Что такое ширина и длина прямоугольника
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки одной из основных геометрических фигур – прямоугольника. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его площадь и периметр.
Определение прямоугольника
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы равны 90° (т.е. являются прямыми).
∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°
Прямоугольник состоит из:
Сам прямоугольник обычно записывается путем перечисления его вершин, например, ABCD в нашем случае.
Примечание: Прямоугольник является разновидностью параллелограмма.
Свойства прямоугольника
Свойство 1
Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.
Свойство 2
Длина и ширина прямоугольника одновременно являются его высотами, т.к. они взаимно перпендикулярны.
Свойство 3
Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб.
Свойство 4
Квадрат диагонали (d) прямоугольника равняется сумме квадратов его смежных сторон.
d 2 = a 2 + b 2
Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить к любому из прямоугольных треугольников, которые образуются в результате деления диагональю прямоугольника.
Свойство 5
Диагонали прямоугольника равны, и в точке пересечения делятся пополам.
Свойство 6
Около любого прямоугольника можно описать окружность, радиус (R) которой равен половине диагонали этого прямоугольника.
Следовательно, диаметр окружности равен полной длине диагонали прямоугольника.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих утверждений:
Формулы
1. Площадь прямоугольника (S):
2. Периметр прямоугольника (P):
Длина прямоугольника
Всего получено оценок: 78.
Всего получено оценок: 78.
В этой статье мы поговорим о длине прямоугольника. Как определить, какая из сторон является длиной и зачем их разделять. Разберем три способа нахождения длины прямоугольника и решим небольшую задачу.
Что такое длина прямоугольника
Довольно часто люди путают местами длину и ширину прямоугольника, как правило, это не критично, но в результате значительно уменьшается наглядность, а от этого страдает качество решения.
Прямоугольник это частный случай параллелограмма. Параллелограмм, каждый угол которого равен 90 градусам, называется прямоугольником. Для наглядного изображения лучше будет, если нижней опорой прямоугольника будет служить длина. Так сложилось, что такой рисунок больше всего напоминает рисунки в учебнике, а потому ученику будет проще разобраться в теме.
Три способа найти длину прямоугольника
Если разделить фигуру на две части диагональю, то можно заметить, что прямоугольник поделится ею на два прямоугольных треугольника. Из этого разделения и вытекают все формулы длины прямоугольника.
Через теорему Пифагора
Если известна длина диагонали (обозначим ее буквой d) и длина прямоугольника (примем значение за букву a). Тогда корень квадратный из разности квадратов диагонали и длины будет равен ширине прямоугольника.
Чтобы было понятнее, напишем решение в виде нескольких формул.
Согласно теореме Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза – это сторона, противоположная прямому углу, две другие стороны зовутся катетами. В нашем случае гипотенуза это диагональ.
В случае необходимости, можно поменять местами а и b, тогда получится формула длины.
Через площадь
Рассмотрим еще один способ найти длину прямоугольника – через площадь.Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. То есть, используя уже знакомые обозначения S=a*b. Выразим из этой формулы значение ширины: b=S/b.
Так же, как и в первом методе, можно поменять местами а и b, чтобы получить формулу для длины: a=S/b.
Тригонометрическая функция
Один из самых быстрых, но при этом немного сложных способов нахождения длины – воспользоваться тригонометрической функцией.
Если имеется прямоугольный треугольник, то соответственно имеются отношения, известные как синус и косинус.
Выберем угол между длиной и диагональю. Обозначим его α. Тогда sin α равен отношению катета, противоположного углу α к гипотенузе: Sin α = a/c
Рис. 2. Угол альфа на половине прямоугольника
Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса или с помощью калькулятора. Для удобства можно воспользоваться онлайн-версией, которая найдет значение отношения автоматически.
Но в формуле нет значения b, которое соответствует длине, а, значит, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Косинус – это отношение стороны, прилежащей к углу, к гипотенузе: cos a=b/c
Значит можно найти длину, умножив косинус на гипотенузу: b=cos α*c
Задача
Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем b. Длина равна корню квадратному из разности квадрата диагонали и квадрата ширины.
Корень квадратный из 16 равен 4.
Рис. 3. Решение задачи
Что мы узнали?
Мы рассмотрели, как правильно изображать прямоугольник для большей наглядности, рассмотрели как можно найти длину или ширину при различных условиях задачи и решили задачу средней сложности на нахождение длины прямоугольника через теорему Пифагора.
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Частным случаем прямоугольника является квадрат.
Свойства прямоугольника
1. Так как прямоугольник – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
Помимо этого:
2. Стороны прямоугольника являются его высотами.
3. Диагонали прямоугольника равны.
4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Признаки параллелограмма
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:
1. Диагонали параллелограмма равны.
2. Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.
3. Все углы параллелограмма равны.
Площадь прямоугольника
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Прямоугольник, свойства, признаки и формулы
Прямоугольник, свойства, признаки и формулы.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).
Прямоугольник (понятие, определение):
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (каждый из углов равен 90 градусам).
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны между собой и все четыре угла равны между собой и каждый из них составляет 90 градусов.
Рис. 1. Прямоугольник
В свою очередь четырёхугольник (греч. τετραγωνον) – это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.
Свойства прямоугольника:
1. Прямоугольник является параллелограммом – его противоположные стороны попарно параллельны.
Рис. 2. Прямоугольник
2. Противоположные стороны прямоугольника равны.
Рис. 3. Прямоугольник
3. Стороны прямоугольника являются его высотами.
4. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны.
Рис. 4. Прямоугольник
5. Каждый угол прямоугольника прямой и равен 90 градусам. Сумма всех углов прямоугольника составляет 360 градусов.
Рис. 5. Прямоугольник
6. Диагонали прямоугольника равны.
Рис. 6. Прямоугольник
Рис. 7. Прямоугольник
8. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (что вытекает из теоремы Пифагора).
Рис. 8. Прямоугольник
9. Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
10. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности.
АС и BD – диаметр описанной окружности и диагональ прямоугольника
11. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и является центром описанной окружности.
12. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если все его стороны равны, т.е. он является квадратом.
Признаки прямоугольника:
– если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником;
– если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон, то он (параллелограмм) является прямоугольником;
– если углы параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
Формулы прямоугольника:
Пусть a – длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника, d – диагональ и диаметр описанной окружности прямоугольника, R – радиус описанной окружности прямоугольника, P – периметр прямоугольника, S – площадь прямоугольника.
Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника):
,
,
,
.
Формула диагонали прямоугольника:
,
Формулы периметра прямоугольника:
Формулы площади прямоугольника:
Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника:
.
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Мировая экономика
Справочники
Востребованные технологии
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Примечание. В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° — прямоугольников не существует.
Содержание
Свойства
Площадь и стороны
Диагонали прямоугольника
Признаки
См. также
Планигон
Полезное
Смотреть что такое «Прямоугольник» в других словарях:
прямоугольник — прямоугольник … Орфографический словарь-справочник
прямоугольник — параллелограмм, четырехугольник, квадрат Словарь русских синонимов. прямоугольник сущ., кол во синонимов: 4 • квадрат (9) • … Словарь синонимов
«ПРЯМОУГОЛЬНИК» — термин, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков для обозначения движения цен, укладывающегося на графике в прямоугольник. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический словарь. 2 е изд., испр … Экономический словарь
Прямоугольник — вид графика движения цены в виде треугольника, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов
ПРЯМОУГОЛЬНИК — ПРЯМОУГОЛЬНИК, параллелограмм, все углы которого прямые … Современная энциклопедия
ПРЯМОУГОЛЬНИК — четырехугольник, у которого все углы прямые … Большой Энциклопедический словарь
ПРЯМОУГОЛЬНИК — ПРЯМОУГОЛЬНИК, четырехсторонняя геометрическая фигура (четырехугольник), внутренние углы которой являются прямыми, а противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это особый случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА … Научно-технический энциклопедический словарь
ПРЯМОУГОЛЬНИК — ПРЯМОУГОЛЬНИК, прямоугольника, муж. (геом.). Четырехугольник, в котором все углы прямые. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
ПРЯМОУГОЛЬНИК — ПРЯМОУГОЛЬНИК, а, муж. 1. Четырёхугольник, у к рого все углы прямые. 2. Название офицерского знака различия такой формы на петлицах в Красной Армии (с 1924 по 1943 г.). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
«ПРЯМОУГОЛЬНИК» — вид графика движения цены в виде треугольника, используемый в техническом анализе конъюнктуры финансовых рынков. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов