Что такое элементарная математика
элементарная математика
Смотреть что такое «элементарная математика» в других словарях:
Элементарная математика — Элементарная математика несколько неопределённое понятие, охватывающее те разделы математики, которые изучаются в средней школе. Преподавание элементарной математики в России В России обучение математике начинается с 1 класса. В начальной… … Википедия
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА — несколько неопределенное понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела … Большой Энциклопедический словарь
Элементарная математика — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых пользуются общими понятиями переменной функции предела и т п. Иначе говоря Э. м. пользуется теми общими понятиями… … Большая советская энциклопедия
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в к рых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела … Естествознание. Энциклопедический словарь
МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия
МАТЕМАТИКА — уч. предмет в школе, в содержание к рого входят элементы арифметики, алгебры, начал анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитич. геометрии, тригонометрии. Преподавание М. направлено на овладение учащимися системой матем.… … Российская педагогическая энциклопедия
Элементарная геометрия — часть геометрии, входящая в элементарную математику (См. Элементарная математика). Границы Э. г., как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Э. г. есть та часть геометрии, которая изучается в… … Большая советская энциклопедия
Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия
Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
Смотреть что такое «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА» в других словарях:
Элементарная математика — Элементарная математика несколько неопределённое понятие, охватывающее те разделы математики, которые изучаются в средней школе. Преподавание элементарной математики в России В России обучение математике начинается с 1 класса. В начальной… … Википедия
элементарная математика — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела. * * * ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА, несколько… … Энциклопедический словарь
Элементарная математика — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых пользуются общими понятиями переменной функции предела и т п. Иначе говоря Э. м. пользуется теми общими понятиями… … Большая советская энциклопедия
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в к рых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела … Естествознание. Энциклопедический словарь
МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия
МАТЕМАТИКА — уч. предмет в школе, в содержание к рого входят элементы арифметики, алгебры, начал анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитич. геометрии, тригонометрии. Преподавание М. направлено на овладение учащимися системой матем.… … Российская педагогическая энциклопедия
Элементарная геометрия — часть геометрии, входящая в элементарную математику (См. Элементарная математика). Границы Э. г., как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Э. г. есть та часть геометрии, которая изучается в… … Большая советская энциклопедия
Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия
Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА
несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в к-рых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела.
Смотреть что такое «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА» в других словарях:
Элементарная математика — Элементарная математика несколько неопределённое понятие, охватывающее те разделы математики, которые изучаются в средней школе. Преподавание элементарной математики в России В России обучение математике начинается с 1 класса. В начальной… … Википедия
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА — несколько неопределенное понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела … Большой Энциклопедический словарь
элементарная математика — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела. * * * ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА, несколько… … Энциклопедический словарь
Элементарная математика — несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых пользуются общими понятиями переменной функции предела и т п. Иначе говоря Э. м. пользуется теми общими понятиями… … Большая советская энциклопедия
МАТЕМАТИКА — наука, или группа наук, о познаваемых разумом многообразиях и структурах, специально – о математических множествах и величинах; напр., элементарная математика – наука о числовых величинах (арифметика) и величинах пространственных (геометрия) и о… … Философская энциклопедия
Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия
МАТЕМАТИКА — уч. предмет в школе, в содержание к рого входят элементы арифметики, алгебры, начал анализа, евклидовой геометрии плоскости и пространства, аналитич. геометрии, тригонометрии. Преподавание М. направлено на овладение учащимися системой матем.… … Российская педагогическая энциклопедия
Элементарная геометрия — часть геометрии, входящая в элементарную математику (См. Элементарная математика). Границы Э. г., как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Э. г. есть та часть геометрии, которая изучается в… … Большая советская энциклопедия
Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия
Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия
Что такое элементарная математика
1. Развитие математики не сводится к простому накоплению новых теорем, но включает существенные, можно сказать, качественные изменения математики. Эти качественные изменения происходят, однако, не в порядке ломки и отмены существующих теорий, но в порядке их углубления и обобщения, в порядке появления новых обобщающих теорий, подготовленных предшествующим развитием.
С самой общей точки зрения в истории математики можно отметить четыре основных, качественно различных этапа. Конечно, точное разграничение этих этапов невозможно, потому что существенные черты каждого следующего из них складывались более или менее постепенно, но различие этих этапов и переходы между ними обозначаются вполне отчетливо.
Первый этап (или период) — это период зарождения математики как самостоятельной и чисто теоретической науки. Он тянулся с древнейших времен и закончился к V в. до н. э., если на раньше, когда в Греции сложилась, наконец, «чистая» математика с ее логической связью теорем и доказательств (в V в. до н. э. появились, в частности, систематические изложения геометрии, например, «Начала» Гиппократа Хиосского). Этот период был периодом формирования арифметики и геометрии, и мы уже достаточно подробно его рассмотрели. Тогда математика складывалась как непосредственно связанная с практикой совокупность отдельных правил, выведенных из опыта. Эти правила не образовывали еще единой логически связанной системы. Теоретический характер математики с её логическим доказательством теорем складывался очень медленно, по мере накопления материала. Арифметика и геометрия не были разделены, но тесно переплетались друг с другом.
Второй период можно характеризовать как период элементарной математики, математики постоянных величин; основные, простейшие его результаты составляют теперь содержание школьного курса. Этот период продолжался около двух тысяч лет и закончился в XVII в. с возникновением «высшей» математики. На этом периоде мы подробнее остановимся в этом параграфе. Следующие параграфы будут посвящены третьему и четвертому периодам — эпохе создания и развития анализа и периоду современной математики.
В области арифметики и начал алгебры греки также дали немало. Они, как уже было упомянуто раньше, положили начало теории чисел. Сюда относятся, например, их исследования о простых числах (теорема Эвклида о существовании бесконечного множества простых чисел и «решето
Эратосфена» для нахождения простых чисел), а также решение уравнений в целых числах (Диофант, около 246-330 гг. н. э.).
Мы говорили уже, что греки открыли иррациональные величины, но рассматривали их геометрически, как отрезки. Поэтому задачи, которые мы теперь рассматриваем алгебраически, греки рассматривали геометрически. Так они решали квадратные уравнения и преобразовывали иррациональные выражения. Например, уравнение, которое мы пишем теперь в виде 
, читалось так: найти такой отрезок х, что если к построенному на нем квадрату приложить прямоугольник, построенный на том же отрезке и данном отрезке а, получим прямоугольник, равновеликий данному квадрату. Господство геометрии продолжалось долгое время после греков. Греки знали также способы извлечения квадратного и кубического корней, свойства арифметических и геометрических прогрессий.
Таким образом, у греков, был уже большой материал из современной элементарной алгебры, но не хватало главного: отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел в отвлечении от всякой геометрии и, наконец, развитой системы буквенных обозначений. Впрочем, Диофант уже употреблял буквенные обозначения для неизвестной и ее степеней, а также специальные знаки сложения, вычитания, равенства, поэтому он писал алгебраические уравнения, однако еще только с конкретными численными коэффициентами.
В геометрии греки вплотную подошли к «высшей» математике: Архимед — к интегральному исчислению в вычислении площадей и объемов, Аполлоний — к аналитической геометрии в своих исследованиях о конических сечениях. Он фактически дает уравнения этих кривых, но выражает их геометрическим языком. Однако у них не было еще ни общих понятий произвольной постоянной и переменной величины, ни той необходимой формы — буквенных обозначений алгебры, которые появилась совсем в другую зпоху и которые только и могли превратить их исследования в источник новых теорий, входящих уже в высшую математику. Создатели этих теорий тысячу лет спустя отправлялись в большой мере от наследия греческих ученых. Сочинение Декарта «Геометрия» (1637), кладущее начало аналитической геометрии, как раз начинается с разбора задач, оставленных греками.
Таков общий закон. Старые теории, порождая новые и глубокие задачи, как бы перерастают сами себя и требуют тогда для дальнейшего развития новых форм, новых идей. Эти новые формы и идеи для своего возникновения могут требовать иных условий. В античном обществе не было и не могло быть условий для перехода к высшей математике; они наступили с развитием естествознания, в новое время, а это развитие в свою
очередь было обусловлено в XVI—XVII вв. новыми потребностями техники и промышленности и было связано, таким образом, с зарождением и развитием капитализма.
Греки как бы исчерпали возможности элементарной геометрии, и этим надо объяснить тот факт, что блестящий прогресс геометрии иссяк к началу нашей эры и сменился развитием тригонометрии и алгебры в работах Птолемея, Диофанта и др. Как раз работы Диофанта можно считать началом того периода, когда ведущей становится алгебра. Но шедшее к своему закату античное общество уже не могло двигать науку дальше в этом новом направлении.
Надо отметить, что уже за несколько веков до этого в Китае арифметика достигла высокого уровня. Китайскими учеными во II—I вв. до н. э. описываются Правила арифметического решения системы трех уравнений первой степени. При этом впервые в истории используются отрицательные коэффициенты и формулируются правила действия с отрицательными количествами. (Сами решения они, однако, искали только положительные, так же, как это позже делал Диофант.) В тех же книгах уже фигурирует способ извлечения квадратных и кубических корней.
3. С концом греческой науки в Европе наступил научный застой, и центр развития математики переместился в Индию, Среднюю Азию и арабские страны. Здесь на протяжении тысячи лет, с V по XV в., математика развилась главным образом в связи с потребностями вычислений, в частности для астрономии; математики Востока по большей части были также астрономами. Ими, правда, почти ничего не было прибавлено значительного к греческой геометрии; в этой науке они лишь сохранили для последующих времен творения греков. Зато индийскими, арабскими и среднеазиатскими математиками были достигнуты громадные успехи в области арифметики и алгебры.
Индийцы, как уже говорилось в § 2, изобрели современную систему счисления. Они ввели также отрицательные числа, связывая противоположение положительных и отрицательных чисел с противоположением имущества и долга или двух направлений на прямой. Они, наконец, начали оперировать с иррациональными количествами так же, как с рациональными, без геометрического их представления, в отличие от греков.
У них были также специальные обозначения для алгебраических действий, включая извлечение корня. Именно благодаря тому, что индийские и среднеазиатские ученые не смутились различием иррациональных и рациональных количеств, они смогли преодолеть «засилие» геометрии, характерное для греческой математики, и открыли путь развитию настоящей алгебры, свободной от тяжеловесной геометрической оболочки, в которую она была втиснута греками.
Самое слово «алгебра» происходит от названия сочинения хорезмского математика и астронома Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (Мухаммеда сына Мусы из Хорезма), жившего в IX в.; его сочинение по. алгебре называлось «Альджебр альмукабала», что означает «восстановление и противоположение». Под восстановлением — альджебр — понималось перенесение отрицательных членов в другую часть уравнения, а под противоположением — альмукабала — отбрасывание в обеих частях равенства равных членов.
Арабское слово «альджебр» при переводе на латинский язык превратилось в algebra, а альмукабала была отброшена: так появилось самое название «алгебра».
Кстати, происхождение этого названия вполне отвечает содержанию самой науки. Алгебра в своей основе есть учение об арифметических действиях, рассматриваемых формально в общем виде, отвлекаясь от конкретных чисел. Ее задачи составляют в первую очередь формальные правила преобразования выражений и решения уравнений. Аль-Хорезми поставил заглавием своей книги как раз названия некоторых общих формальных правил и тем выразил дух алгебры.
Позже Омар, Хайям дал определение алгебры как науки о решении уравнений. Это определение сохраняло свое значение до конца прошлого века, когда наряду с теорией уравнений в алгебре сложились новые направления, существенно изменившие ее лицо, но не изменившие ее общего духа как общего учения о формальных действиях.
Среднеазиатские математики нашли методы извлечения корней и приближенного решения ряда уравнений, общую формулу «бинома Ньютона», хотя выражали ее словами, и др. Они сильно продвинули тригонометрию, приведя ее в систему, и вычислили очень точные таблицы синусов. Эти таблицы вычислил в связи с потребностями астрономии работавший у знаменитого узбекского астронома Улугбека [математик Гиясэддин (около 1427), который изобрел также десятичные дроби за 150 лет до их вторичного изобретения в Европе.
Словом, в течение средних веков в Индии и в Средней Азии сложились почти полностью современная десятичная система счисления (включая дроби), элементарная алгебра и тригонометрия. В тот же период начали проникать в соседние страны достижения китайской науки, где около VI в. были известны приемы решения простейших неопределенных уравнений, приближенные вычисления в геометрии и первые приемы приближенного решения уравнений третьей степени. Из материала школьного курса алгебры к XVI в. не хватало, пожалуй, только логарифмов и мнимых чисел. Кроме того, не существовало еще системыбуквенных бозначений: содержание алгебры обгоняло ее форму. Однако эта форма была необходима: отвлечение от конкретных чисел и формулирование общих правил требовали соответствующего способа выражения, нужно было обозначать любые числа и действия над ними. Алгебраическая символика является необходимой формой, отвечающей содержанию алгебры. Как в глубокой древности, чтобы оперировать с целыми числами, нужно было выработать для них обозначения, так и теперь, чтобы оперировать с произвольными числами и давать для них общие правила, нужно было выработать соответствующие обозначения. Эта задача решалась со времен греков, и ее решение было завершено лишь в XVII в., когда в трудах Декарта и других сложилась, наконец, современная система обозначений.
4. При возрождении наук европейцы учились у арабов и знакомились с греческой наукой по арабским переводам. Книги Эвклида, Птолемея, Аль-Хорезми в XII в. впервые перевели с арабского на латинский — общий научный язык Западной Европы того времени. В то же время в борьбе с прежней системой счета, идущей от греков и Рима, постепенно укрепляется в Европе индийское счисление, заимствуемое у арабов.
Только в XVI в. европейская наука, наконец, впервые превзошла достижения своих предшественников. Так, итальянцы Тарталья и Феррари решили в общем виде: первый — кубическое, второй — уравнение четвертой степени (см. главу IV). (Заметим, что, хотя эти выводы не проходят
в школе, они по уровню применяемых методов принадлежат к элементарной алгебре. К высшей алгебре нужно относить общую теорию уравнений.)
В этот же период впервые начинают оперировать с мнимыми числами (пока чисто формально, без какого-либо реального обоснования, которое выясняется гораздо позже, в начале XIX в.). Вырабатываются также современные алгебраические обозначения и, в частности, появляются (у Виета в 1591 г.) буквенные обозначения не только неизвестных, но и данных чисел: «а», «b» и т. п. Во всей этой работе по развитию алгебры принимает участие много математиков. Тогда же, кстати, появляются в Европе десятичные дроби (их изобретает нидерландский ученый Стевин и пишет о них в 1585 г.).
Наконец, Непер в Англии изобретает логарифмы как пособие для астрономических вычислений и сообщает о них в 1614 г., а Бригг вычисляет первые десятичные таблицы логарифмов, которые появляются в 1624 г.
Тогда же появляются в Европе «теория соединений» и общая формула «бинома Ньютона»; прогрессии были уже известны раньше. Таким образом, построение элементарной алгебры завершается. Вместе с этим в начале XVII в. заканчивается весь период математики постоянных величин, элементарной математики, которую теперь с небольшими добавлениями изучают в школе; арифметика, элементарная геометрия, тригонометрия, элементарная алгебра сложились к тому времени во всем существенном. Дальше следовал переход к высшей математике — математике переменных величин.
Не следует, однако, думать, будто на этом кончилось развитие элементарной математики. Оно продолжается и, например, в элементарной геометрии постоянно появлялись и появляются новые результаты. Более того, именно благодаря дальнейшему развитию математики мы более ясно осознали сущность самой элементарной математики. Однако руководящую роль в математике теперь уже приобрели понятия переменной величины, функции, предела. Задачи, идущие из элементарной математики, теперь часто не только освещаются и решаются с помощью этих понятий высшей математики и связанных с ними методов, но они подчас и не разрешимы элементарными методами. В той же связи с понятиями и методами высшей математики задачи, идущие от элементарной математики,
служат и теперь источником более общих результатов и даже теорий. Примеры тому представляет уже упомянутая теория правильных систем фигур, или задачи теории чисел, элементарные по формулировке, но вовсе не элементарные по методам их решения, о чем читатель может подробнее узнать в главе X (том 2).
Элементарная математика. Сканави М.И.
Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной.
Первое издание книги вышло в 1967году, в начале работы над вторым изданием ушел из жизни сам Марк Иванович Сканави (1972г.) и работа была продолжена его соавторами. В списке авторов данного издания: Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И.
Предисловие ко второму изданию. 9
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Натуральные числа (18). 2. Простые и составные числа. Признаки дели
мости (20). 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
(22). 4. Целые числа. Рациональные числа (24). 5. Десятичные дроби.
Представление рациональных чисел десятичными дробями (28). 6. Иррацио
нальные числа. Действительные числа (31). 7. Действия с приближенными
числами (35). 8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости (40).
Упражнения. 45
9. Степени с натуральными показателями (46). 10. Степени с целыми пока
зателями (47). 11. Корни (48). 12. Степени с рациональными показате
лями. Степени о действительными показателями (51). 13. Алгоритм извлече
ния квадратного кория (52).
Упражнения. 56
14. Основные понятия и определения (57). 15. Рациональные действия с
комплексными числами (59). 16. Геометрическое изображение комплексных
чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа (62). 17. Действия с
комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула
Муавра (65). 18. Извлечение корня из комплексного числа (66).
Упражнения. 69
§ 1. Рациональные алгебраические выражения. 70
19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены (70). 20. Форму
лы сокращенного умножения (74). 21. Бииом Ньютона (75). 22. Разло
жение многочлена иа множители (7 8). 23. Дробные алгебраические выраже
ния (79).
Упражнения. 80
24. Радикалы нз алгебраических выражений (80). 25. Освобождение от ир«
рациональности в знаменателе дроби (84).
§ 1. Логарифмы по произвольному основанию. 87
26. Определение и свойства логарифмов (87). 27. Логарифмы по различным
основаниям. Модуль перехода (92).
§ 2. Десятичные логарифмы. 94
28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма (94). 29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям (9 8).
§ 1. Общие сведения о функциях. 101
30. Величина. Числовые множества (101). 31. Определение функции (102). 32. График функции.
Способы задания функций (104). 33. Элементарное исследование поведения функции (106). 34.
Сложная функция (109). 35. Обратная функция (109). 36. Функции нескольких переменных (112).
37. Обзор элементарных функций (113). 38. Линейная функция (115). 39. Квадратичная функция у=ах г (118).
4 0. Степенная функция у—х п (120). 41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция
с рациональным показателем степени (121). 42. Показательная функция (125). 43. Логарифмическая функция (127).
§ 3. Преобразование графиков. 128
44. Параллельный сдвиг графика (128). 45. График квадратного трехчлена (130). 46. График дробио-лииейной
функции (133). 47. Преобразование симметрии. Сжатие н растяжение графика (134). 48. Построение графиков функций
§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях. 142
50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов (142).
51. Схема Горнера. Теорема Безу (145). 52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители (147).
§ 1. Общие сведения об уравнениях. 151
53. Уравнение. Корни уравнения (151). 54. Равносильные уравнения (152). 55. Системы уравнений (155).
56. Графическое решение уравнений (157).
57. Число и кратность корней (158). 58. Уравнения первой степени (линейные уравнения) (159).
