Что такое экстраполяция и интерполяция

Интерполяция и экстраполяция

1) определение длины базисного периода, закономерность которого распространяют на будущее;

2) определение длины будущего периода, на который распространяют обнаруженную закономерность.

Существуют следующие способы экстраполяции данных:

1) если для измерения основной тенденции производилось аналитическое выравнивание ряда динамики, то для экстраполяции используется уравнение тренда, в которое подставляются значения t в будущие периоды. Так как в базисном периоде уровень колеблется около тренда, то колебания вероятны и в будущем. Следовательно, фактический уровень в будущем не обязательно точно совпадает с экстраполированным по тренду;

2) экстраполяция на будущее средней абсолютной или относительной скорости изменения уровня. Этот метод основан на предположении о равномерном изменении уровня:

а) если в базисном периоде цепные показатели динамики не имели резких колебаний, экстраполяцию осуществляют с помощью следующих формул:

или

; t- срок прогноза; б) если цепные показатели динамики в базисном периоде сильно колебались и ежегодный прирост (или темпы роста и прироста) вычислялись на базе средних уровней, рассчитанных за равные периоды, то для экстраполяции используют следующие формулы:

При интерполяции предполагают, что выявленная тенденция и ее характер, существенно не изменялись в том промежутке времени, уровень которого неизвестен. Существуют следующие способы интерполяции данных:

1) на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста. Формулы для интерполяции имеют следующий вид:

;

— длина промежутка времени между годом, для которого делается интерполяция, и базисным годом;

2) если, кроме конечного и базисного уровней, известны также некоторые промежуточные уровни, интерполяцию можно осуществить на основе уравнения тренда.

Интерполяция– способ определения неизвестных промежуточных значений динамического ряда.

Интерполяция заключается по существу в приближенном отражении сложившейся закономерности внутри определенного отрезка времени – в отличие от экстраполяции, которая требует выхода за пределы этого отрезка времени.

Экстраполяция– метод определения количественных характеристик для совокупностей и явлений, не подвергшихся наблюдению, путем распространения на них результатов, полученных из наблюдения над аналогичными совокупностями за прошедшее время, на будущее и т. д.

Средний уровень ряда динамики характеризует типичную величину абсолютных уровней.

Источник

Экстраполяция и интерполяция

Экстраполяция – метод научного прогнозирования, состоящий в распространении выводов, получаемых из наблюдения над одной частью явления на другую его часть.

В широком смысле экстраполяцией можно считать доказательную аналогию, при которой также переносятся свойства с одного объекта на другой. Экстраполяцией иногда называют перенос свойств изменяющихся математических моделей, например уравнений, на процессы, описываемые этими моделями. Экстраполяцией в статистическом исследовании понимают распространение выборочных данных на всю генеральную совокупность изучаемых объектов (на все мыслимые наблюдения). Такой перенос будет оправданных если выборка репрезентативна, то есть не слишком мала, свойства выбранных объектов адекватны задаче исследования и этот выбор осуществлен непредвзято.

В узком смысле экстраполировать значит перенести тенденцию развития из настоящего в будущее, или из прошлого в более позднее время.

В математике экстраполяция – это индуктивное нахождение по ряду данных значений функции других её значений, находящихся вне этого ряда (приближённое определение значений функции f(x) в точках х, лежащих вне отрезка [x₀, x_n], по её значениям

Экстраполяция может быть направлена во времени как на будущее развитие событий, так и на прошлое в обратном направлении. Классический пример экстраполяции, направленной против течения времени – экстраполяция перемещения литосферных плит в структуре земной коры, на основе чего был смоделирован облик доисторических континентов. В историческом познании на обратной экстраполяции основано перенесение на первобытные общества, свойств и закономерностей выявленных при этнографическом изучении сохранившихся в XIX – XX веках архаических обществ.

При использовании обратной экстраполяции историку стоит опасаться ошибки модернизации истории. При использовании долговременной экстраполяции событий в будущее историку стоит опасаться соблазна делать прогнозы о будущей для его современников истории и переходить в предметную область футурологии.

Метод интерполяции (от латинского inter – между и polio – приглаживаю, выправляю) основан на той же логике, что и метод экстраполяции. Интерполяция – это нахождение промежуточных значений некоторой закономерности (функции) по ряду известных ее значений[38]. Интерполяция более доказательный способ предположения, чем экстраполяция.

Пример интерполяции в историческом исследовании можно привести следующий: Известно, что в определённом году в определённом регионе частота народных волнений была равна n₁, какой она была через год неизвестно, но известно, что через два года частота народных волнений была равна n₃. Интерполяция будет заключаться в предположении, что неизвестная частота n₂ в промежуточном году будет больше, чем в предыдущем году, и меньше, чем в последующем, то есть – n₁

Этот принцип выявляется из его различных работ. Чаще всего он дан в такой формулировке: «Без необходимости не следует утверждать многое» (PIuralitas non est ponenda sine necessitate). Реже он выражен в словах: «То, что можно объяснить посредством меньшего, не следует выражать посредством большего» (frustra fit per plura quod potest fieri per pauciora). Обычно приводимая историками формулировка «сущностей не следует умножать без необходимости» (Entia non sunt multiplicanda sine necessitate) в произведениях Оккама не встречается, но соответствует его идее.

У. Оккам направлял свою критику против распространённых в его время в схоластике попыток объяснять новые явления с помощью «скрытых качеств», ненаблюдаемых и неощущаемых «таинственных сущностей». Оккам впервые наиболее ясно сформулировал общенаучный принцип простоты в объяснениях – экономии исходных допущений. В числе посылок доказательства не должно быть утверждений, не используемых прямо при выведении доказываемого тезиса.

Пример создания «излишней сущности», к которой можно применить «бритву Оккама» можно найти в теории выдающегося отечественного историка и философа Л.Н. Гумилёва (1912-1992), В своей книге «Этногенез и биосфера Земли» (написана в 1974 г., издана в 1989 г.) он писал о влиянии неких неизвестных пока космических лучей на определённых территориях на увеличение «пассионарности»[39] этноса (эту теорию не стоит смешивать с признанным научным фактом влияния периодической солнечной активности на биологические системы). Развитие этносов и цивилизаций можно объяснять, исходя из ландшафтно-климатических, экономических и социально-психологических закономерностей, поэтому принципиально непроверяемое предположение о влиянии космоса излишне, поскольку оно ничего не объясняет[40]. Здесь следует отметить, что, сохраняя готовность критически относиться к любым заявлениям даже авторитетных учёных, стоит руководствоваться афоризмом – «ошибки выдающегося ума более поучительны, чем истины ума посредственного».

9.6. Критерии отделения научных гипотез и теорий
от ненаучных

У историка, занимающегося событиями, по которым источников предельно мало, а способов объяснения их предложено уже много, возникает соблазн нарисовать полуфантастическую картину, в которой достоверные факты могут затеряться во множестве допущений и предположений. Выдвигается предположение, сопровождающееся оговорками «может быть», «не исключено», «логично предположить» и т. п. На этих догадках в свою очередь возводятся новые допущения. В дальнейшем на них опираются так, как будто они уже доказаны.

Современный американский учёный Майкл Шермер[41] предложил десять критериев для отделения научных гипотез и теорий от ненаучных (псевдонаучных, лженаучных, наукообразных, дилетантских, идеологических и т.п.)[42]. Ниже приведены эти критерии с комментариями об их использовании в историческом познании.

1. Насколько можно доверять автору открытия?

При внимательном рассмотрении псевдонаучной теории можно понять, что факты и цифры искажены, вырваны из контекста или даже сфабрикованы. Разумеется, ошибки бывают и в обычных научных работах, но в псевдонаучных тестах можно заметить признаки сознательной подтасовки фактов. Многочисленные примеры подобных искажений и подтасовок можно найти в книгах В. Суворова (псевдоним В.Б.Резуна[43]) «Ледокол», «День М» и других, посвящённых предположению о подготовке СССР к нападению на Германию в конце 1930-х годов.

2. Часто ли этот автор делает «великие открытия»? Слишком большая концентрация «великих открытий» в работах одного автора не может не вызвать подозрения. Например, огромное количество опровергнутых профессиональными историками псевдооткрытий в области исторической хронологии, описаны в книгах современных российских математиков А.Т. Фоменко и Г.В. Носовского[44].

3. Подтверждены ли эти открытия другими специалистами? Вызывают сомнения открытия, которые не подтверждаются при проверке другими специалистами или подтверждаются только единомышленниками автора открытия.

4. Как новое открытие укладывается в сложившуюся картину мира?

5. Искал ли автор гипотезы способы ее опровергнуть или подбирал аргументы только в ее пользу? Правильно построенная научная гипотеза должна включать в себя критику всех остальных предположений, доказывающую, что они менее логично объясняют данную сумму фактов.

6. Поддерживает ли большинство фактов новую гипотезу или факты в основном указывают в другую сторону?

7. Используются ли в исследовании принятые в науке методы рассуждения и инструменты или они заменены другими, дающими желательные автору результаты?

8. Объясняет ли новая гипотеза больше наблюдаемых фактов, чем старая, или просто отрицает старое толкование?

9. Объясняет ли новая гипотеза хотя бы столько же фактов, сколько и старая? Более предпочтительно всегда должна считаться гипотеза, объясняющая как можно больше фактов, и оставляющая как можно меньше исключений из правил и необъяснённых аномалий.

10. Определяются ли выводы автора гипотезы его личными верованиями и пристрастиями? Согласно принципу объективности познания, учёный должен стремиться быть беспристрастным. Тем не менее, каждому ученому свойственны определенные социальные, политические и идеологические взгляды, способные повлиять на его интерпретацию фактов. В современной науке этот фактор стремятся сгладить, подвергая исследование рецензированию несколькими специалистами, взгляды которых не должны полностью совпадать со взглядами и пристрастиями автора.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Сущность и методы экстраполяции

Сложное слово «экстраполяция» составлено из двух простых. Первое на латыни звучит extra и означает «вне», «за», «снаружи». Второе на той же латыни звучит polire и означает «изменять», «выправлять», «приглаживать». В целом экстраполяция может быть определена как значение вне двух заданных точек. Она считается оценкой того, что извлечено из известных фактов, которые расширяют данные в неизвестной области, чтобы прийти к предполагаемому результату. Эта концепция также может быть отнесена к предсказанию образа будущего, предполагающего истинность настоящих и прошлых тенденций.

Метод экстраполяции предполагает, что данные или наблюдения в будущем будут по-прежнему похожи. Таким образом, будущие результаты могут быть предсказаны. Ее можно рассматривать как математическую гипотезу. При экстраполяции используются данные и факты определенной ситуации и приводятся прогнозы о том, что может произойти в конечном итоге.

История процесса экстраполяции

Этот метод часто называют экстраполяцией Ричардсона или методом Ромберга. Но это не совсем правильно, поскольку на протяжении веков уже существовали похожие численные методы решения подобных задач. Поэтому знаменитая h2 Ричардсона (экстраполяция для численного решения) не является первой. Подобный метод был применим в вычислениях Гюйгенса еще в 1654 году. Сам термин «экстраполяция» был впервые введен Томасом Д. Кларесоном в 1959 году в книге о науке и художественной литературе.

Метод существует в статистических данных. Если какие-то значения периодически убираются, ответ приближается к следующей точке данных. Примером методом экстраполяции является прогноз погоды, в котором рассматривается предыстория данных и экстраполируется прогнозируемая модель будущего. Еще более простой пример, если есть информация о воскресеньях, понедельниках и вторниках, можно экстраполировать среду или четверг.

Недостатки использования экстраполяции:

Ускорение последовательности

Методы экстраполяции заключается в создании касательной линии в конце известных данных и расширении ее за пределы этой области. Подобно интерполяции, экстраполяция использует множество методов, требующих предварительного знания процесса, который создает существующие точки данных. Метод включает в себя экстраполяцию линейную и полиномиальную, экстраполяцию коники и французской кривой.

Как правило, качество конкретного метода ограничено предположениями о функции. В численном анализе экстраполяция Ричардсона представляет собой метод ускорения последовательности, используемый для улучшения скорости ее сходимости. Он назван в честь Льюиса Фрая Ричардсона. Он представил технику расчета в начале XX века, полезность которой для практических вычислений вряд ли можно переоценить.

Линейный метод

Метод линейной экстраполяции полезен, когда задана линейная функция. Это делается путем рисования касательной линии в конечной точке заданного графика и расширения ее за пределы. Этот метод экстраполяции в прогнозировании дает хорошие результаты, когда точка, которая должна быть предсказана, не слишком далека от данных. Линейная интерполяция полезна при поиске значения между заданными точками. Его можно рассматривать как «заполнение пробелов» таблицы данных.

Стратегия линейной интерполяции заключается в использовании прямой линии для соединения известных точек значений по обе стороны от неизвестной. Линейная интерполяция неточна для нелинейных параметров. Если точки в наборе данных меняются на большую величину, линейная интерполяция может дать неправильную оценку.

Линейная экстраполяция может помочь оценить значения, которые выше или ниже значений в наборе данных. Стратегия ее заключается в использовании подмножества данных вместо всего набора. Для этого типа значений полезно применять в прогнозировании метод экстраполяции, используя последние две или три точки, чтобы оценить значение, превышающее диапазон данных.

