Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.
Определение и элементы эллипса
Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.
По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:
Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.
Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.
Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.
Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.
Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.
Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.
Основные свойства эллипса
имеются две оси и один центр симметрии;
при равенстве полуосей линия превращается в окружность;
все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.
Уравнение эллипса
Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.
Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:
а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);
c – половина фокального расстояния;
M(x;y) – произвольная точка линии.
В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)
После ввода ещё одного обозначения
получается наиболее простой вид уравнения:
Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).
В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:
Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.
Площадь эллипса
Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:
a – большая полуось, b – малая.
Площадь сегмента эллипса
Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.
Длина дуги эллипса
Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:
Радиус круга, вписанного в эллипс
В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:
Радиус круга, описанного вокруг эллипса
Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:
Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.
Как построить эллипс
Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.
Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:
Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.
Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.
При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.
Эллипс (геометрич.)
Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна, то есть
Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой. Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.
Содержание
Связанные определения
Свойства
Эллипс также можно описать как
Соотношения между элементами эллипса
Координатное представление
Каноническое уравнение
Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):
Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что 
В этом случае величины a ‘ и b — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.
Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:
Координаты фокусов эллипса:
Эллипс имеет две директриссы, уравнения которых можно записать как
Фокальный параметр (т.е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен
Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом k:
Уравнение касательных, проходящих через точку 
Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент k: :
Уравнение нормали в точке
Параметрическое уравнение
Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:
где 
— параметр уравнения.
Уравнение в полярных координатах
Если принять фокус эллипса за полюс, а ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах 
будет иметь вид
где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр.
Пусть r1 и r2 расстояния до данной точки эллипса из первого и второго фокусов. Пусть, также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол φ отсчитывается от направления на второй полюс. Тогда, из определения эллипса,
.
.
Исключая r2 из последних двух уравнений, получаем
получаем искомое уравнение.
Другое уравнение в полярных координатах:
Длина дуги эллипса
Длина дуги плоской линии определяется по формуле:
Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:
Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллипическому интегралу второго рода 
. В частности, периметр эллипса равен:
,
где 
— полный эллиптический интеграл второго рода.
Приближённые формулы для периметра
YNOT: 
где 
Максимальная погрешность этой формулы
0.3619 % при эксцентриситете эллипса
0.979811 (соотношение осей
1/5). Погрешность всегда положительная.
Очень приближенная формула 
Площадь эллипса
Площадь эллипса вычисляется по формуле
где 
и 
полуоси эллипса.
Построение эллипса
Пусть даны две взаимноперпендикулярные прямые (оси будущего эллипса) и два отрезка длиной a (большая полуось) и b (малая полуось). Точку пересечения прямых обозначим как O, это центр эллипса.
C помощью циркуля
C помощью циркуля и линейки
Ссылки
См. также
| Конические сечения | |
|---|---|
| Главные типы | Эллипс • Гипербола • Парабола |
| Вырожденные | Точка • Прямая • Пара прямых |
| Частный случай эллипса | Окружность |
| Геометрическое построение | Коническое сечение • Шары Данделена |
| Математика • Геометрия | |
Полезное
Смотреть что такое «Эллипс (геометрич.)» в других словарях:
Эллипс (геометрич.) — Эллипс, линия пересечения круглого конуса с плоскостью, встречающей одну его полость (рис. 1). Э. может быть также определён как геометрическое место точек М плоскости, для которых сумма расстояний до двух определенных точек F1 и F2 (фокусов Э.)… … Большая советская энциклопедия
Линия (геометрич. понятие) — Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно. 1) В элементарной геометрии рассматриваются… … Большая советская энциклопедия
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ — линии, к рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трех типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а):линия пересечения… … Математическая энциклопедия
ЛИНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА — плоская линия, декартовы прямоугольные координаты к рой удовлетворяют алгебраич. уравнению 2 й степени Уравнение (*) может и не определять действительного геометрич. образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет… … Математическая энциклопедия
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК — понятие, иногда используемое в геометрии. Обычно под Г. м. т. понимают множество точек (образующих кривую или поверхность), выделяемых из всех точек пространства к. л. геометрич. требованием. Напр., эллипс может быть определен как Г. м. т.… … Математическая энциклопедия
ДАНДЕЛЕНА ШАРЫ — сферы, участвующие в геометрич. построении, к рое связывает планиметрич. определение эллипса, гиперболы или параболы со стереометрия. определением. Пусть, напр., в круговой конус вписаны две сферы (их и называют шарами Данделена), к рые касаются… … Математическая энциклопедия
КАРТОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — отображение всей поверхности земного эллипсоида или какой либо ее части на плоскость, получаемое в основном с целью построения карты. К. п. чертят в определенном масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в Мраз, получают его геометрич. модель… … Математическая энциклопедия
Эллипс:
Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек 
Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы 
Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.
Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно 
Согласно определению эллипса имеем 
Из треугольников 
и 
по теореме Пифагора найдем
соответственно. Следовательно, согласно определению имеем
Возведем обе части равенства в квадрат, получим
Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.
Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса 
Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству 
Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси 
Если 
и эллипс вырождается в окружность. Если 
и эллипс вырождается в отрезок 
Пример:
Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет 
Решение:
Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр 
Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса 
Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: 
Пример:
Решение:
Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: 
Следовательно, большая полуось эллипса 
а малая полуось 
Так как 
то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса 
Итак, 
Окружность: 
Выделим полные квадраты по переменным 
Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).
Построим в декартовой системе координат треугольник 
Согласно школьной формуле площадь треугольника 
равна 
Высота 
а основание 
Следовательно, площадь треугольника 
равна:
Эллипс в высшей математике
где 
и 
—заданные положительные числа. Решая его относительно 
, получим:
Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное 
по абсолютной величине меньше 
, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству 
соответствуют два значения 
, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси 
. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси 
. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.
При 
, при 
. Кроме того, заметим, что если 
увеличивается, то разность 
уменьшается; стало быть, точка 
будет перемещаться от точки 
вправо вниз и попадет в точку 
. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.
Полученная линия называется эллипсом. Число 
является длиной отрезка 
, число 
—длиной отрезка 
. Числа 
и 
называются полуосями эллипса. Число 
эксцентриситетом.
Пример:
Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.
Решение:
Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом 
(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось 
примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось 
будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости 
возьмем окружность радиуса 
с центром в начале координат, ее уравнение 
.
Пусть точка 
лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению 
.
Обозначим проекцию точки 
на плоскость 
буквой 
, а координаты ее—через 
и 
. Опустим перпендикуляры из 
и на ось 
, это будут отрезки 
и 
. Треугольник 
прямоугольный, в нем 
, 
,
, следовательно, 
. Абсциссы точек и равны, т. е. 
. Подставим в уравнение 
значение 
, тогда cos
а это есть уравнение эллипса с полуосями 
и 
.
Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.
Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.
Уравнение эллипсоида
Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:
где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.
Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей 
с коэффициентами деформации, равными 
В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам 
(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем
Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в 
раз, если 
, и увеличиваются в 
раз, если 
и т. д.
Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь
где 
Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.
Величины 
называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины 
называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).
Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями
а = b = 6377 км и с = 6356 км.
Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
