Чертежик
Метки
эпюра монжа или комплексный чертеж
Эпюра монжа или комплексный чертеж — это чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.
Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.
Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.
Эпюра Монжа получается преобразованием пространственного макета путем совмещения плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекций V:
— для совмещения плоскости H с V поворачиваем ее на 90 градусов вокруг оси x в направлении движения часовой стрелки. На рисунке, для наглядности, плоскость H повернута на угол чуть меньший 90 градусов, при этом ось y, принадлежащая горизонтальной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью z;
— после совмещения горизонтальной плоскости, поворачиваем вокруг оси z также на угол 90 градусов профильную плоскость в направлении противоположном движению часовой стрелки. При этом ось y, принадлежащая профильной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью x.
Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке. 
— обычных чертежных инструментов и приспособлений:
Чертежные инструменты;
Чертежные принадлежности и приборы;
— Программы для построения (рисования) эпюра Монжа: Выполнение чертежа в графическом редакторе.
В качестве примера оформления эпюра Монжа предлагаем решение задачи на построение равнобедренного прямоугольного треугольника ABC:
— в черном цвете отображается известное по условию задачи;
— в зеленом цвете отображаются все построения которые ведут к решению задачи;
— в красном цвете отображается найденные искомые задачи.
По условию задачи заданы проекции треугольника ABC(A`B`C`, A»B»…»). Для решения задачи необходимо найти недостающую проекцию C».
Комплексный чертеж точки или эпюр Монжа.
Лекция
По дисциплине «Инженерная графика»
Раздел. 1 Начертательная геометрия
Введение.
Начертательную геометрию называют также теорией изображений. Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов изображения пространственных фигур на плоском чертеже и способов решения пространственных геометрических задач на плоском чертеже.Стереометрические (трехмерные) объекты обсуждаются в ней с помощью планиметрических (двухмерных) изображений этих объектов, проекций.
Говорят, что чертеж – язык техники, а начертательная геометрия – грамматика этого языка. Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий.
Правила построения изображений, излагаемых в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.
Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного представления и воображения, конструктивно геометрического мышления, развитию способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений между ними. Освоению способов конструирования различных геометрических пространственных объектов, способов получения их чертежей на уровне графических моделей и умению решать на этих чертежах задачи, связанные с пространственными объектами и их геометрическими характеристиками.
Основание начертательной геометрии как науке было положено французским ученым и инженером Гаспаром Монжем (1746-1818) в его труде “Начертательная геометрия”, Париж, 1795 г. Гаспар Монж дал общий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, то есть на чертеже, с помощью чертежных инструментов.
p1 – горизонтальная плоскость проекций,
p2 – фронтальная плоскость проекций,
, 
, 
— плоскости
Проекции точек, прямых, плоскостей обозначаются: на p1 с одним штрихом, на p2 с двумя, на p3 – с тремя штрихами.
1 Центральное проецирование.
Аппарат центрального проецирования состоит из центра проецирования S, плоскости проекций π, проецирующих лучей.
S – центр проецирования
Проекция – это точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.
2. Параллельное проецирование.
Проецирующие лучи проводятся параллельно S и друг другу. Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. При косоугольном проецировании лучи расположены под углом к проецирующей плоскости.
При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.3). Прямоугольное проецирование является основным способом проецирования, принятым при построении технических чертежей
Основные свойства ортогонального проецирования
2. Проекция прямой (в общем случае) – есть прямая линия или точка(прямая перпендикулярна плоскости проекций);
3. Если точка лежит на прямой, то проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой: А 
l ® A’ l’;
4. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции также параллельны: a || b ® a` || b`;
5. Если две прямые пересекаются в некоторой точке, то их одноименные проекции пересекаются в соответствующей проекции этой точки: m ∩ n = K ® m’ ∩ n’ = K’;
6. Пропорциональность отрезков, лежащих на одной прямой или на двух параллельных прямых, сохраняется и на их проекциях (рис.1.3): АВ:СD = А’B’: C’D’
7. Если одна из двух взаимно перпендикулярных прямых параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость прямым углом (рис.1.4).
Комплексный чертеж точки или эпюр Монжа.
Самый употребительный на практике метод начертательной геометрии предложил Гаспар Монж. В основе этого метода лежит ортогональное проектирование.
Ортогональной (или прямоугольной) проекцией точки А на плоскость π1 называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость π1 (рис.1.5)
Получаемый при этом на плоскости π1 чертеж необратим, соответствие между оригиналом А и проекцией A’ однозначно только в одну сторону: от оригинала к проекции. Оригиналу соответствует единственная проекция, оригиналом чертеж определен однозначно, но для проекции A’ существует бесчисленное множество соответствующих ей оригиналов, а именно все точки проецирующей прямой A A’. Точный перевод с языка чертежа на язык натуры невозможен. Поэтому Монж вводит вторую плоскость проекций.
На рис. 6. изображена прямоугольная система координат.
Совмещая теперь плоскости π1 и π2 с построенными в них проекциями поворотом π1 вокруг оси Х на 90 0 так, чтобы передняя полуплоскость π1 совпала с нижней полуплоскостью π2, получаем комплексный чертеж точки или эпюр Монжа. (рис. 1.7).
Построенный по таким правилам чертеж, состоящий из пары проекций, расположенных в проекционной связи, обратим, то есть соответствие между оригиналом и чертежом однозначно в обе стороны. Или иначе говоря, чертеж дает исчерпывающую информацию об оригинале. Расшифровка этой информации и составляет предмет начертательной геометрии.
Из комплексного чертежа точки можно сделать выводы:
1. две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве;
2. проекции точек всегда лежат на линии связи, перпендикулярной оси проекции.
A’ A» 
Х
Линии, соединяющие проекции точек, называются линиями связи и изображаются сплошными тонкими линиями.
Чтобы получить комплексный чертеж точки необходимо расположить три плоскости в одной, для чего «разрезаем» ось У и совмещаем три основные плоскости проекций в одну (рис.1. 9).
Новой информации об оригинале третья проекция не добавляет. Она лишь делает имеющуюся информацию более удобоваримой. (Рис. 1.10)
Расстояние от точки А до плоскости π3 (А A»‘) в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A’AY = A»AZ = AX0 = X
Расстояние от точки А до плоскости π2 (А A») в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A’AX = A»‘AZ = AY0 = Y
Расстояние от точки А до плоскости π1 (А A’) в пространстве можно увидеть на чертеже и оно равно расстоянию A»AX = A»‘AY = AZ0 = Z
Пример. Построить проекции точек А(10, 10,30), В(30,20,10)
Точки, у которых совпадает одна пара одноименных проекций (а другие не совпадают), называются конкурирующими точками.
Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция B’ ближе к наблюдателю, чем A’, и на π2 видимой будет проекция B» а проекция А» будет невидимой (рис. 1.12).
Точки расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Направление взгляда указано стрелкой. При этом проекция А» ближе к наблюдателю, чем В», и на π1 видимой будет проекция А’ а проекция В’ будет невидимой (рис. 1.13).
Чем дальше проекция точки от оси Х, тем точка выше или ближе к наблюдателю.
Эпюра Монжа
Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры. Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.
После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке. На этом рисунке указана также последовательность взаимного положения пол плоскостей проекций, так запись V[H(W)] указывает, что в этой части эпюра Монжа (ограниченного положительным направлением осей x и z) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции V, за ней располагается задняя левая пола горизонтальной плоскости проекции H, далее следует верхняя задняя пола профильной плоскости W.
Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке.
В качестве примера оформления эпюра Монжа предлагаем решение задачи на построение равнобедренного прямоугольного треугольника ABC:
Плоскость на эпюре Монжа в начертательной геометрии с примерами
Плоскость на эпюре Монжа:
Плоскость на эпюре может быть задана шестью способами: тремя точками, не лежащих на одной прямой; прямой и точкой, не лежащей на прямой; двумя параллельными прямыми; двумя пересекающимися прямыми; любой плоской фигурой и следами (рисунок 3.1). 
Плоскости аналогично прямым делятся на плоскости общего и частного положения. На рисунке 3.2 представлены пространственные чертежи плоскостей.
У проецирующих плоскостей два следа всегда перпендикулярны осям. Третий след наклонен к соответствующей оси и называется собирательным следом. Он называется так потому, что, если в плоскости находится какой-либо геометрический объект (точка, прямая или кривая линия, треугольник и т.д.), то он проецируется на этот след в линию, совпадающую со следом (след «собирает» на себя проекцию объекта).
У плоскостей, параллельных плоскостям проекций, один след отсутствует, а два других следа являются продолжением друг друга и параллельны соответствующим осям проекций.
Если плоскость в пространстве равнонаклонена к какой-либо паре плоскостей проекций, то следы такой плоскости вырождаются в прямую линию (рисунок 3.4а).
Плоскости, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций и проходящие через ось проекций, называются осевыми плоскостями. Два их следа сливаются с соответствующими осями (рисунок 3.46).
Плоскости общего положения дополнительно делятся на плоскости с односторонней (рисунок 3.4в) и двухсторонней (рисунок 3.4г) видимостью. Признаком односторонней видимости является, например, одинаковое направление чтения букв вершин треугольника на проекциях.
Главные линии плоскости
Главные линии плоскости делятся на линии уровня и линии наибольшего наклона. 
К линиям уровня относятся горизонталь, фронталь и профильная прямая плоскости. Они принадлежат плоскости и проводятся в ней по тем же правилам, что и обычные прямые. В каждой плоскости можно провести бесчисленное множество линий уровня. На рисунке 3.7 показано проведение горизонтали и фронтали в плоскостях, заданных плоской фигурой и следами.
При проведении горизонтали и фронтали в плоскости, заданной треугольником, целесообразно взять одну из вершин треугольника за точку, принадлежащую плоскости, и строить проекции h и f из этой вершины, что упрощает построения.
Линия наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций Н проводится перпендикулярно к горизонтальному следу плоскости или к горизонтали плоскости. Линия наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций V проводится перпендикулярно к фронтальному следу плоскости или к фронтали (рисунок 3.8).
Принцип методики построения проекций ЛНН основывается на теореме прямого угла: если один из катетов прямого угла параллелен какой-либо плоскости, то на эту плоскость прямой угол проецируется в натуральную величину (см. рисунок 2.8). 
Проекции 
образуются по ходу построений.
Угол наклона плоскости к плоскости проекций Н (угол 
определится как угол между натуральной величиной ЛНН(Н) и её горизонтальной проекцией, а угол наклона плоскости к плоскости проекций У (угол 
— как угол между натуральной величиной ЛНН(V) и её фронтальной проекцией.
Пример: Определить угол наклона плоскости ЛВС к плоскости проекций Н (рисунок 3.9).
Решение: Для определения угла 
в плоскости треугольника AВС необходимо провести ЛНН(Н), которая проводится перпендикулярно горизонтали. В связи с этим проведем в плоскости горизонталь h (проекции 
Далее из точки С’ под прямым углом к 
проведем горизонтальную проекцию ЛНН 
и построим фронтальную проекцию ЛНН(Н) (C»D» ). Затем методом прямоугольного треугольника найдем натуральную величину ЛНН(Н) 
Угол а° между 
и горизонтальной проекцией линии наибольшего наклона 
— искомый. Задача на рисунке 3.9 представлена в пространственной и эпюрной формах.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Моделирование поверхностей на эпюре Монжа с примерами
Содержание:
Моделирование поверхностей на эпюре Монжа:
В начертательной геометрии при моделировании поверхностей преимущественно используют кинематический и каркасный способы их образования.