Полиномиальная и коническая экстраполяции

Известно, что три точки дают уникальный многочлен. Полиномиальная кривая может быть продолжена после окончания таких данных. Она обычно выполняется методом Ньютона с конечной разностью или с использованием интерполяционной формулы Лагранжа. Полином высшего порядка должен быть экстраполирован с должным вниманием, потому что при полиномиальной экстраполяции есть справедливые шансы на ошибку. Если это произойдет, оценка ошибки будет экспоненциально возрастать вместе со степенью полинома.

В математике минимальная полиномиальная экстраполяция представляет собой преобразование последовательности, используемое для ускорения сходимости. Хотя метод Айткена является самым известным, он часто терпит неудачу, особенно для векторных последовательностей. При этом выполняется итерация, которая строит матрицу. Ее столбцы являются отличиями.

К примеру, методом экстраполяции для конического разреза может быть произведен с помощью 5 точек, указанных ближе к концу данных. В случае, если коническая секция представляет собой круг или эллипс, то она будет образовывать петли назад и воссоединиться с собой. Парабола или гипербола никогда не пересекутся. Но они могут быть изогнуты назад относительно оси X. Экстраполяция конуса может быть выполнена на бумаге с конической секцией или с помощью компьютера.

Математический метод оценки

В этом методе экстраполяции прогнозируется значение за базовый период. Действия, описанные ниже, автоматически выполняются системой и не видны пользователю. Описание предназначено для уточнения алгоритма, который выводит ожидаемые значения из количества, хранящегося в системе, и прогнозирует результат измерения счетчика.

Экстраполяция при использовании определения количества процедуры выполняется с помощью функции: Yt = f (yi, t, aj).

В качестве основы для экстраполяции добавляются округленные данные типичного базового периода, хранящегося в результатах считывания. Система определяет вес Yt данных временного ряда в t (время прогнозируемого периода) для получения правильного решения методом экстраполяции. Где в точке отсчета взяты yi – уровень ряда и aj – параметр уравнения тренда.

Прогнозирование функциональных возможностей

Метод фиксации статистической кривой применим к прогнозированию функциональных возможностей. Статистические процедуры соответствуют прошлым данным одной или нескольких математических функций, таких как линейные, логарифмические, Фурье или экспоненциальные. Наилучшие выбираются статистическим тестом. Тогда этот прогноз экстраполируется из этой математической связи методом математической экстраполяции. Одним из самых простых способов получения приблизительных оценок будущих (или прошлых) условий является экстраполяция данных, которые изменяются со временем.

Например, если нужно провести грубую оценку будущих уровней загрязняющих веществ в питьевых водах на 20 лет вперед, можно экстраполировать эту тенденцию с последних 20 лет. То же наблюдается, если нужно оценить распространенность курения или рак легких в фоновом режиме в будущем. Прогноз можно составить путем расчета тенденции за последние годы. Экстраполяции этого типа можно сделать с использованием менее сложных методов. Во многих случаях (особенно в областях маркетинга и управления бизнесом) традиционно используется метод экстраполяции, например путем просмотра последних данных и интуитивной оценки того, что подразумевается в будущем.

Методы, основанные на правилах, также могут быть использованы путем применения набора предопределенных принципов или ожиданий на основе предварительного понимания системы и учета последних данных для интерпретации будущих событий.

При любом методе в экстраполяции важна осторожность из-за наличия многочисленных неопределенностей. Любая процедура экстраполяции основана на предположении, что в прошлых данных и знаниях имеется достоверная информация. Следовательно, будущее обусловлено теми же факторами, которые действовали ранее.

Ошибки прогнозирования

Ошибочность экстраполяции (точнее, ошибочность неоправданной экстраполяции) возникает, когда явление, ответственное за ряд тривиальных локальных эффектов, считывается в качестве великих глобальных явлений. Еще одна причина ошибки заключается в том, что иногда обобщенные правила выводятся на основе слишком немногочисленных фактов. Так, теория Дарвина об эволюции является фантастическим примером применения метода экстраполяции, в которой механизмы случайных изменений и естественного отбора объявляются для учета развития таких сложных структур, как зрение млекопитающих или иммунная система живых организмов.

При попытке интерпретации результатов исследований ученый должен избегать экстраполяции вне диапазона данных и осознавать лежащие в основе предположения, чтобы избежать принятия недействительных выводов. В общем, экстраполяция является законным научным инструментом. Есть два аспекта, которые помогают различать действительную и ошибочную экстраполяцию. Вероятность ошибочной экстраполяции выше, когда для ее построения были получены точки на недостаточных данных.

Статистические инструменты Excel

Чтобы найти корреляцию между годами и результатами (например, в бизнесе), можно воспользоваться Excel.

