Экспонента в математике – это функция «y=ex», которая отражает непрерывный рост с коэффициентом. В этой функции «е» – это число Эйлера, которое представляет собой постоянную (
2,72). Говоря иначе, рост любой величины прямо пропорционален ее значению.
Допустим, мы слепили снежный ком и спустили его с горы. Он начинает катиться, одновременно наращивая объем. При этом чем больше он становится, тем выше скорость его движения. И наоборот: чем быстрее он катится, тем быстрее увеличивается в размерах. Получается, что масса и скорость снежного кома (y) экспоненциально возрастают со временем (x).
Экспонента в жизни. Экспоненциальный рост
Рассмотрим примеры экспоненты и экспоненциального роста в реальной жизни.
Вклад в банке под процент. У всех процессов, идущих по экспоненте, есть одна особенность: за одно и то же количество времени их параметры меняются одинаковое количество раз.
Например, вклад в банке каждый год увеличивается на определенное количество процентов. Если положить 1000 рублей в банк под 10% годовых, то через год вклад будет составлять 1100 рублей. А в следующем году 10% будут начисляться уже исходя из суммы в 1100 рублей. То есть, вклад вырастет сильнее, и так размер прироста будет увеличиваться из года в год.
Численность животных. Чем больше популяция животных, тем больше они размножаются. Соответственно, рост численности популяции прямо пропорционален количеству особей в ней.
Чем экспоненциальный рост отличается от линейного?
Линейный рост характеризуется стабильным прибавлением постоянной, а экспоненциальный рост – это следствие многократного умножения на постоянную. То есть если линейный рост на графике представляет собой стабильную линию, то экспоненциальный рост характеризуется быстрым взлетом.
В качестве примера можно привести обычную ходьбу. Если длина одного шага составляет 1 метр, то через 6 шагов человек преодолевает расстояние в 6 метров. Это и называется линейным ростом.
При экспоненциальном росте длина каждого шага в нашем примере увеличивается в 2 раза. То есть сначала человек шагает на 1 метр, потом на 2 метра, потом на 4 метра и так далее. В таком случае за 6 шагов можно пройти 32 метра, что гораздо больше, чем в предыдущем примере.
Что такое Экспонента
Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).
е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).
Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.
Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.
Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.
График экспоненты выглядит следующим образом:
Для чего используется экспонента?
Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.
Экспоненциальный рост
Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.
Что такое второй замечательный предел
Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.
Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.
Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):
То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.
Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:
(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691
Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.
Как определить число е?
Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:
Сумма ряда
Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.
Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:
И эти вычисления дали нам следующий результат:
Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.
Формула Муавра — Стирлинга
Также называется просто формула Стирлинга:
И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.
Как запомнить число е
Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после «2,7» число «1828» появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.
Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.
Интересные факты
Экспоненциальную функцию также называют экспонента.
Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.
А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):
Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как 
.
Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).
Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.
Число Непера и число Эйлера
Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.
Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.
Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.
Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.
Экспоненциальная функция
Содержание
Определение
Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например через ряд Тейлора:
Свойства
Экспонента от комплексного аргумента
От комплексного аргумента z = x + iy экспонента определяется следующим образом:
Вариации и обобщения
Аналогично экспонента может быть определена для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.
Матричная экспонента
Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:
Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора A с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы A: 
Следовательно, экспонента от матрицы 
всегда определена и сама является матрицей.
С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение 
с начальным условием x(0) = x0 имеет своим решением x(t) = exp(At)x0.
Обратная функция
Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм.
Обозначается ln(x) :
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Экспоненциальная функция» в других словарях:
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что показательная функция … Большой Энциклопедический словарь
экспоненциальная функция — экспонента — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы экспонента EN exponential function … Справочник технического переводчика
экспоненциальная функция — то же, что показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, то же, что показательная функция (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ) … Энциклопедический словарь
экспоненциальная функция — eksponentinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponential function vok. exponentielle Funktion, f rus. экспоненциальная функция, f pranc. fonction exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas
Экспоненциальная функция — функция у = ex, то есть Показательная функция. Обозначается также y = exp х. Иногда Э. ф. называют и функцию у = ax при любом основании а > 0 … Большая советская энциклопедия
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — показа тельная функция, функция у=е х;обозначается также y = ехр х. Иногда Э. ф. наз. и функцию у = а х при любом основании а>0. БСЭ 3 … Математическая энциклопедия
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что показательная функция … Естествознание. Энциклопедический словарь
экспоненциальная — функция [ Словарь иностранных слов русского языка
ЭКСПОНЕНТА
Смотреть что такое «ЭКСПОНЕНТА» в других словарях:
ЭКСПОНЕНТА — (от лат. exponens показывающий) то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция … Большой Энциклопедический словарь
экспонента — сущ., кол во синонимов: 1 • кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Экспонента — [exponent] показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp
ЭКСПОНЕНТА — (экспоненциальная функция) то же, что показательная функция с основанием, равным числу (см.), задаваемая формулой у = е1. Иногда обозначается ехр дг. Экспоненциальная кривая на плоскости является графиком экспоненты, которая встречается в… … Большая политехническая энциклопедия
Экспонента — У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения). График экспоненты. Касательная в нуле у функции … Википедия
экспонента — (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНТА ЭКСПОНЕНТА (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ КРИВАЯ) или… … Энциклопедический словарь
экспонента — eksponentė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Automatikos terminų žodynas
экспонента — eksponentė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas
экспонента
Смотреть что такое «экспонента» в других словарях:
ЭКСПОНЕНТА — (от лат. exponens показывающий) то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция … Большой Энциклопедический словарь
ЭКСПОНЕНТА — ЭКСПОНЕНТА, число, обозначающее степень, которое пишется в виде верхнего индекса справа от цифры или символа. Например, в выражении а4=(а3а3а3а) экспонентой является 4. Операции с экспонентами подчиняются некоторым законам. Например, З23З5=3(2+5) … Научно-технический энциклопедический словарь
экспонента — сущ., кол во синонимов: 1 • кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Экспонента — [exponent] показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp
ЭКСПОНЕНТА — (экспоненциальная функция) то же, что показательная функция с основанием, равным числу (см.), задаваемая формулой у = е1. Иногда обозначается ехр дг. Экспоненциальная кривая на плоскости является графиком экспоненты, которая встречается в… … Большая политехническая энциклопедия
Экспонента — У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения). График экспоненты. Касательная в нуле у функции … Википедия
экспонента — eksponentė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Automatikos terminų žodynas
экспонента — eksponentė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas
