Что такое число грэма

Число Грэма

Что такое Число Грэма

Число Грэма — это чрезвычайно большое конечное число и считается самым большим числом в мире, которое было использовано в математическом доказательстве (например, в теории Рамсея).

Используя стрелочные обозначения Кнута (стрелкой вверх), число Грэма G можно записать так:

Стрелочные обозначения Кнута используются в записи очень больших чисел.

3↑↑4 значит 3↑(3↑(3↑3)) или ;

Что такое G64 и g1?

Ещё Число Грэма обозначают G64.

И g1 — это первый из 64 слоёв нужных для того, чтобы получить это число (на картинке сверху находятся остальные).

G1 можно немного упростить:

Количество стрелок g2 считается в g1. Далее процесс продолжается, до 64-го, последнего.

G = g64 — это последний слой, в нём g63 стрелок между тройками (как показано на картинке).

Однако только первый уровень G1 уже настолько велик, что считается, что его невозможно записать.

Что такое число гугол? И гуголплекс?

Гугол — это число равно 10¹ºº (десять в сотой степени) — это единица и сто нулей.

Гуголплекс — это 10^гугол (10 в степени «гугол») — это или .

Что такое число Райо?

Число Райо выглядит так: .

Считается, что эту функцию невозможно вычислить. Имеется в виду, что ни один современный компьютер не может её вычислить.

Узнайте также, что такое Экспонента и Логарифм.

Источник

Самое большое число в мире, которое что-то обозначает

Миллион = 1 000 000 = 10⁶

Представить миллион чего-то мы тоже можем:

С миллионами чего-либо мы сталкиваемся довольно часто и так:

— миллион секунд — это всего-навсего 11,5 дней;

— миллион книг, поставленных друг на друга, не выйдет даже за пределы атмосферы Земли;

— очередь, из миллиона букв можно составить одну, достаточно большую, книгу (например, полная Библия состоит из более чем 2,5 миллионов букв).

— миллион горошин поместится в большом мешке, который в принципе можно будет даже приподнять, если вы не боитесь надорваться;

— миллион песчинок запросто поместится в пригоршне;

— миллион бактерий будет едва различим невооруженному глазу.

— человеческий волос, увеличенный в миллион раз, будет диаметром около 100 метров.

— здание в миллион этажей (если бы такое можно было построить) поднялось бы в высоту на 2,5 тысячи километров, — в 4 с лишним раза выше, чем летает телескоп Хаббла и большинство искусственных спутников Земли.

Миллиард = 1 000 000 000 = 10⁹

Представить миллиард чего-то мы тоже можем:

— миллиард молекул, поставленных «плечом к плечу», займут около 30 сантиметров (вообще, молекулы сильно различаются по своим размерам и для примера мы взяли молекулу воды, состоящую, как известно, из двух атомов водорода и одного атома кислорода);

— головной мозг человека состоит из 100 миллиардов нейронов и столько же, но только людей, жило на нашей планете за всю ее историю.

— если разделить расстояние от Земли до Луны на миллиард, то получится примерно 40 сантиметров. А если на тот же миллиард разделить расстояние от Земли до Солнца, то получится уже 150 метров, а это большой такой небоскреб высотой почти в половину Эйфелевой башни. Сама Земля, уменьшенная в миллиард раз, станет размером с виноградину, — и, кстати, тогда она превратится в черную дыру;

— космические аппараты «Вояджер», запущенные в 1977 году, пролетели почти по 20 миллиардов километров каждый;

— миллиард секунд — это 31,7 года, целое поколение.

— если увеличить атом водорода в миллиард раз, то его диаметр составит целых 10 сантиметров, хотя его ядро даже при таком увеличении все равно не разглядишь. В этом масштабе мельчайшие вирусы будут гигантами размером в несколько десятков, а то и сотен метров. И даже молекула ДНК будет шириной в целых 3 метра.

Триллион = 1 000 000 000 000 = 10¹²

— общая масса воздуха, который вдыхают все люди на нашей планете за 1 год, составляет около 6 триллионов килограмм;

— в океанах нашей планеты обитает около триллиона рыб;

— триллион секунд, как вы наверняка уже догадались, это в тысячу раз дольше, чем миллиард, — то есть 31 с лишним тысяча лет;

— примерно столько времени назад вымерли неандертальцы. Но это секунды. А вот через триллион лет случится нечто гораздо более интересное — в галактиках прекратят образовываться новые звезды;

— триллион километров — такое расстояние свет в вакууме проходит чуть больше чем за месяц;

— 42 триллиона километров — это расстояние до ближайшей к нам звезды (Проксимы Центавра);

— если мы возьмем триллион бактерий (допустим, у нас как-то получится их собрать всех вместе), то они займут объем одного кубика сахара. Примерно столько бактерий содержится на теле человека. А число клеток в нем — несколько десятков триллионов;

— во всех когда-либо отпечатанных книгах за всю историю книгопечатания около 100 триллионов букв;

— горстку из триллиона атомов даже не увидеть невооруженным взглядом, вот насколько они малы. Например, электрон. Он будет размером с горошину. А вот кварки, увеличенные в триллион раз, все еще не будут видны.

Квадриллион = 1 000 000 000 000 000 = 10¹⁵

— в теле человека (не только на коже, как в предыдущем абзаце) обитает до 1 квадриллиона бактерий, и их общий вес составляет около 2 килограмм;

— на нашей планете живет примерно квадриллион муравьев (да, их гораздо больше, чем людей, — примерно в 100 тысяч раз);

— пролететь квадриллион километров (а это примерно 100 световых лет), то можно посетить несколько ближайших к Земле звезд и вернуться обратно;

— через 200 квадриллионов секунд Солнце перейдет в стадию красного гиганта;

— еще самые мощные современные компьютеры выдают несколько десятков квадриллионов операций в секунду (петафлопсов).

Квинтиллион = 1 000 000 000 000 000 000 = 10¹⁸

— квинтиллион километров — это примерный диаметр нашей галактики, которая называется Млечный Путь;

— до нашей соседки — галактики Андромеды — 25 квинтиллионов;

— квинтиллион секунд — это время в 2 раза большее, чем то, которое прошло от Большого Взрыва и до сегодняшнего момента;

— именно столько кубометров воды есть на земле;

— 25-30 квинтиллионов молекул содержится в 1 куб.см воздуха при нормальной температуре и давлении (в основном, это молекулы азота – 78% и кислорода – 21%);

— масса всей атмосферы Земли — около 5 квинтиллионов килограмм;

— число возможных комбинаций кубика Рубика — 43 квинтиллиона с лишним.

Секстиллион = 1 000 000 000 000 000 000 000 = 10²¹

— столько атомов содержится в небольшом шарике из алюминия, диаметром в пару миллиметров;

— вес гидросферы Земли – полтора секстиллиона килограмм, а Луны около 70 секстиллионов;

— количество песчинок на всех пляжах Земли — несколько секстиллионов, хотя это сильно зависит от того, как и что именно мы считаем;

— размер видимой ее части — примерно 130 секстиллионов километров. Разумеется, такие расстояния никто в километрах не меряет, а использует для этого куда более подходящие световые годы и парсеки.

Септиллион = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10²⁴

— 6 септиллионов килограмм весит наша Земля;

— количество звезд в обозримой Вселенной — септиллион или совсем немного меньше;

— знаменитое число Авогадро, обозначающее количество молекул в одном моле вещества, составляет почти септиллион (более точное значение: 6 на 10²³ степени);

— 10 септиллионов молекул воды поместится в одном стакане. А если выложить в ряд 50 септиллионов маковых зерен, то такая цепочка протянется до Туманности Андромеды.

Октиллион = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10²⁷

Октиллион горошин займут такой же объем как планета Земля. Еще это число интересно тем, что если взять 5-10 октиллионов атомов, то из них можно составить человеческое тело.

Казнер знаменит тем, что придумал слова «гугол» и «гуголплекс», а также известно решение Казнера для вакуумного пространства-времени (1922), к которому, согласно с гипотезой Белинского — Лифшица — Халатникова, приближается асимптотически любое космологическое решение около сингулярности.

Число Скьюза. Записывается как 10 в степени 10 в степени 10 в степени 963. Обозначает верхний предел для математической задачи.

3|||3 это 3 с высотой столба степени 3 равной расстоянию от Земли до Марса. Количество троек в степени равняется 7.000.000.000.000. И заметьте, это не само число, а его степень! Математики обозначили его G1. Всего 5 троек из этой башни полностью покрывают гуголплекс, а первые 10 сантиметров ставят в тупик все существующие на Земле компьютеры. Дальше пустота и неведение. Далее идёт число G2, где количество стрелок равняется G1. Далее идёт G3, где количество стрелок равняется G2 и так далее. Всего таких чисел 64. G64 это и есть число Грэма. Записать его где либо невозможно, поэтому записывают формулой: G=f^64(4), где f(n)=3|^n3. (значок «^» обозначает степень: 1.000.000=10^6). Подсчитывать это бессмысленно. Число Грэма не поместится в тех самых 10 в степени 500 вселенных, даже если пронумеровать каждую частицу! Но мы всё же кое что знаем о нём. Вот последние 10 цифр этого числа: 2464195387. Первые цифры не знает никто. Возможно, через тысячи или десятки тысяч лет человечество всё-таки сможет его высчитать и оно станет элементарным и банальным.

Источник

Неисчислимое: в поисках конечного числа

Древние греки — приверженцы концепций, имеющих строгий логический смысл — всячески избегали концепции бесконечности. Действительно, какое нам дело до бесконечного ряда чисел, если ни записать, ни представить его мы не можем.

В средние века логическую строгость отбросили ради математических результатов и разработали чрезвычайно эффективные алгоритмические методы, оперирующие в вычислениях бесконечностью.

В XX в. стала отчетливо проступать другая проблема. С бесконечностью мы можем разобраться при помощи одного символа (∞), но что делать с числами, которые меньше бесконечности, но при этом невообразимо огромны?

Мы вплотную подошли к числам, едва уступающим «уроборосу», но при этом все еще имеющим теоретическое и практическое значение. Вы, вероятно, могли слышать о числе Грэма, которое является верхней границей для решения определенной проблемы в теории Рамсея. Спустя 88 лет после появления теоремы Рамсея математики готовы отбросить старые методы и пойти еще дальше.

Добро пожаловать в кроличью нору без дна.

Вступление, в котором нужно вспомнить прошлое

В XVII в. математик и философ Блез Паскаль писал о своем страхе перед бесконечностью, о чувстве собственной незначительности при мысли о безбрежных просторах космоса. Интересно, что сказал бы Паскаль о числе Грэма, состоящем из башни чисел высотой от Земли до самой отдаленной звезды, в каждом числе которой прячется своя башня из чисел? Каждый изгиб числа в башне чисел, которая состоит из башни чисел, вмещает в себя башню других чисел — но даже с такой формулировкой мы и близко не подошли к открытию, сделанному Грэмом.

Истоки числа Грэма следует искать в 1928 г., когда молодой математик Фрэнк Рамсей во время работы над статьей о логике заметил удивительную вещь: полная неупорядоченность невозможна. Каждое достаточно большое множество чисел, точек или объектов обязательно содержит высокоупорядоченную структуру.

Догадка, которая была лишь небольшой частью работы о логике, положила начало совершенно новой области математики, называемой теорией Рамсея. Ее часто объясняют на примере вечеринки: предположим, вы хотите найти идеальный баланс между теми, кто знает друг друга, и незнакомцами. Вы рисуете карту отношений всех ваших друзей, связывая двух людей, если они являются друзьями, синей линией, и красной — если они не знакомы друг с другом. Тогда может получиться подобная иллюстрация:

Красота теории Рамсея заключается в том, что задачи в этой области всегда очень легко формулировать. Рассматривая пример с вечеринкой, очень интересно понять, какого количества людей достаточно для образования группы, в которой всегда окажется четверо людей либо знакомых, либо не знакомых друг с другом.

