деление направленного отрезка в данном отношении

Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.

В этой статье мы разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении. Сначала мы получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого приведем подробные решения нескольких характерных примеров.

Навигация по странице.

Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

В силу операции сложения векторов можно записать равенства и . Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство . Подставив в него , имеем . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем .

Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами и в координатах. Так как и , то , следовательно, .

Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве.

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения.

Пришло время применить полученные формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.

.

В данном примере . Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы и , из которых получаем и соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А :

.

Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.

Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:

.

Источник

Как осуществить деление отрезка?

Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.

Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, a-b точка

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости

Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С, делящая отрезок АВ в отношении λ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке АВ (т.е. между точками А и В). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков АС и СВ равно λ. Т.е. верно равенство:

Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1, то точка С является серединой отрезка АВ.

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве

Точка С делит отрезок АВ в отношении λ. Необходимо определить координаты точки С.

Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.

Найдем координаты точки D. Так как AD – медиана, то точка D – середина отрезка ВС. Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:

Теорема Фалеса и деление отрезка в заданном отношении

Давно о геометрии не говорили, а о теореме ФАлеса (или ФалЕса?) вообще мало говорят. Хотя она весьма полезна. Начнем с формулировки, которая весьма не вразумительна, чем и объясняется не популярность данной теоремы.

Мутно, долго, не понятно. Мне больше нравится другая формулировка. Тоже не понятно, но элегантно и коротко. Задачи, которые решаются с помощью данной теоремы, довольно специфичны. Но есть одна задача на построение, которую можно встретить в реальной жизни. Это задача о делении отрезка в заданном отношении.

Суть вопроса: Дан отрезок. Его нужно поделить на два куска, чтобы их длины относились, как 2 : 5. Кусков может быть сколько угодно и отношение, может быть каким угодно. Алгебраически задача решается крайне легко: находим общее количество частей (2 + 5 = 7), делим длину отрезка на общее количество частей, находим длину каждого куска.

Но алгебраическое решение не всегда прокатывает. Например, мы не можем найти длину отрезка, или при делении получаются не целые числа. Тогда можно воспользоваться геометрическим способом. Во-первых, проводим луч из конца отрезка. Любой, в любую сторону.

Дальше, на этом луче от точки А откладываем 7 (общее количество частей) равных отрезков. Последнюю получившуюся точку — J соединяем с точкой В, а затем через каждую точку луча проводим прямую параллельную JB.

Таким образом, мы разделили отрезок АВ на 7 равных частей (по теореме Фалеса). Отсчитываем две части и ставим точку. Получаем: AK : KB = 2 : 5.

Вот таким простым образом, вы можете поделить свою комнату с соседом в любом отношении. Если вам кажется, что построение такого количества параллельных прямых дело сложное, то подумайте о перпендикулярах.

Источник

Деление отрезка в данном отношении в пространстве

Данные уравнения получаются следующим образом

Требуется найти координаты точки A₀(x₀, y₀,z₀), делящей отрезок в отношении λ, т.е.

Отсюда получаем исходные уравнения, т.е.

Деление отрезка в данном отношении на плоскости см. здесь

Рассмотрим ещё один из способов деления отрезка в данном отношении в пространстве.

где r₁ и r₂ — радиус-вектор точек А₁ и А₂

Координаты точки A₀ находятся по формулам

Координаты середины отрезка в пространстве

В частности координаты середины отрезка А₁А₂ в пространстве определяются уравнениями:

Источник

Деление направленного отрезка в данном отношении

Координаты точки М(х,у), лежащей на отрезке АВ и делящей его в данном отношении:

вычисляются по формулам:

В частности, при получаются формулы для координат середины отрезка:

Пример 2. Известны точки A(-2;5), B(4;17)- концы отрезка [AB]. На этом отрезке находится точка М, расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Определить координаты точки М.

Решение. Так как |AM|=2|MB|, то .
Здесь x₁=-2, y₁=5, x₂=4, y₂=17; следовательно, то есть M(2;13).

Пример 3. Точка M(2;3) служит серединой отрезка [AB]. Определить координаты точки А, если B(7;5).

Решение. Здесь x=2, y=3, x₂=7, y₂=5, откуда

Источник

Глава 5. Деление отрезка в заданном отношении

Определить координаты его центра масс.

Центр мас однородного стержня находится в точке М(1; 4),

один из его концов Р(-2; 2).

Определить координаты точки Q – другого конца этого стержня.

Определить середины его сторон.

Координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В;

Координаты точки N, симметричной точке В относительно точки А.

Определить его вершины.

Определить четвертую вершину D, противоположную B.

Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3; 5), B(1; 7)

и точка пересечения его диагоналей M(1; 1).

Определить две другие вершины.

Найти его четвертую вершину D.

Определить длину его медианы, проведенной из вершины B.

разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

Найти точку пересечения биссектрисы его внутреннего угла

при вершине В со стороной АС.

Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

Найти точку пересечения биссектрисы его внешнего угла

при вершине А с продолжением стороны ВС.

Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине В.

Даны точки А(1; 1), В(3; 3), С(4; 7).

Определить отношение , в котором каждая из них делит отрезок,

ограниченный двумя другими.

Определить координаты концов А и В отрезка, который точками

P(2; 2), Q(1; 5) разделен на три равные части.

На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.

На этой прямой найти точку, ордината которой равна –5.

Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.

Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.

Определить, в каком отношении его диагональ AC делит диагональ BD.

Определить точку пересечения его диагоналей AC и BD.

Определить координаты ее центра масс.

Центр масс находится в точке пересечения медиан.

Точка M пересечения медиан треугольника лежт на

третья вершина C лежит на оси ординат.

Определить координаты точек M и C.

Если соединить середины ее сторон, то образуется

новая однородная треугольная пластинка.

Доказать, что центры масс обеих пластинок совпадают.

Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12,

в которой сделан квадратный вырез, прямые разрезы проходят через

центр квадрата, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис.).

Определить центр масс этой пластинки.

Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными a и b,

в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят

через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис).

Определить центр масс этой пластинки.

Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2a,

от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины

двух смежных сторон, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис).

Определить центр масс пластинки.

Определить координаты центра тяжести этой системы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник