Что такое эквивалентные функции определение
Применение эквивалентных функций при решении пределов
Метод решения
Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).
Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.
Применяемые определения и теоремы
Таблица эквивалентных функций
| Эквивалентность при | Равенство при |
Предостережение
Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.
Примеры
Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.
Пример 1
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.
Пример 2
Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.
Пример 3
Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;
.
Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.
Пример 4
В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.
Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.
Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили \ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица
В данной статье речь пойдет об основных понятиях эквивалентных функций, с помощью которых можно найти значение пределов.
Понятие эквивалентности поменяется не только в высшей математике, но и в логике, психологии, при переводах с иностранных языков. Оно означает «равнозначность», «равносильность», «равенство».
Определение эквивалентных функций
Эквивалентные функции — это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.
Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если при x1, стремящимся к x2, f(x)
g1(x) существует предел:
то существует и предел:
Доказательство
Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:
в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:
Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй.
Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно.
Таблица эквивалентных функций
Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x0:
Эквивалентные функции
Что такое эквивалентные функции
Эквивалентность — равнозначность в каком-либо отношении.
Эквивалентные функции позволяют облегчить процесс вычисления пределов с помощью замены множителей в примерах с дробями и произведениями.
Функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x→α, если \( \lim_
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Данное определение применимо к бесконечно большим и малым функциям.
Эквивалентность обозначается знаком ∼, т.е. чтобы показать, что функции α(x) и β(x) эквивалентны, нужно оформить запись следующим образом: α(x)∼β(x)
Для удобства следует использовать специальную таблицу.
Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов
Свойства функций
Основные свойства бесконечно малых функций:
Основные свойства эквивалентных бесконечно больших функций:
Применяемые определения
Данных определений будет достаточно для решения пределов с применением понятия эквивалентности.
Применяемые теоремы
Теорема 1 (о замене эквивалентными в произведении и отношении):
Теорема 2:
Теорема 3:
Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.
Верно и обратное утверждение.
Теорема 4:
Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Теорема 5 (о замене эквивалентных функций в пределах частного):
Сравнение функций
Сравнение бесконечно малых функций
Сравнение бесконечно больших функций
Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций
Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.
Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.
Произведем замену переменной
\((x-\mathrm\pi)=y, где y\rightarrow0, если x\rightarrow\mathrm\pi\)
Применим формулу приведения:
Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.
В данной статье речь пойдет об основных понятиях эквивалентных функций, с помощью которых можно найти значение пределов. Понятие эквивалентности поменяется не только в высшей математике, но и в логике, психологии, при переводах с иностранных языков. Оно означает «равнозначность», «равносильность», «равенство».
Определение эквивалентных функций
Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.
Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если при x1, стремящимся к x2, f(x)
g1(x) существует предел:
то существует и предел:
Доказательство
Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:
в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:
Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй.
Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно.
Таблица эквивалентных функций
Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x0:
Эквивалентность при t → 0
Равенство при t → 0
a t – 1 = t ln a + 0(t)
Всегда ли можно сделать замену функций эквивалентными?
Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел.
В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.
Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций
Для сравнения рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Начнём решение, учитывая, что tg2x
Пример 2
Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:
Пример 3
Решение: если sin (15x)
Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.
Эквивалентные функции
Эквивалентные функции
Эквивалентные функции. Если функция A ( ) заменяется функцией c ( ), то разность/(x) c (x) называется абсолютной погрешностью, а отношение А (х)_ с（-） A (X)—произошла относительная ошибка Замена. Если вы хотите выяснить поведение функции f (x) в x> X0, рекомендуется заменить ее функцией c ( ), которая выглядит следующим образом: 1) функция c (-) в одном смысле проще, чем функция A (x). 2) абсолютная погрешность x ^ xo стремится к нулю. РМ [/(х) с(х)]=. х-хо В этом случае говорят, что c(-)приближает или приближает функцию/(x) вблизи точки x0.Это свойство принадлежит всем функциям A и c, например, бесконечно малым для x> x. Ниже показано, что среди них есть только эквиваленты друг друга. c (x) A (x), x ^ x0, а не только абсолютная ошибка A (x) c (x)、 А(х) с(х).
Может использоваться для расчета пределов, не зная заранее, существуют ли рассматриваемые пределы или нет. Людмила Фирмаль
Поскольку равенство с обеих сторон (8.37) равно, из теоремы доказывается, что ограничение существует на левой стороне только в том случае, если есть ограничение на правой стороне, а если есть, то оно совпадает. Людмила Фирмаль
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института