Что такое эффект гиббса

Эффект Гиббса

Принцип последовательного приближения к исходной форме наглядно виден на нижнем графике рисунка. На нем же можно видеть и причины появления пульсаций на реконструкции скачков функций, которые носят название эффекта Гиббса. При изменении количества суммируемых членов ряда эффект Гиббса не исчезает. Не изменяется также относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка) и относительное затухание (по коэффициенту последовательного уменьшения амплитуды пульсаций по отношению к максимальному выбросу), изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник.

Эффект Гиббса имеет место всегда при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности функции. Пример явления Гиббса для радиоимпульса приведен на рис. 4.6 (использована программа на рис. 4.4, точками показан реконструированный сигнал с увеличением масштаба в 10 раз).

На рис. 4.7 приведен пример разложения в ряд Фурье одного периода T=(a,c) модельного периодического сигнала sq(x), представленного информационным сигналом s(x) в сумме с шумовым сигналом. Спектр шумов близок к спектру белого шума (равномерное распределение энергии шумов по всем частотам спектра).

На спектре модельного сигнала достаточно четко выделяется диапазон частот информационного сигнала. Реконструкция сигнала с ограничением ряда Фурье гармониками только информационного сигнала (сигнал sr5(x), N=5) дает сглаженную форму сигнала по минимуму среднеквадратического расхождения с модельным сигналом для данного количества членов ряда, но только по периоду разложения (а, с), и наиболее точное приближение к информационному сигналу. При увеличении в реконструкции количества членов ряда Фурье восстановленный сигнал начинает приближаться к модельному сигналу, но только по данному периоду T=(a,c), при этом расхождение с информационным сигналом увеличивается. Заметим, что спектр сигнала может определяться и по нескольким периодам сигнала, что повышает точность реконструкции информационного сигнала.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (ограниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. Однако следует помнить, что применение формул (4.1-4.6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a. При этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом повторении, как это видно на рис. 4.8. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом деле при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана
Bauman National Library

Персональные инструменты

Методические ошибки цифровой фильтрации

Методическими ошибками называются искажения сигналов, возникшие при цифровой обработке, обусловленные несовершенством выбранных методов.

Содержание

Явление Гиббса

Сущность явления Гиббса

Эти эффекты при усечении рядов Фурье получили название явления Гиббса.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функции, разложенной в ряд Фурье, существует всегда, но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее выразительно.

Параметры эффекта

Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает.

Можно рассмотреть это явление и с других позиций. Как известно, произведение функций отображается в частотном представлении сверткой их фурье-образов. Отсюда:

Применение на практике

При расчетах фильтров и усечении размеров их операторов явление Гиббса является весьма нежелательным, т. к. приводит к искажению формы передаточных характеристик фильтров. В качестве примера рассмотрим явление Гиббса применительно к фильтру низких частот.

Функция четная, коэффициенты ряда Фурье представлены только косинусными членами:

Как показывает рисунок, явление Гиббса существенно искажает передаточную функцию фильтра. Однако при реализации фильтров ограничение длины операторов фильтров является правилом их конструирования исходя из чисто практических соображений реализации.

Явление Гиббса имеет место при усечении любых числовых массивов. При обработке геофизических данных операция усечения числовых массивов, как одномерных, так и многомерных, относится к числу типовых. Из профилей и площадей вырезаются участки съемки с аномальными данными для их более детальной обработки и интерпретации. При анализе усекаются корреляционные функции и соответственно свертываются с частотным образом весового окна вычисляемые спектры мощност. Во всех этих случаях можно столкнуться как с явлением Гиббса, так и с другими последствиями свертки функций в частотной области, в частности с цикличностью свертки, с определенным сглаживанием спектров усекаемых данных, которое может быть и нежелательным (снижение разрешающей способности), и полезным (повышение устойчивости спектров). В самих усекаемых данных мы не видим этих явлений, т. к. они проявляется в изменении их частотного образа, но при обработке данных, основной целью которой, как правило, и является изменение частотных соотношений в сигналах, последствия этих явлений могут сказаться самым неожиданным образом.

Практически это означает, что при частотной обработке вырезанного сигнала будет обрабатываться не спектр исходного сигнала, а спектр, которому соответствует сигнал, восстанавливаемый по данному спектру с наложенным явлением Гиббса.

Весовые функции

Основное назначение рассматриваемых весовых функций – сведение к минимуму нежелательных эффектов усечения функций.

Естественным методом нейтрализации нежелательных эффектов усечения сигналов во временной области (и любой другой области аргументов) является изменение окна селекции сигнала таким образом, чтобы частотная характеристика окна селекции при свертке как можно меньше искажала спектр сигнала. Что последнее возможно, показывает, например, даже такая простая модификация прямоугольной функции, как уменьшение в два раза значений ее крайних членов. Фурье-образ модифицированной П-функции уже рассматривался нами в составе сглаживающих фильтров МНК 1-го порядка, отличается от обычной П-функции с тем же размером окна выходом в ноль на частоте Найквиста и несколько меньшей амплитудой осцилляций при небольшом расширении главного максимума.

Основные весовые функции

В настоящее время известны десятки различных по эффективности весовых функций. В идеальном случае хотелось бы иметь весовую свертывающую функцию с минимальной амплитудой осцилляций, высокую и узкую в главном максимуме.

Сравнительный вид весовых функций приведен на рис. 7. Расчет функций проведен с исключением нулевых значений на границах весового окна.

Спектральные окна Бартлетта и Карре не имеют отрицательных выбросов и применяются, в основном, для усечения корреляционных функций. Функция Карре не имеет нулей и представляет собой положительно убывающую функцию. Функции Хеннинга и Хемминга примерно одного класса, функция Хемминга является улучшенным вариантом функции Хеннинга. Частотные образы функций Бартлетта и Хемминга приведены на рис. 8.

Попутно заметим, что достаточно гладкие частотные характеристики весовых функций позволяют использовать их в качестве сглаживающих низкочастотных НЦФ.

Источник

3.7.1. Сущность эффекта Гиббса

при этом сходимость суммы остающихся членов ряда к исходной передаточной функции ухудшается, и происходит отклонение частотной характеристики фильтра от первоначальной в тем большей степени, чем меньше значение N.

Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах, скачках) в передаточных функциях:

· крутизна перепадов «размывается», так как она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (3.63);

· по обе стороны «размытых» перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (3.62).

Эти эффекты при усечении рядов Фурье получили название эффекта Гиббса. Рассмотрим явление Гиббса более подробно на примере разложения в ряд Фурье частотной функции единичного скачка G(w), которая является Фурье-образом какой-то дискретной временной функции b(n). Уравнение функции единичного скачка в частотной области имеет вид:

Функция (3.64) имеет разрыв величиной 1 в точке w = 0 и, в силу дискретности временной функции и периодичности ее спектра, в точках p, 2p и т.д. Поскольку функция G(w) является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и коэффициенты ряда (рис. 3.29) определяются из выражения:

Как видно из рис. 3.29, ряд коэффициентов b_n затухает очень медленно. Соответственно, медленно будет затухать и ряд Фурье функции G(w):

Если мы будем ограничивать количество коэффициентов bn, т.е. ограничивать значение N ряда Фурье функции G(), то суммирование в выражении (3.65) будет осуществляться не до ∞, а до значения N. Графики частичных сумм ряда (3.65) в сопоставлении с исходной функцией (рис. 3.30) наглядно показывают сущность явления Гиббса.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функции, разложенной в ряд Фурье, существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала этот эффект может быть и малозаметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Источник

3.7. Эффект Гиббса

Большинство методов анализа и обработки данных представляют собой или имеют в своем составе операцию свертки множества данных x(k) с функцией оператора свертки h(n). Как множество данных x(k), так и оператор h(n), выполняющий определенную задачу обработки данных и реализующий определенную частотную передаточную функцию системы (фильтра), могут быть бесконечно большими. Практика цифровой обработки имеет дело только с ограниченными множествами данных (k=0,1,2,…,K) и коэффициентов оператора (n = 0,1,2,…,N или n = —N,…,1,0,1,…,N для двусторонних операторов).

В общем случае, эти ограниченные множества «вырезаются» из бесконечных множеств x(k) и h(n), что равносильно умножению этих множеств на прямоугольную функцию с единичным амплитудным значением, которую называют естественным временным окном или естественной весовой функцией. Так как произведение функций отображается в спектральной области сверткой их фурье-образов, это может весьма существенно сказаться как на спектральных характеристиках функций, так и на результатах их последующих преобразований и обработки. Основное назначение рассматриваемых весовых функций – сведение к минимуму нежелательных эффектов усечения функций.

Чаще всего с изменением частотных характеристик функций приходится сталкиваться при усечении операторов фильтров. На примере усечения операторов и рассмотрим характер происходящих изменений.

При расчетах фильтров, как правило, задается определенная частотная передаточная характеристика фильтра, и по ней производится расчет оператора фильтра h(n), количество членов которого может оказаться очень большим. даже толь

ко по значимым значениям. Усечение может рассматриваться как результат умножения функции оператора фильтра на селектирующее весовое окно длиной 2N + 1. В простейшем случае это окно представляет собой П-образную селектирующую функцию:

Если абстрагироваться от тактовой частоты цифрового фильтра и перейти к относительному времени, то можно предположить, что D=1, тогда частотная передаточная характеристика будет иметь вид:

Источник

Оптимальные множители сходимости, обеспечивающие подавление эффекта Гиббса. Часть 1

Введение

Математическое моделирование процесса передачи информации по каналам связи с помощью сигналов, имеющих разрывы непрерывности 1-го рода, на основе функций Хевисайда, rect-функции и т. д. не позволяет наблюдать эффект Гиббса. Его проявление связано с конечностью полосы пропускания канала связи, вследствие чего сигналы представляются конечным рядом Фурье. Идеализация же на основе математических моделей опирается на представление их рядом с бесконечным числом членов. Проявляется эффект Гиббса в виде характерных колебаний синтезированной функции, описывающей сигнал в районе разрывов. Это одно из неприятных проявлений практического спектрального анализа сигналов с конечной полосой. Следует заметить, что даже использование такого современного математического аппарата описания и анализа сигналов, как вейвлеты, не устраняет этого эффекта. Эффект Гиббса невозможно устранить (и даже ослабить) лишь увеличением числа гармоник при синтезе сигналов. Он фактически вводит в синтезируемые сигналы новые компоненты, на самом деле отсутствующие. Это может привести к маскированию или искажению других спектральных компонентов. Поэтому обычно стремятся ослабить эффект Гиббса, даже за счет уменьшения точности синтеза.

Уже в 1905 году Фейер обратил внимание на тот факт, что ряд Фурье даже для монотонных функций плохо сходится [1]. Для устранения этого дефекта сходимости Фейер предложил использовать множители, улучшающие сходимость. В качестве таковых им было предложено использовать треугольную функцию. Ядро метода суммирования на его основе получило название ядро Фейера.

В контексте такого представления о методе улучшения сходимости рядов Фурье простое усечение числа членов ряда эквивалентно применению множителя в виде прямоугольного окна (окна Дирихле). На деле усечение числа членов ряда не улучшает сходимость ряда, а является, по сути, оператором усечения. Если учесть тот факт, что множители, улучшающие сходимость рядов, обеспечивают взвешивание членов суммируемого ряда Фурье в соответствии с особенностями и свойствами самих множителей, то множитель Дирихле не осуществляет такого взвешивания и является только оператором усечения.

Известно множество различных типов множителей сходимости. Их называют также частотными или временными окнами данных — в зависимости от того, где они используются: во временной или частотной областях. Они устраняют паразитные осцилляции в местах разрыва непрерывности функции за счет уменьшения коэффициентов ряда Фурье гармонических составляющих при больших значениях индекса суммирования.

С эффектом Гиббса следует бороться и потому, что амплитуда синтезированных сигналов (сами по себе они не имеют пульсации, например — модель сигнала на основе rectфункций) достигает 9%, а двойная амплитуда — 18% и практически не меняется при синтезе сигнала с большим числом членов ряда Фурье, его представляющим. Просто выбросы, обусловленные этим эффектом, становятся короче. Между тем существует множество практических задач в высокотехнологичных отраслях, где точность приближения формируемого сигнала должна быть очень высокой (проценты и даже доли процента), а амплитуда — фиксированной.

Постановка задачи

Целью данной публикации является формирование множителей сходимости, обеспечивающих как подавление эффекта Гиббса, так и сохранение точности приближения сигналов. Указанное обстоятельство позволит соответствовать противоречивым требованиям к формируемым множителям сходимости, которые бы не только подавляли эффект Гиббса, но и сохраняли бы особенности сигнала. Сформированные на основе разработанных критериев частотные окна данных, помимо подавления эффекта Гиббса, должны также сохранять высокие качественные показатели синтезируемых сигналов по отношению к их идеализированным математическим моделям, как в плане их амплитудных, так и временных и частотных свойств.

Все проводимые исследования проиллюстрированы путем создания с использованием среды программирования LabVIEW ряда виртуальных приборов. Показан прибор для синтеза прямоугольных импульсов. Виртуальный прибор (ВП), построенный на основе пакета LabVIEW, синтезирует сигнал в виде ряда Фурье по синусам, поскольку последний является нечетной функцией.

На панели результатов ВП выведено количество используемых гармоник для синтеза сигнала и максимальное по абсолютной величине значение выбросов в процентах. Формула, на основе которой синтезируется сигнал, представлена в окне выводов результата на рис. 1.

Аналогичная панель результатов, но для случая использования 12 гармонических составляющих для синтеза, приведена на рис. 2.

Блок-диаграмма прибора представлена на рис. 3 и состоит из блока поиска минимальных и максимальных значений массивов, блоков индикации и подприбора для вычисления суммы ряда.

Основной частью подприбора для вычисления суммы ряда является блок-формула, в котором содержится код программы. Блок содержит два входа и один выход. На первый вход подается числовой массив с заданным равномерным шагом, определяющий временной интервал синтеза. На второй вход соответственно подается числовое значение, определяющее число гармонических составляющих в синтезируемом сигнале. Структура кода приведена на рис. 4.

Некоторые комментарии к структуре вычислителя. Во-первых, подприбор выполняет 1001 шаг итераций. Шаг итераций равен π/50. На выходе формируется числовой одномерный массив, содержащий указанное выше число значений, который поступает далее на виртуальный блок индикации. В программе подприбора предусмотрен вывод максимального элемента массива высшей гармоники. Таким образом, данный ВП позволяет осуществить синтез сигнала с заданным числом гармоник и определить величину выброса амплитуды, обусловленного эффектом Гиббса. Реализация блок-формулы осуществляется виртуальным подприбором, показанным на рис. 5.

Кроме того, при проведении исследования необходимо учесть влияние используемых типов множителей сходимости на результирующую форму синтезируемого сигнала. Отметим, что в разделе «обработка сигнала» пакета LabVIEW присутствует набор из 22 типов множителей сходимости. В качестве таковых, на основе которых будет проведен систематический анализ, использованы следующие множители: Дирихле (None), Фейера (Triangle), Хэмминга (Hamming). Исследуемым сигналом является импульс прямоугольной формы.

На рис. 6, 7 представлены временные и спектральные характеристики некоторых из указанных типов множителей сходимости.

Анализ множителей сходимости и критерии их оптимальности

Пусть имеется ряд Фурье, представляющий разложение некоторой функции. Если ряд бесконечен, то дефекта сходимости не наблюдается. В случае конечности ряда дефект его сходимости присутствует в местах разрыва представляемой функции. Дефицит высокочастотных составляющих, обеспечивающих компенсацию на точках разрывов, — это и есть проявление эффекта Гиббса. Чем больше число членов ряда, тем уже пик, обусловленный эффектом Гиббса, и круче фронты импульсов в точках разрыва. Эта тенденция четко проявляется для множителя сходимости Дирихле (оператор усечения), но эффект Гиббса (амплитуда его выброса) остается неизменным и равным 18% от амплитуды сигнала. При увеличении числа гармоник аппроксимирующего ряда выброс становится все менее продолжительным по времени.

Для множителя сходимости Фейера (треугольная функция), умножаемого на ряд, представляющий функцию, его равномерно убывающие склоны имитируют быстрое уменьшение уровня высокочастотных составляющих ряда (что характерно для сходящегося ряда с бесконечным числом членов). Это обстоятельство приводит к действенному подавлению эффекта Гиббса, но при этом в силу свойств самой треугольной функции и ограниченного числа членов ряда одновременно снижается роль высокочастотных составляющих, уровень и число которых, собственно, и определяют крутизну фронтов аппроксимируемого рядом Фурье сигнала, а также скорость сходимости ряда в точках разрыва. Можно сказать, что множители Дирихле и Фейера являются по своим свойствам антиподами.

Аналогичная ситуация с проявлением эффекта Гиббса наблюдается и для других типов множителей сходимости, используемых в представленном материале.

Для лучшего понимания механизма влияния параметров множителей сходимости на формируемый сигнал следует рассмотреть представление функции не только во временной области, но и частотной. Итак:

где K ( t ) — множитель сходимости.

В частотной области:

На основании анализа двух приведенных альтернативных примеров сформулируем основные требования к множителям сходимости:

Это позволяет при меньшем числе членов ряда, представляющего функцию, обеспечить формирование сигнала с высокой крутизной фронтов и высокой действенностью подавления эффекта Гиббса. Это в какой-то мере соотносится с аналогией увеличения числа членов ряда при одновременном уменьшении амплитуды выброса из-за наличия дефекта сходимости. В пределе, при стремлении числа членов ряда к бесконечности фронты максимально крутые, а эффект Гиббса отсутствует.

Учитывая сформулированные требования к множителям сходимости во временной области и характеристикам их в частотной области, можно сказать, что множитель сходимости как во временной, так и в частотной областях должен быть типа Дирихле, то есть быть максимально близким к прямоугольной форме. Однако следует отметить, что конечность множителя в частотной области и конечность его во временной области противоречит основным свойствам преобразования Фурье.

Для изыскания возможного пути преодоления указанного противоречия рассмотрим более подробно множитель Дирихле. Так, параметрами, влияющими на его спектральные характеристики, являются протяженность множителя и его амплитуда. Считаем их заданными, тогда спектральная плотность множителя, симметричного относительно нуля, отвечает выражению:

где A — амплитуда множителя, а T — его протяженность.

Рассмотрим конечную последовательность из N множителей с указанными выше параметрами и периодом следования T_n, продолженную как в область положительного, так и отрицательного времени. Спектральная плотность первого импульса, сдвинутого в положительном направлении времени на величину T_n, равна S₂( ω ) = S₁( ω )exp(−j ω T_n). Соответственно спектральная плотность первого импульса, сдвинутого в отрицательном направлении времени на величину T_n, равна S₂( ω ) = S₁( ω )exp(j ω T_n). Таким образом, суммарная спектральная характеристика последовательности множителей такова:

На частотах, отвечающих условию ω = (2 π k )/T_n, суммарная спектральная плотность

то есть в N раз больше спектральной плотности отдельного множителя. На частотах же ω = (1/N )×(2 π/T_n) сумма векторов exp(−j ω T_nk) обращается в ноль. При промежуточных значениях частот спектральная плотность S ( ω ) определяется как геометрическая сумма спектральных плотностей отдельных множителей сходимости.

Эти два предельных случая указывают на возможность управления совокупным спектром последовательности при соответствующем выборе параметров последовательности множителей Дирихле, то есть интервалом между единичными множителями, их длительностью и амплитудой, а также числом множителей в последовательности. Варьируя указанные параметры, можно обеспечить формирование спектральной характеристики в соответствии с заданным критерием оптимизации. В качестве таковых могут быть:

Возможны также и другие критерии оптимизации, однако в качестве базового, который собственно и будет использован в проводимых исследованиях, выбран критерий минимума мощности совокупного спектра мощности конечной последовательности множителей Дирихле.

Основные теоретические положения по формированию оптимальных множителей сходимости

Математическая модель последовательности из n = 2k + 1 множителей Дирихле с произвольными амплитудами во временной области, симметричная относительно нулевого отсчета времени, может быть представлена следующим образом [3]:

Варьируемыми параметрами в выражении (1) являются:

Без потери общности рассуждений значение S_x(0) можно принять равным единице. Отметим, что длительность последовательности множителей, состоящей из n = 2k + 1 отдельных множителей Дирихле, равна:

Учитывая теорему о спектре смещенного во времени импульса [4], а также производя группировку однотипных членов, запишем:

Для частного случая, как было показано ранее, когда τ_i = 0, m_i = 1 для ( i = 1,…k ), модуль спектральной плотности в 2k + 1 раз больше модуля спектральной плотности одиночного множителя. Скорость спада спектральных составляющих та же, что и для одиночного множителя. С другой стороны (альтернативный предельный случай), при Δ t_i = Δ t и τ_i = τ, а также выборе величины τ = 2 π/(2 k + 1) ω суммарная спектральная плотность близка к нулю. При промежуточных значениях временного сдвига, масштабирующих коэффициентах и длительностях множителей, составляющих общую последовательность, спектральная плотность определяется как сумма спектральных составляющих отдельных множителей с учетом фазовых соотношений.

Введем безразмерный масштабирующий коэффициент μ_i :

Источник