При кинематическом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии — образующей, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Линия, которую пересекают все образующие поверхности, называется направляющей.
Упорядоченное множество линий, принадлежащих поверхности, называется ее каркасом. Обычно в качестве линий каркаса используют семейство образующих или семейство направляющих.
При каркасном способе поверхность рассматривается как совокупность некоторого числа линий, образующих каркас. Основное отличие каркасных поверхностей от кинематических состоит в том, что для первых задается определенное число линий каркаса — дискретный каркас, а у вторых в любой точке поверхности может быть построена линия каркаса, т. е. поверхность имеет непрерывный каркас.
При моделировании поверхности важную роль играет ее определитель.
Определитель поверхности
Совокупность условий, задающих поверхность, называется определителем поверхности. Определитель состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической.
Геометрическая часть определителя включает в себя геометрические элементы, участвующие в образовании поверхности. Такой набор элементов называется репером (от французского слова repere — метка, ориентир).
Алгоритмическая часть определителя содержит перечень операций, позволяющих реализовать переход от репера к остальным точкам поверхности.
При моделировании поверхности необходимо:
На эпюре Монжа поверхность задается проекциями ее репера.
Построение произвольной точки, принадлежащей поверхности, осуществляется с помощью простейших линий каркаса поверхности, проходящих через эту точку.
При моделировании поверхности возникает понятие очерка поверхности.
Очерк поверхности
Совокупность точек касания проецирующих прямых поверхности образует контурную линию k (рис. 32). Очерк k1 — проекция контурной линии на плоскость проекций. Контурная линия делит поверхность на две части — видимую и невидимую.
При моделировании поверхности по методу Монжа различают фронтальный 
Моделирование линейчатых поверхностей
Линейчатая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в общем случае пересекает три направляющие, в частном случае — две или одну направляющую.
Линейчатые поверхности с одной направляющей
Линейчатые поверхности с одной направляющей образуются движением прямой линии, которая пересекает направляющую (кривую или ломаную линию) и вершину (собственную или несобственную точку). В табл. 1 представлены различные формы поверхности с одной направляющей в зависимости от вида направляющей и вершины.
Моделирование конической поверхности
Для построения модели конической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей (кривая линия) и вершины (собственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности.
Задача 1.
На эпюре Монжа построить произвольную точку M, принадлежащую конической поверхности 
(рис. 33).
Алгоритм решения
6. Через точку 
проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямой 
отмечаем искомую проекцию 
точки M, принадлежащей образующей 
а следовательно, и поверхности 
Моделирование цилиндрической поверхности
Для построения модели цилиндрической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей 
(кривая линия) и вершины S (несобственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача построения произвольной точки цилиндрической поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 34).
Моделирование пирамидальной поверхности
Для построения модели пирамидальной поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей 
(ломаная линия) и вершины S (собственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача построения произвольной точки пирамидальной поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 35).
Моделирование призматической поверхности
Для построения модели призматической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей 
(ломаная линия) и вершины S (несобственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача построения произвольной точки призматической поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 36). Следует отметить, что, умея строить одну точку поверхности, можно построить проекции любой линии, принадлежащей заданной поверхности, рассматривая эту линию как совокупность отдельных точек.
Пример:
Построение линии 
принадлежащей цилиндрической поверхности 
(рис. 37, а).
Порядок построения
1. Построение очерковых линий и определение видимости направляющей 
(рис. 37, б).
Для определения видимости линии 
используются конкурирующие точки M и N. По расположению фронтальных проекций этих точек можно сделать вывод, что точка N, принадлежащая направляющей 
находится под точкой M, принадлежащей образующей m. Следовательно, участок линии 
содержащий точку N при проецировании на плоскость 
будет невидимым. На проекции 
этот участок отмечен штриховой линией.
2. Определение проекций точек изменения видимости линии 
при проецировании на плоскость 
(рис. 37, в). Проекция 
проведена произвольно.
Построение начинается с горизонтальной проекции — с точек касания 
очерковых прямых с кривой 
Стрелками показана последовательность действий определения искомых проекций 
3. Построение точек С и D (рис. 38, а). Построение начинается с фронтальных проекций 
Проекции 
определяются по алгоритму решения задачи 4.
4. Построение проекций точек 
(рис. 38, б). Построение начинается с фронтальной проекции: точка 
отмечается произвольно на 
, проекция 
определяется по алгоритму решения задачи 4.
Аналогично строятся остальные точки заданной линии.
5. Определение видимости линии 
при проецировании на горизонтальную плоскость проекций.
Видимость линии 
определяется по конкурирующим точкам C и F цилиндрической поверхности. По расположению фронтальных проекций этих точек можно сделать вывод, что точка F выше точки C. Следовательно, часть линии 
содержащая точку C, будет невидимой от точки A до точки B.
Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма
Такие поверхности образуются движением прямой, которая движется параллельно некоторой плоскости 
и пересекает при этом две направляющие m и n.
В табл. 2 представлены различные формы поверхности с двумя направляющими в зависимости от вида направляющих.
Наибольшее применение из приведенных (см. Табл. 2) поверхностей в инженерной практике нашла косая плоскость. Косую плоскость также называют гиперболическим параболоидом, так как ее каркас состоит не только из прямых линий, но также из семейств кривых второго порядка — гипербол и парабол.
Моделирование косой плоскости
Для построения модели косой плоскости необходимо задать на эпюре Монжа проекции направляющих m и n, а также проекции плоскости параллелизма 
и решить задачу построения произвольной точки поверхности.
Задача 2.
На эпюре Монжа построить недостающую проекцию 
точки M, принадлежащей косой плоскости 
(рис. 39). Проекция 
выбрана произвольно.
Плоскостью параллелизма в данной задаче является горизонтально-проецирующая плоскость 
.
Алгоритм решения
На рис. 39, б, в показано построение недостающей проекции 
точки M, принадлежащей косой плоскости.
Проекция 
выбирается произвольно (см. рис. 39, б). Далее строятся проекции линий каркаса поверхности аналогично построению проекций прямой 
(см. рис. 39, а). Через 
проводится произвольно проекция 
кривой 
принадлежащей поверхности 
. При построении 
используются точки пересечения линии 
с линиями каркаса. Искомая проекция 
определяется на пересечении линии проекционной связи с горизонтальной проекцией линии 
Линейчатые проецирующие поверхности
Цилиндрическая и призматическая поверхности могут занимать проецирующее положение в том случае, если направление на вершину (несобственную точку) будет совпадать с направлением проецирования на одну из плоскостей проекций. Другими словами, образующие проецирующей поверхности будут перпендикулярны одной из плоскостей проекций.
На рис. 40 приведен пример фронтально-проецирующей цилиндрической поверхности.
Фронтальная проекция любой точки, принадлежащей поверхности 
будет находиться на вырожденной проекции 
которая совпадает с проекцией 
направляющей линии 
На рис. 40 также показано положение проекций точек M, N и линии m, принадлежащих цилиндрической поверхности. На рис. 41 приведен пример горизонтально-проецирующей призматической поверхности.
Горизонтальная проекция любой точки, принадлежащей поверхности 
будет находиться на вырожденной проекции 
которая совпадает с проекцией 
направляющей линии 
На рис. 41 также показано положение проекций точек M, N и линии m, принадлежащих призматической поверхности.
Моделирование поверхностей вращения
Поверхность вращения образуется вращением какой-либо линии (образующей) вокруг неподвижной оси (рис. 42). Как правило, ось вращения располагается перпендикулярно одной из плоскостей проекций.
Если образующая поверхности вращения — прямая линия, то образуется линейчатая поверхность. Если образующая — кривая, поверхность вращения будет относиться к классу нелинейчатых поверхностей.
Репер поверхности вращения включает в себя ось вращения i и образующую линию f. Каждая точка образующей линии вращается по окружности, которая называется параллелью. Плоскость этой параллели перпендикулярна оси вращения, а центр принадлежит оси вращения.
Параллель наибольшего радиуса называется экватором, а параллель наименьшего радиуса — горлом.
Меридиан — линия на поверхности, расположенная в одной плоскости с осью вращения. Главный меридиан — меридиан, плоскость которого параллельна плоскости проекций. Если ось вращения перпендикулярна плоскости 
то главный меридиан параллелен 
Если же ось вращения перпендикулярна плоскости 
то главный меридиан параллелен 
Один из очерков поверхности вращения определяется главным меридианом, а второй — экватором или экватором и горлом.
Моделирование поверхности вращения общего вида
Для построения модели поверхности вращения необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера: оси вращения 
и образующей линии 
(рис. 43, а), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Дополним эпюр фронтальным и горизонтальным очерками поверхности. На рис. 43, б основной линией изображены очерки поверхности, а также отмечены проекции точек A, B и C, принадлежащих главному меридиану, горлу и экватору соответственно.
Задача 3.
На эпюре Монжа построить произвольную точку 
принадлежащую поверхности вращения 
Алгоритм решения 1
Алгоритм решения 2
1. Отмечаем произвольно проекцию 
точки M (рис. 44, б).
2. Через 
строим окружность 
с центром в точке 
3. Находим проекцию 
точки пересечения параллели m с образующей 
4. Строим проекции 
— прямые, перпендикулярные 
проходящие через точки 
соответственно.
5. Через точку 
проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямыми 
отмечаем точки 
— проекции точек 
видимой и невидимой частей поверхности 
соответственно.
Приведенные алгоритмы решения подобной задачи применимы для любой поверхности вращения.
В зависимости от формы образующей линии 
могут получаться различные виды поверхности вращения.
Моделирование сферы
Сфера образуется вращением окружности вокруг одного из ее диаметров (рис. 45, а). Один из реперов сферы — ось вращения 
и образующая окружность 
(рис. 45, б). Сфера также может быть задана экватором h и главным меридианом 
(рис. 45, в).
На рис. 45, г показано построение точки M, принадлежащей сфере 
. Построение выполнено по первому алгоритму задачи 5.
Моделирование торовой поверхности
Торовая поверхность образуется вращением окружности вокруг оси, которая расположена в плоскости окружности, но не проходит через ее центр (рис. 46).
Репером торовой поверхности будут ось вращения 
и образующая окружность 
На рис. 47 изображены три модели торовой поверхности в зависимости от взаимного положения оси вращения и образующей окружности, а также модели точек, принадлежащих контурным линиям торовой поверхности. Если ось вращения 
не пересекает образующую окружность 
то образуется открытый тор (кольцо) (см. рис. 47, а). Если же ось вращения 
касается образующей окружности 
или пересекает ее, то образуется закрытая торовая поверхность (см. рис. 47, б, в).
На рис. 48, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей торовой поверхности 
Построение выполняется по первому алгоритму задачи 5. На рис. 48, б показано построение точки M по второму алгоритму задачи 5.
Линейчатые поверхности вращения
При вращении прямой линии, которая пересекает ось вращения в собственной или несобственной точке, образуются, соответственно, коническая или цилиндрическая поверхности. Если прямая линия 
скрещивается с осью вращения 
образуется поверхность, называемая однополостным гиперболоидом вращения.
Эта поверхность также может быть получена путем вращения гиперболы вокруг ее мнимой оси. На рис. 49, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей поверхности однополостного гиперболоида вращения 
а на рис. 49, б — построение фронтального очерка заданной поверхности. Через точку 1, принадлежащую образующей прямой 
проводится параллель 
поверхности вращения, после чего определяется точка 2, принадлежащая главному меридиану. Аналогично строятся все остальные точки гиперболы.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