В группе из 17 точек, изображенных на рисунке выше, невозможно найти четыре точки, для которых сеть соединяющих их ребер была бы целиком красной или синей. Поэтому требуется более 17 человек, чтобы среди них обязательно оказалось четверо людей, знакомых или не знакомых друг с другом. На самом деле в группе из 18 человек всегда найдутся либо четверо знакомых, либо четверо не знакомых друг с другом.

Возьмем любое звездное скопление. В нем всегда можно найти группу, которая с очень большой точностью образует какую-нибудь заданную конфигурацию — прямую линию, прямоугольник, ковш.

Математики стараются вычислить, сколь велико должно быть множество звезд, чисел или каких-либо объектов, чтобы можно было гарантировать существование определенной желаемой подструктуры. На решение таких задач часто уходят десятилетия.

Теория Рамсея также имеет большое практическое значение — от организации хорошей вечеринки до построения более совершенных сетей коммуникации и систем передачи и поиска информации. На самом деле очень сложно представить, для каких целей могут послужить многие методы, разработанные для решения задач в теории Рамсея — это самый передовой край математики.

Как и почему Грэм пришел к своему числу

Американский математик Рональд Льюис Грэм (родился в 1935 г.) внес значительный вклад в дискретную математику. Грэм — личность разносторонняя. В свое время он даже был президентом международной ассоциации жонглеров, но прославился исключительно за счет большого положительного целого числа, которое служит верхней границей конкретной проблемы в теории Рамсея.

N-мерный куб всегда содержит 2n вершин. Несмотря на их размерность, n-мерные кубы — это просто графы, вершины которых связаны ребрами

Любой n-мерный куб мы можем превратить в полный граф, просто соединив все вершины. Остальные ребра, сформированные таким образом, находятся внутри или на одной из граней. Представим, что эти края имеют два цвета — красный и синий. Таким образом, Грэм сформулировал интересный вопрос, лежащий в плоскости классической теории Рамсея: при каком минимальном значении N двухцветного k-мерного куба каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, каждая из которых лежит в одной плоскости?

Полный граф на трехмерном кубе с раскраской ребер в два цвета

В 1971 г. Рональд Грэм и Брюс Ли Ротшильд доказали, что у этой задачи есть решение, и оно представляет собой число, которое больше 6 (нижняя граница), и меньше некоего N. Нижняя граница впоследствии была повышена до 13, а верхняя граница получила название малого числа Грэма. Малое число Грэма меньше числа, попавшего в Книгу рекордов Гиннесса, но это все равно невообразимо огромное число.

В общем-то, задача Грэма не звучит как нечто сверхъестественное — ее может понять и пятиклассник. Но на простые вопросы иногда очень трудно получить ответы. Если решение меньше, чем число Грэма, которое мы знаем, то каков же ответ? Число Грэма, как и некоторые другие большие числа, просто говорит нам, что у некоторой задачи в принципе есть решение, и это решение можно найти. Оптимизировав решение задачи, мы можем сдвинуть число Грэма ближе к 1, и двигать его до тех пор, пока не найдем реального решения.

Как число стало легендой

Итак, Рональд Грэм написал профессиональную математическую работу по теории Рамсея, которая привлекла внимание журналиста Мартина Гарднера. Именно Гарднер ипоспособствовал попаданию числа Грэма в Книгу рекордов Гиннесса, после чего число привлекло внимание широкой общественности.

Проблема, которую Грэм пытался решить, на самом деле была лишь одним конкретным примером применения теории Рамсея. Дальнейшие исследования в этой теории дали математикам бóльшие числа, чем даже число Грэма. Эти числа не являются точным решением проблем, а выступают верхней границей.

Чем же очаровал Грэм людей? Красотой и наглядностью.

Чтобы оперировать гигантскими числами, Грэм использовал быстрорастущие функции. Многие из этих функций знакомы всем — сложение, умножение и возведение в степень. Математики создали новые функции, которые масштабируются намного быстрее.

Для записи числа Грэм использовал стрелочную нотацию Кнута — расширение возведения в степень. Точно так же, как возведение в степень является повторным умножением и обозначается одной стрелкой, направленной вверх, две стрелки вверх обозначают итерационное возведение в степень, три стрелки — повторное итерационное возведение в степень и т.д.

3↑↑5 = 3↑3↑3↑3↑3 = три в степени три в степени 7 625 597 484 987.

Математики поняли, что, имея дело с большими числами, требуется каждый раз использовать новый оператор, который должен быть мощнее предыдущего. ↑↑ — следующий оператором от ↑, так же как ↑ — следующий оператор от умножения, и точно так же, как умножение — это один оператор от сложения. Таким образом, увеличение количества последовательных стрелок увеличивает способность работать с большими числами.

Если добавить еще одну стрелку, то скорость формирования новых чисел значительно возрастет:
3 ↑↑↑ 3 дает нам башню из степеней троек высотой в 7 трлн чисел.

Четыре стрелочки даст число, записать которое будет уже очень трудно. Обратимся к примеру из замечательной статьи «Число Грэма на пальцах»:

А вот оригинальная иллюстрация, которую Гарднер использовал для объяснения числа Грэма:

Самый верхний уровень равен 3 ↑↑↑↑ 3. Формулу вы видели выше. Под ним находится слой, в котором число стрелочек равно 3 ↑↑↑↑ 3. Далее идет слой, в котором число стрелочек равно числу стрелочек в предыдущем слое. И так до 64-го слоя.

Красота этого выражения в том, что если вы захотите превзойти число Грэма и напишите «супербольшое число = число Грэма + 1», то в математических масштабах ничего не изменится. Все равно что залезть на вершину Эвереста и прыгать на ней — Эверест все равно останется самой высокой горой, на вершину которой вы можете взобраться.

Но где-то в Солнечной системе есть и Олимп, не так ли?

Нотация Бауэрса: начало кроличьей норы

Дальнейшая работа с теорией Рамсея математиков Джозефа Краскала и Харви Фридмана привела к числу TREE(3), у которого даже самая нижняя граница решения является сверхогромной, не говоря о верхней.

Если число Грэма мы хотя бы можем записать, то число TREE(3) невозможно поместить в рамки нотации Кнута. Судите сами:

TREE (3) = … > A A(187196) (4), где даже A 2 (4) больше, чем число атомов во Вселенной, ведь А — функция Аккермана, которая определяется рекурсивно для неотрицательных целых чисел m и n следующим образом:

Используя функцию Аккермана, можно очень легко записать число Грэма ≈ A64(4).

Математики вычислили, что у TREE(3) есть теоретическая граница, которую можно записать с помощью массивной нотации, предложенной в 2002 г. Джонатаном Бауэрсом. В массивной нотации существует пять правил:

Функция возрастает невероятно быстро. Массив из трех элементов <10,100,2>в стрелочной нотации Кнута будет иметь следующий вид: 10 ↑ 2 100.

Тройные массивы Бауэрса полностью идентичны тройным цепочкам обозначения Конвея (еще один метод записи — соединенные горизонтальными стрелками (цепочками) числа, растут быстрее нотации Кнута):

<3,3,3>= 3 → 3 → 3 = 3 ^ (3 ^ (3 ^ (3 ^… 7 625 597 484 987 раз… ^ 3) ^ 3) ^ 3)

Массив из четырех элементов (например <10,100,1,2>) уже больше самого числа Грэма — благодаря хитрости, придуманной Бауэрсом: на четвертом элементе он «оптимизирует» формулу, как раньше мы оптимизировали умножение и возведение в степень, только теперь математик занимается удвоением скобок:

Более подробный разбор этой операции вы можете найти в статье «Bird’s Linear Array Notation».

При этом «самое больше число, использованное в серьезном математическом доказательстве», ограничено между <3,65,1,2>и <3,66,1,2>. Речь сейчас идет только о линейных массивах, а ведь они могут быть и гипермерными. В принципе массив Бауэрса из четырех элементов способен вместить в себя всю нотацию Конвея, а гипермерные массивы (на иллюстрации выше) уже становятся математической гиперигрой.

Красота математики в том, что мы можем работать с данными, которые даже представить невозможно. Любую сложную задачу можно облегчить до невероятно простых значений. Возможно, ответы на некоторые вопросы мы никогда не найдем, но методы, использованные для их решения, могут пригодиться в других областях знаний. Сама проработка этих методов построения иерархий по скорости роста функций совершенствует многие разделы математики.

Бауэрс сделал удачную попытку ответить на вопрос, как с помощью иерархии приемов расширить возможности формальной системы. Фактически мы записываем не само число иносказательным образом, а способ когда-нибудь прийти к этому числу хотя бы в теории.

Нотации Бауэрса стали отличной возможностью подобраться к пониманию функции TREE. Конечно, определить величину TREE(3) мы не можем, но с помощью итерационного «улучшения» нотации, проведенного английским математиком Крисом Бердом, удалось выяснить, что TREE(3) > <3,6,3[1[1¬1,2]2]2>.

TREE(3)

TREE — быстрорастущая функция в теории графов, разработанная математиком Харви Фридманом.

Предположим, что мы имеем последовательность k-пронумерованных деревьев T1, T2,… со следующими свойствами:

BIG FOOT является аналогом числа Райо — его определение почти идентично. BIG FOOT расширяет теорию множеств первого порядка, используя уникальную область дискурса, называемую oodleverse, с использованием языка, называемого first-orderoodletheory (FOOT), и обобщая теорию множеств n-го порядка сколь угодно большого n.

Пусть FOOT(n) обозначает наибольшее натуральное число, однозначно определяемое в языке FOOT не более чем в n символах. BIG FOOT определяется как FOOT 10 (10 100 ), где FOOT a (n) — это FOOT(n) (рекурсия).

BIG FOOT таким образом равен

Поиски конечного числа продолжаются. Будет ли оно когда-нибудь найдено?

Блез Паскаль так описал экзистенциальный ужас, охватывающий его при мысли о безграничности мира: «Вечная тишина этого бесконечного пространства пугает меня». Числа дают нам возможность установить рамки понимания и границы дозволенного, взять под контроль страх уробороса. Они — наше реликтовое излучение, возможность подойти к метафорическому краю мира. Но, как в космосе нельзя долететь до такого места, где будет висеть табличка «конец Вселенной», так и в математике невозможно достичь последнего рубежа. Впрочем, это нам еще предстоит проверить.

Источник

Число Грэма и взгляд в бесконечность

Вглядываться в бесконечность можно по-разному. Можно представлять себе всё увеличивающиеся астрономические числа и сопоставлять их с физическими явлениями. Можно всматриваться в выбранную точку фрактала Мандельброта, плавно увеличивая масштаб в 10 198 раз (можно и больше, но в угоду скорости страдает наглядность). Фрактал, сколь малую часть его не бери, остаётся самоподобным и сохраняет дробную структуру.

А можно представлять себе число Грэма так, как его представляет автор статьи «Число Грэма на пальцах». Число Грэма настолько велико, что даже если вы представите себе какое-то чудовищно большое астрономическое число, а потом возведёте его в столь же чудовищную степень, а потом повторите всё это чудовищное число раз — то вы даже не стронетесь с места на шкале того пути, что ведёт к числу Грэма. Чтобы сосчитать до числа Грэма, придётся научиться считать совсем иначе, нежели мы привыкли — представляя, что путь в бесконечность лежит через дописывание нулей к известным нам астрономическим числам. В этой системе счёта загибанию пальца на руке будет соответствовать не прибавление к числу единицы или миллиона, не дописывание нуля или сотен нулей разом, но шаг от сложения к умножению, от умножения к возведению в степень и дальше в невообразимые дали.

Сразу предупреждаю, что все эти упражнения небезыздержечны — не увлекайтесь, берегите своё душевное здоровье. Однако иногда полезно всмотреться в бесконечность, чтобы понять, где ты и что ты ей, как человек, можешь противопоставить.

Для меня в своё время взгляд бесконечность, подобный описанному «на пальцах» числу Грэма, дала функция Аккермана (которую приводят как пример сложной рекурсивной функции в теории алгоритмов). Она тесно связана со стрелочной записью Кнута, используемой в статье про число Грэма.

Если мы возьмём натуральное (т.е. неотрицательное целое) число и применим к нему операцию порядка, равного этому числу, то у нас получится примерно функция Аккермана (на самом деле, она определяется сложнее и от трёх или двух аргументов, но не суть).

Функция Аккермана растёт очень быстро, она растёт невыразимо быстро, она растёт быстрее чего угодно, что вы можете себе представить. Уже на пятом шаге она выходит за границы Вселенной. Но чтобы досчитать до числа Грэма за обозримое число шагов, даже её недостаточно. Нужно взять функцию Аккермана «второго порядка». Т.е. функцию Аккермана от функции Аккермана от функции Аккермана — и так Y раз. Получится эдакая «башенка» функций Аккермана. Вот такая «башенка» высотой в 64 этажа как раз до числа Грэма и досчитает.

Кажется, что осознание невыразимой величины этого числа может раздавить человека. Но не спешите с выводами. Автор упомянутой статьи, пытаясь оценить подступы к этому числу, сравнивает его элементы с числом частиц во Вселенной, сравнивает высоту «башенок» с расстоянием между планетами. Но вся эта кажущаяся с виду невыразимость сводится к числу «полтора». Ладно, пусть «два с половиной».

Поясню. Считать «бесконечность» (в кавычках — ибо любое число всё же конечно) нужно не тем, сколько песчинок она в себе содержит, а тем, сколько раз количество переходит в качество, сколько в ней нетривиальных идей. Посчитаем, сколько нетривиальных идей в числе Грэма. Функция Аккермана с её порядком арифметической операции как аргументом функции — идея раз. Применение функции Аккермана к самой себе — даже на полноценную идею не тянет, так, на половинку (а ведь можно представить и функцию Аккермана третьего порядка, чтобы ещё большее число получить — но тем отчётливее вырожденность идеи). Добавим ещё, собственно, описание задачи, в рамках которой появилось число Грэма (покраска в случайную комбинацию двух цветов диагоналей многомерных гиперкубов), чтобы иметь представление, где остановиться в нашем счёте — и получим две с половиной идеи.

Вроде, с одной стороны, почти необозримая бесконечность — а с другой стороны, тривиальность. Поставьте два зеркала друг напротив друга, встаньте между ними — и вы увидите бесконечное количество всё более тускнеющих отражений. Отражений бесконечное количество, но оригинал у них один — отражаетесь лишь вы сами.

Если в каком-то явлении вы замечаете, что с какого-то момента начинают повторяться лишь ухудшающиеся (в лучшем случае, такие же) копии того, что уже было раньше — то это дурная бесконечность, ложная. Движение по её шкале — лишь видимость жизни, но по сути это западня для вашего сознания.

Или вот был хороший оригинал — и сделали ему сиквел, приквел или ответвление сюжета. Чем наполнить? Известно чем — взять всё то же, что в оригинале, но в бОльших количествах и иначе скомбинированное. Была одна идея, стало полторы. Этих сиквелов можно теперь бесконечное число делать, зарабатывая деньги на тех, кому полюбился оригинал. И опять перед нами дурная бесконечность.

Вообще, возьми любой жанр — и большую часть его составят повторения, ухудшенные копии родоначальника жанра. Если вы чувствуете, что задыхаетесь в засилье этих похожих друг на друга отражений — плывите против течения, ищите источник отражений. Лишь так вы сможете в лабиринте дурной бесконечности отыскать истинный путь.

Источник