деление отрезка в среднем и крайнем отношении

история золотого сечения

«Геометрия обладает двумя великими

отношении»

Иоганн Кеплер

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.

И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Платон (427. 347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Именно Леонардо да Винчи ввел название «золотое сечение». Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Великий астроном 16 в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обратил внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

В последующие века интерес ученых к золотому сечению на некоторое время угас. Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. Немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около 2 000 человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон.

Деление тела точкой пупка – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены,

Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону.

С историей золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи.

Ряд чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Он получил этот ряд, решая «задачу о кроликах».

Каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение соседних чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Последовательность Фибоначчи имеет весьма любопытные особенности, не последняя из которых – почти постоянная взаимосвязь между числами.

· Сумма любых двух соседних чисел равна следующему числу в последовательности. Например 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13 и т.д.

· Отношение любого числа в последовательности к следующему приближается к 0,618. Например 1 : 1 = 1; 1 : 2 = 0,5; 3 : 5 = 0,6; 5 : 8 = 0,625; 8 : 13 = 0,615; 15 : 21 = 0,619.

· Отношение любого числа к предыдущему приблизительно равно 1,618 (величина обратная 0,618). Например 13 : 8 = 1,625; 21 : 13 = 1,615; 34 : 21= 1,619. Чем большие числа последовательности берем, тем больше они приближаются к величине 0,618 и 1,618.

· Отношение любого числа к следующему за ним через одно приближается к 0,382, а к предшествующему через одно – 2,618. Например: 13 : 34 = 0,382, а 34 : 13 = 2,615.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

В настоящее время числа Фибоначчи усиленно изучаются бизнесменами и экономистами. После ряда весьма успешных предсказаний и операций на рынке ценных бумаг инженер Ральф Hельсон Эллиотт опубликовал в 1939 году серию статей в журнале Financial World Magazine. В них впервые была представлена его точка зрения, что движения индекса Доу-Джонса подчиняются определенным ритмам и они могут быть сведены к суммационной последовательности Фибоначчи. Если вы разберетесь с числами Фибоначчи и волнами Эллиота, то можете разбогатеть, играя на бирже ценных бумаг. В книге «Закон природы – секрет Вселенной», вышедшей в 1946 году, Эллиот утверждает, что его теория охватывает не только поведение фондовых индексов, но и более общие законы природы, управляющие деятельностью человеческого общества.

В начале 20 века американец Марк Барр предложил обозначать число 1,618… греческой буквой Ф (Фи).

Источник

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении

Проводится сравнительный анализ Евклидового определения «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» и современного определения «задачи о золотом сечении». Показано, что эти задачи представляют собой разные формулировки одной и той же геометрической задачи, которая была использована Евклидом для построения «пентагона» и «додекаэдра». Поэтому утверждение о том, что Евклид не владел «Принципом Золотой Пропорции», не выдерживает критики. Проводится анализ «задачи о золотом р-сечении» (А.П. Стахов, 1977) с точки зрения Евклидового определения и дается ее новое определение с использований новых геометрических понятий: «прямоугольник Евклида», «прямоугольный параллелепипед Евклида» и др. Показано, что «золотой кирпич», использованный в качестве формы строительных блоков готических замков, основан на «прямоугольнике Евклида», в котором отношение сторон равно квадрату «золотой пропорции».

1. Введение

Как известно, знаменитая математическая задача «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», более широко известная нам под названием «задачи о золотом сечении отрезка», пришла к нам из «Начал» Евклида. Однако Евклидова формулировка этой задачи отличается от общепринятой.

В 1977 г. автор обобщил «задачу о золотом сечении» и сформулировал «задачу о золотом р-сечении отрезка» (р=0, 1, 2, 3. ) [1], которая для частного случая р=1 совпадает с классической «задачей о золотом сечении».

Цель настоящей статьи – провести анализ Евклидового определения «задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» и рассмотреть «задачу о золотом р-сечении» с точки зрения Евклидового определения.

2. Евклидово определение задачи
«о делении отрезка в крайнем
и среднем отношении»

2.1. «Золотое сечение» в формулировке Евклида

В Книге II своих «Начал» Евклид сформулировал предложение 2.11, которое задает «деление отрезка в среднем и крайнем отношении»:

Предложение 2.11. Данную прямую разделить так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.

Рассмотрим это определение более детально. Для этого возьмем отрезок АВ и разделим его точкой С на две неравные части АС и СВ (Рис.1)

Рисунок 1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»)

Таким образом, Предложение 2.11 по существу представляет собой геометрическую задачу о построении прямоугольника, равновеликого квадрату. Подобные задачи были широко распространены в античной науке (вспомним знаменитую задачу о квадратуре круга). Евклид, однако, не указывает, какой именно отрезок (меньший или больший) должен быть выбран в Предложении 2.11 для того, чтобы сконструировать из него прямоугольник, равновеликий квадрату.

Легко доказать, что «задача Евклида», задаваемая Предложением 2.11, имеет решение только для случая, когда «одним из отрезков», образующим прямоугольник вместе с исходным отрезком, является меньший отрезок СВ. Действительно, если в качестве «одного из отрезков» выбрать больший отрезок АС, тогда Предложение 2.11 должно быть записано в следующем виде:

Если разделить обе части равенства (1) вначале на АВ, а затем на СВ, то получим следующую пропорцию:

(2)

Но эта пропорция приводит нас к противоречию. Действительно, отношение большего отрезка к меньшему (АС:СВ) всегда больше 1, в то время как отношение части отрезка ко всему отрезку (СВ:АВ) всегда меньше 1. Поэтому пропорция (2) является абсурдной. Отсюда мы можем сделать вывод, что Предложение 2.11 имеет решение только для случая, когда в качестве «одного из отрезков» выбирается меньший отрезок СВ.

Согласно Предложению 2.11 точка С должна быть выбрана таким образом, чтобы площадь прямоугольника со сторонами АВ и СВ равнялась площади квадрата со стороной АС. Запишем это утверждение в виде равенства:

А теперь разделим обе части равенства (3) вначале на СВ, а затем на АС. В результате получим следующую пропорцию:

(4)

А это – ни что иное, как «задача о золотом сечении» в современной формулировке. Из этих рассуждений вытекает однозначный вывод, что «задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» в формулировке Евклида и современная «задача о золотом сечении» — это разные формулировки одной и той же математической задачи!

Будем называть прямоугольник, который вытекает из Предложения 2.11 «прямоугольником Евклида». Если обозначить длины отрезков АВ, АС и СВ соответственно: АВ = а, АС = b и СВ = с, то выражение (3) может быть переписано в следующем виде:

С учетом введенного определения мы можем представить «прямоугольник Евклида», как показано на Рис.2.

Рисунок 2. Прямоугольник Евклида

Как следует из Рис. 2, в «прямоугольнике Евклида» отношение большей стороны к меньшей равно отношению длины исходного отрезка к длине меньшего отрезка в Предложении 2.11; при этом согласно (5) его площадь равна квадрату длины большего отрезка.

Из выражения (6) вытекает следующая формулировка Предложения 2.11 для случая единичного отрезка:

Предложение 2.11 для единичного отрезка. Разделить единичный отрезок на две неравные части в такой пропорции, чтобы длина меньшего отрезка равнялась квадрату длины большего отрезка.

Обозначим пропорцию (4) через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, пропорцию (4) можно записать в следующем виде:

,

откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомой пропорции x:

t = .

Заметим, что тождество (8) выражает знаменитый «Принцип Золотой Пропорции», который, начиная с античного периода, пронизывает человеческую науку и культуру.

В споре о том, знал ли Евклид «золотое сечение», необходимо четко различать математическое понятие «золотого сечения» и его название (то есть необходимо различать «суть» и «термин»). Сразу же отметим, что Евклид не пользовался термином «золотое сечение», предпочитая ему термин «деление отрезка в крайнем и среднем отношении». Но поскольку, как показано выше, задача о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении», сформулированная Евклидом и выражаемая соотношением (3), и задача о «золотом сечении» в современной формулировке, выражаемая пропорцией (4), — это просто разные формулировки одной и той же геометрической задачи, то отсюда вытекает, что Евклид хорошо был знаком с «Принципом Золотой Пропорции» (8). И поэтому попытки некоторых современных исследователей доказать, что Евклид не был знаком с «золотым сечением», не выдерживают критики.

2.2. Конструирование «золотого» равнобедренного треугольника, пентагона и додекаэдра

С какой целью Евклид ввел Предложение 2.12? Ответ на этот вопрос мы находим в статье [2]. Как показано в [2], Евклид использовал «Принцип Золотого Сечения», заложенный в «задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», для конструирования «золотого» равнобедренного треугольника, а затем «пентагона» и «додекаэдра».

Евклид конструирует «золотой» прямоугольный треугольник следующим образом (Рис.3). Возьмем отрезок AB и найдем на нем точку C, которая делит отрезок в «золотом сечении». После этого проведем дугу радиусом AB с центром в точке А. Найдем на дуге такую точку D, чтобы AC = CD = BD. Тогда треугольник ABD и будет искомым «золотым» равнобедренным треугольником, в котором углы при основании BD (72 ° ) будут равны удвоенному значению угла при вершине А (36 ° ).

Рисунок 3. Геометрическое построение «золотого»
равнобедренного треугольника

Используя это геометрическое построение, Евклид затем строит «пентагон». Исходным для построения «пентагона» является «золотой» равнобедренный треугольник ABD (Рис. 3). Проведем окружность через точки A, B и D (Рис.4). Проведя биссектрису угла ADB до пересечении с этой окружностью в точке Е, мы найдем четвертую вершину Е «пентагона». Заметим, что биссектриса DE проходит через точку С, которая делит отрезок AB в «золотом сечении». Аналогично, проведя биссектрису BF угла ABD до пересечения с окружностью в точке F, мы найдем пятую вершину F «пентагона», после чего можно нарисовать «пентагон» (Рис.4)

Рисунок 4. Геометрическое построение пентагона

Используя «пентагон» на Рис.4, Евклид затем строит «додекаэдр» (Рис.5). Важно подчеркнуть, что Евклид строит две «сакральные» фигуры, которые играли важную роль в учениях Пифагора и Платона. Как известно, «пентаграмма», которая лежит в основе «пентагона», являлась главным «сакральным» символом Пифагорейского союза, а «додекаэдр» в космологии Платона считался главным из пяти «Платоновых тел» и символизировал Гармонию Мироздания. Как подчеркивает Э.М. Сороко [3], «представление о «сквозной» гармонии бытия неизменно связывалось с ее воплощением в этих пяти симметричных геометрических телах, выражающих идею повсеместного совершенства мира вследствие совершенства каждой из составляющих его «стихий», «начал».

Рисунок 5. Додекаэдр

Как известно, геометрическую теорию Платоновых тел Евклид разместил в последней, то есть XIII-й книге своих «Начал». Многие комментаторы считают, что это не является случайным совпадением. Обычно принято размещать наиболее важный материал научного сочинения в заключительной части книги. В частности, древнегреческий математик Прокл, который был одним из наиболее известных комментаторов Евклида, на том основании, что теорию «Платоновых Тел» Евклид разместил в заключительной части своего знаменитого сочинения, утверждает, что Евклид создавал «Начала» не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения пяти «Платоновых Тел», попутно осветив некоторые новейшие достижения математики. А поскольку в космологии Платона, «правильные многогранники» символизировали Гармонию и Принципы Мироздания, то из утверждения Прокла вытекает, что «Начала» Евклида можно рассматривать как исторически первый вариант «Геометрической Теории Гармонии», основанной на «золотом сечении» и «Платоновых Телах».

В настоящее время большинство комментаторов Евклида сходятся в том, что «Начала» Евклида не представляют собой, однако, оригинальное сочинение. Поэтому возникает вопрос: кто изучал «золотое сечение» до Евклида? Как утверждается в статье [2], «книга II Начал содержит материал, впервые изучавшийся Теодором из Кирены (Theodorus of Cyrene), в то время как другие историки приписывают этот материал Пифагору или, по крайней мере, пифагорейцам». По словам Ван-дер-Вардена [4], «Начала» Евклида на 2/3 написаны пифагорейскими математиками. Как подчеркивается в книге [3], Евклид разместил в своих «Началах» наиболее значительные математические результаты своего времени, и потому его «Начала» являются своеобразным «нерукотворным» памятником Пифагору, Гиппократу (Хиосскому), Евдоксу (Книдскому), Архиту, Теэтету и другим древнегреческим математикам. И это мнение Ван-дер-Вардена и Сороко является дополнительным свидетельством того факта, что Предложение 2.11, задающее «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», скорее всего, принадлежит пифагорейцам, то есть пифагорейцы также были знакомы с «Принципом Золотой Пропорции».