59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения (160). 60. Формулы Виета. Разложение квадратного
трехчлена на множители (164). 61. Исследование квадратного уравнения (165). 62. Уравнения высших степеней.
Целые корни (167). 63. Двучленные уравнения (169). 64. Уравнения, сводящиеся к квадратным (170). 65. Возвратные уравнения (172).
§ 3. Системы алгебраических уравнений. 173
66. Линейные системы (173). 67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух
уравнений с двумя неизвестными (176). 68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения (183).
69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений
высших степеней (186).
70. Иррациональные уравнения (191). 71. Показательные уравнения (195).
72. Логарифмические уравнения (197). 73. Разные уравнения. Системы урав
нений (199),
§ 1. Числовые и алгебраические неравенства. 203
74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами (203). 75. Алгебраиче
ские неравенства (208).
Упражнения. 210
§ 2. Решение неравенств. 211
76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства (211).
77. Графическое решение неравенств (212). 78. Линейные неравенства. Си
стемы линейных неравенств (213). 79. Квадратные неравенства (217).
80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рацио-
нальиые функции от х (219). 81. Иррациональные, показательные и логариф
мические неравенства (222). 82. Неравенства с двумя неизвестными (225).
Упражнения. 227
83. Числовая последовательность (228). 84. Предел числовой последователь
ности (230). 85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода (235).
§ 2. Арифметическая прогрессия. 238
86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена (238). 87. Свойства арифметической прогрессии (239).
88. Формула для вуммы п членов арифметической прогрессии (240).
§ 3. Геометрическая прогрессия. 242
89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена (242). 90. Свойства
геометрической прогрессии (244). 91. Формулы для суммы п членов геомет
рической прогрессии (245). 92. Бесконечно убывающая геометрическая про
грессия (246).
Упражнения. 248
§ 1. Векторы. Обобщение понятий угла и дуги. 249
93. Вектор, проекция вектора (249). 94. Положительные углы и дуги, мень
шие 360° (251). 95. Углы и дуги, большие-360° (251). 96 Отрицательные
углы. Сложение и вычитание углов (252).
Упражнения. 254
§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла. 254
97. Определение основных тригонометрических функций (254). 98. Изменение
основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2л (259).
Упражнения. 264
§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того
99. Основные тригонометрические тождества (264). 100. Вычисление значений
тригонометрических функций по значению одной из них (266). 101. Значения
тригонометрических функций некоторых углов (267).
Упражнения. 269
§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций 270
тригонометрических функций (273).
§ 5. Формулы приведения. 276
105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных
углов (276). 106. Формулы приведения (278).
§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента. 284
107. Определение (284). 108. Области определения и области изменения
значений тригонометрических функций (285). 109. Некоторые неравенства и
их следствия (285).
Упражнения. 287
§ 2. Графики тригонометрических функций. 287
ПО. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций (287).
111. Основные графики (288). 112. Примеры построения графиков некоторых
других тригонометрических функций (293). 113. Дальнейшие примеры по
строения графиков функций (29 5).
Упражнения. 298
§ 1. Точка, прямая, плоскость. Фигуры и тела. 379
156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок (379). 157. Плоскость. Фигуры и тела (380). 158.
Угол (381). 159. Ломаная линия. Многоугольник (382). 160. Равенство фигур. Движение (384).
161. Равенство тел (386).
§ 2. Измерение геометрических величин. 386
§ 1. Перпендикулярные и параллельные прямые. 400
169. Перпендикуляр и наклонные (400). 170. Свойство перпендикуляра, про веденного
к отрезку в его середине (402). 171. Параллельные прямые (402).
172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей (404).
173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами (405).
§ 2. Геометрические места точек. Окружность. 407
174. Геометрическое место точек (407). 175. Свойство биссектрисы угла
(407). 176. Окружность (408). 177. Взаимное расположение прямой и ок
ружности. Касательная и секущая (409). 178. Хорда н диаметр. Сектор и
сегмент; (411). 179. Взаимное расположение двух окружностей (412).
§ 3. Основные задачи на построение. 414
180. Линейка и циркуль (414). 181. Деление отрезка пополам. Построение
перпендикуляров (415). 182. Построение углов (416). 183. Другие задачи
на построение (418).
Упражнения. 419
§ 1. Треугольники. 420
184. Стороны и углы треугольника (421). 185. Биссектрисы треугольника.
Вписанная окружность (422). 186. Оси симметрии сторон треугольника. Опи
санная окружность (423). 187. Медианы н высоты треугольника (425).
188. Равенство треугольников (425). 189. Построение треугольников (427).
190. Равнобедренные треугольники (430).» 191. Прямоугольные треугольники
(430).
Упражнения. 432
192. Четырехугольники (432). 193. Параллелограмм и его свойства (433).
194. Прямоугольник (434). 195. Ромб. Квадрат (435).
196. Трапеция (436). 197. Средняя линия треугольника (439). 198. Сред
няя линия трапеции (440). 199. Деление отрезка на равные части (441).
Упражнения. 442
§ 4. Площади треугольников и четырехугольников. 442
200. Площадь параллелограмма (442). 201. Площадь треугольника (443).
202. Площадь трапеции (445).
§ 1. Пропорциональные отрезки. 446
203. Пропорциональные отрезки (446). 204. Свойства биссектрис внутреннего
и внешнего углов треугольника (4 49).
§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия). 451
205. Определение гомотетичных фигур (451). 206. Свойства преобразования подобия (453).
§ 3. Общее подобное соответствие фигур. 456
207. Подобные фигуры (456). 208. Периметры и площади подобных треуголь
ников (459). 209. Применение подобия к решению задач на построение (460).
Упражнения. 461
§ 1. Углы и пропорциональные отрезки в круге. 462
§ 2. Метрические соотношения в треугольнике. 470
216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пи
фагора (470). 217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого
угла в треугольнике. Теорема косинусов (47 3). 218. Теорема синусов. Фор
мула Герона (476). 219. Радиусы вписанной и описанной окружностей (478).
Упражнения. 480
§ 3. Решение треугольников. 481
222. Решение прямоугольных треугольников (489). 223. Решение косоугольных треугольников (490).
§ 1. Правильные многоугольники. 499
224. Выпуклые многоугольники (499). 225. Правильные многоугольники (501). 226. Соотношения
между стороной, радиусом и апофемой (502). 227. Периметр и площадь правильного л-угольника (503).
228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника (504).
229 Длина окружности (507). 230. Площадь круга и его частей (510)
§ 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей. 514
231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (514). 232. Взаимное расположение прямой
линии и плоскости (515). 233. Взаимное расположение двух плоскостей (518). 234. Свойства
параллельных прямых и плоскостей (518). 235. Построения в стереометрии (520).
§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей. 521
236. Перпендикуляр к плоскости (521). 237. Перпендикуляр и наклонные (523). 238. Угол между
прямой и плоскостью (524). 239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых
и плоскостей (525). 240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (526).
§ 3. Двугранные и многогранные углы. 528
241. Двугранный угол (528). 242. Взаимно перпендикулярные плоскости (529). 243. Трехгранные
углы (530). 244. Многогранные углы (534).
245. Многогранники (535). 246. Правильные многогранники (536).
§ 1. Призма. Параллелепипед. Цилиндр. 539
247. Цилиндры и призмы (539). 248. Параллелепипеды (542). 249. Объемы призм и цилиндров (543).
250. Площадь боковой поверхности призмы (544).
251. Площадь поверхности цилиндра (545).
§ 2. Пирамида. Конус. 547
252. Свойства пирамиды и конуса (547). 253. Объем пирамиды и конуса
(551). 254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды н конуса
(554). 255. Усеченный конус и усеченная пирамида (556).
§ 3. Шаровая поверхность] Шар. 559
256. Шар и шаровая поверхность (559). 257. Объем шара и его частей (562).
258. Площадь поверхности шара и ее частей (566). 259. Понятие телесного