита Фенлона. Они придумали детективную историю, завязанную на убийстве одного из персонажей (Эвана Чана) и использовании другого (Джанин Сала) в качестве ключа к происходящему. Попасть в эту ARG можно было с помощью трейлеров и постеров, где упоминалась Джанин Сала. Ещё одной «кроличьей норой» был телефонный номер в одном из трейлеров, который помогал игрокам получить электронное письмо с подсказками и дальнейшими указаниями. Всего в ARG было задействовано несколько сотен сайтов, множество электронных почтовых адресов, факсов и рекламных объявлений.

«Зверь» произвел настоящий фурор и понравился как игрокам (общее число которых достигло 3 миллионов), так и критикам. Кроме того, он помог сформировать Cloudmakers – первое сообщество пользователей, совместно трудившихся над разгадкой ARG. Оно активно и сейчас.

Другие известные примеры

Вот небольшой список других масштабных ARG, проходивших с 2001 по 2020 годы:

Lost Experience и FIND 815 – сразу две игры, созданные для пиар-кампании культового сериала «Остаться в живых».

Why so serious? – ARG, приуроченная к выходу фильма «Тёмный рыцарь», в которой игроки становились последователями культа Джокера.

I Love Bees – уникальная ARG в формате интерактивной радиодрамы, созданная для привлечения внимания к выходу Halo 2.

Portal – ARG от Valve, выступившая в качестве анонса сиквела игры, Portal 2.

The Art of the Heist – игра со взломом множества файлов, которую разработали по заказу Audi в качестве промоушена Audi A3.

Mr. Robot – игра по мотивам одноимённого сериала, запущенная перед выходом второго сезона.

Cipher Hunt – игра от Алекса Хирша, создателя «Гравити Фолз», происходящая во вселенной мультсериала.

Источник

Что такое *args и **kwargs в Python?

Функции — это жизнь. Правда? Если вы только начали осваивать Python, неважно — первый ли это ваш язык программирования, или вы пришли в Python из другого языка, то вы уже знаете о том, что количество параметров в объявлении функции соответствует количеству аргументов, которые передают функции при вызове.

Не позволяйте всяким значкам загонять себя в ступор. Тут нет ничего архисложного. В общем-то, если эти конструкции вам незнакомы — предлагаю с ними разобраться.

Позиционные и именованные аргументы

Сначала поговорим о том, чем они отличаются. В простейшей функции мы просто сопоставляем позиции аргументов и параметров. Аргумент №1 соответствует параметру №1, аргумент №2 — параметру №2 и так далее.

Для вызова функции необходимы все три аргумента. Если пропустить хотя бы один из них — будет выдано сообщение об ошибке.

Если при объявлении функции назначить параметру значение по умолчанию — указывать соответствующий аргумент при вызове функции уже необязательно. Параметр становится опциональным.

Опциональные параметры, кроме того, можно задавать при вызове функции, используя их имена.

В следующем примере установим три параметра в значение по умолчанию None и взглянем на то, как их можно назначать, используя их имена и не обращая внимания на порядок следования аргументов, применяемых при вызове функции.

Оператор «звёздочка»

Оператор * чаще всего ассоциируется у людей с операцией умножения, но в Python он имеет и другой смысл.

Этот оператор позволяет «распаковывать» объекты, внутри которых хранятся некие элементы. Вот пример:

Как пользоваться *args и **kwargs

Итак, мы знаем о том, что оператор «звёздочка» в Python способен «вытаскивать» из объектов составляющие их элементы. Знаем мы и о том, что существует два вида параметров функций. Вполне возможно, что вы уже додумались до этого сами, но я, на всякий случай, скажу об этом. А именно, *args — это сокращение от «arguments» (аргументы), а **kwargs — сокращение от «keyword arguments» (именованные аргументы).

Каждая из этих конструкций используется для распаковки аргументов соответствующего типа, позволяя вызывать функции со списком аргументов переменной длины. Например — создадим функцию, которая умеет выводить результаты, набранные учеником в тесте:

Итоги

Вот несколько советов, которые помогут вам избежать распространённых проблем, возникающих при работе с функциями, и расширить свои знания:

Источник