Уже сам факт, что пифагорейцы выбрали «пентаграмму», нашпигованную «золотыми сечениями», в качестве главного символа своего союза, является еще одним свидетельством того, что пифагорейцы знали и почитали «золотое сечение». Именно такой вывод делает в одной из своих книг [5] доктор философских наук, кандидат физико-математических наук, профессор А.В. Волошинов, возглавляющий кафедру культурологии Саратовского государственного технического университета. В статье «Пифагор» [5] он пишет следующее:

«Особое внимание пифагорейцы уделяли пентаграмме – пятиконечной звезде, образованной диагоналями правильного пятиугольника. В пентаграмме пифагорейцы обнаружили все известные в древности пропорции: арифметическую, геометрическую, гармоническую, а также знаменитую золотую пропорцию, или золотое сечение. Совершенство математических форм пентаграммы находят отражение в совершенстве ее формы. Пентаграмма пропорциональна и, следовательно, красива. Видимо именно благодаря совершенной форме и богатству математических форм пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа здоровья и тайного опознавательного знака. С легкой руки пифагорейцев пятиконечная звезда и сегодня является символом многих государств и реет на флагах едва ли не половины стран мира».

Таким образом, по мнению проф. Волошинова, которого трудно обвинить в дилетантизме и незнании «первоисточников», «принцип золотого сечения» был известен пифагорейцам.

2.3. «Золотой» кирпич готической архитектуры

Рисунок 6. Вычисление диагонали «Прямоугольника Евклида»

Используя так называемую «формулу Бине» для чисел Люка [6], мы можем записать:

откуда вытекает численное значение диагонали

DB =

Рисунок 7. «Золотой» кирпич

Используя теорему Пифагора, легко вычислить диагональ CF «золотого кирпича»:

.

В книге [7] обращается внимание на тот факт, что именно «золотые кирпичи» широко использовались в качестве формы для основных строительных блоков готических замков. При этом выдвигается гипотеза о том, что удивительная прочность готических замков связана с использованием «золотых кирпичей» при строительстве архитектурных монументов готики.

3. Трактовка золотых р-пропорций
с Евклидовой точки зрения

3.1. Обобщение задачи о «золотом сечении»

Классическая задача о «золотом сечении», основанная на пропорции (4), допускает следующее обобщение [1]. Зададимся целым неотрицательным числом р=0, 1, 2, 3. и разделим отрезок AВ точкой C в следующей пропорции:

(10)

Если теперь обозначить и учесть, что АВ = АС + СВ, то отношение можно представить в виде:

(11)

Учитывая введенное выше обозначение и пропорцию (10), выражение (11) можно записать в виде:

,

откуда непосредственно вытекает следующее алгебраическое уравнение:

Исследуем частные случаи пропорции (7) и задающего ее алгебраического уравнения (12). Ясно, что при p = 0 уравнение (12) сводится к тривиальному уравнению:

Это уравнение имеет единственный корень t ₀=2. При этом деление отрезка в пропорции (10) сводится к «дихотомии», то есть, к делению отрезка пополам.

Рассмотрим теперь случай p = 1. Ясно, что для этого случая уравнение (12) сводится к уравнению (7), положительный корень которого t ₁ совпадает с «золотой пропорцией», то есть, t ₁ = t = . Заметим, что для этого случая деление отрезка в пропорции (10) сводится к классическому «золотому сечению». На этом основании все деления отрезка в пропорции (10) были названо «золотыми р-сечениями», а положительные корни алгебраического уравнения (12) – «золотыми р-пропорциями» [1].

При остальных значениях р мы получаем бесконечное число некоторых делений отрезка в пропорции (10). В частности, легко доказать, что при р ® Ґ «золотая р-пропорция» t _р ® 1.

С учетом вышеизложенного можно привести значения золотых р-пропорций для некоторых значений р.

Источник