Для этих задач используют статистические инструменты для моделирования методом экстраполяции, встроенные во все версии Excel, начиная с 97. Порядок действия:

Применение скользящих средних

Эти два метода экстраполяции предполагают широкое использование данных по продажам для прогнозирования будущего. Скользящее среднее значение принимает серию данных и «сглаживает» флуктуации в них. Цель состоит в том, чтобы извлекать экстремумы данных из периода в период. Скользящие средние часто вычисляются ежеквартально или еженедельно. Для прогнозирования будущих значений экстраполяция предполагает использование трендов, установленных историческими данными. Основное предположение экстраполяции заключается в том, что образец будет продолжаться и в будущем, если фактические данные не указывают на иное. Чтобы подробнее разобраться в этих методах, можно рассмотреть диаграмму, показывающую продажи гаджетов для крупного бизнеса с 2012 по 2015 годы.

Этот метод экстраполяции расчета показывает фактическую цифру продаж. Как можно увидеть, общая сумма продаж колеблется от года к году, хотя можно догадаться (глядя на данные), что общая тенденция для роста продаж имеется. Черная линия показывает скользящую среднюю. Это рассчитывается путем добавления последних лет продаж (например, Q1 + Q2 + Q3 + Q4), а затем деления на четыре.

Этот метод сглаживает годовые изменения и дает хорошее представление об общей тенденции в годовых продажах. Скользящее среднее помогает указать тенденцию роста, выраженную в процентных значениях. Именно это экстраполяция будет использовать сначала, чтобы предсказать путь будущих продаж. Это можно сделать математически, используя электронную таблицу. В качестве альтернативы экстраполированный тренд можно просто нарисовать на диаграмме в качестве приблизительной оценки.

Корреляция трендов

Всегда одна технология является предшественником другой. Это случается, когда достижения, достигнутые в технологии прекурсоров, могут быть приняты технологией последователей. Когда такие отношения существуют, знание изменений в технологии предшественников может быть использовано для прогнозирования хода технологии последователей в будущем. Кроме того, экстраполяция предшественника позволяет прогнозировать продолжение следования за пределами времени запаздывания.

В этом случае используют метод экстраполяции трендов, в котором сравниваются, например, тенденции скорости боевых и транспортных самолетов. Другим примером прогноза корреляции трендов является прогнозирование размера и мощности будущих компьютеров, основанное на достижениях в области микроэлектронной технологии. Иногда технология последователей зависит от нескольких технологий прекурсоров, а не от одного предшественника.

Фиксированные комбинации предшественников могут влиять на изменение в последовательности, но чаще комбинации не фиксируются, а входы предшественников различаются как по комбинации, так и по силе. Например, увеличение скорости воздушных судов может происходить за счет улучшения двигателей, материалов, элементов управления, топлива, аэродинамики и различных комбинаций этих факторов.

Пример прогноза корреляции, полученной методом экстраполяции трендов: общие пассажирские мили, общие географические мили и средняя посадочная мощность. Экстраполяция статистически определенных тенденций позволяет объективно подходить к прогнозированию. Однако этот подход имеет серьезные ограничения и ловушки. Любые ошибки или неправильный выбор, сделанный при определении исторических данных, будут отражены в прогнозе, что снижает его ценность.

Приложения, атрибуты и лимиты

Метод экстраполяции относится к сфере прогнозирования. Он предполагает, что шаблоны, которые существовали в прошлом, будут продолжаться и в будущем, а также то, что эти шаблоны являются регулярными и могут быть измерены. Другими словами, прошлое является хорошим индикатором будущего. Приложения полезны для разработки базовых данных.

Временные стандартные статистические процедуры не приводят к аккуратным подборам тенденций, которые прогнозист может экстраполировать с комфортом, выполняя прогноз методом экстраполяции. В таких случаях прогнозист может «скорректировать» статистические результаты, применяя суждение. Также он может полностью игнорировать статистику и экстраполировать тренд целиком на основе суждения.

Прогнозы, генерируемые таким образом, менее точны, чем статистические, но не обязательно неудовлетворительные. Одним из примеров такой экстраполяции качественного тренда является прогнозирование сложности воздушного судна. Попытки количественной оценки этой тенденции не были успешными. Но процент подвижных или регулируемых частей самолета был экстраполирован с частотой, с которой такие элементы были введены в прошлом. Эти прогнозы были достаточно точными.

Специфические технические изменения не могут быть предсказаны таким образом, но степень изменения может. Это дает полезные материалы для планирования, указывая тенденцию прошлого поведения.

Источник