деление в кольце вычетов

Модульная арифметика

2.2. Модульная арифметика

Операции по модулю

Как показано на рис. 2.9, оператор по модулю ( mod ) выбирает целое число ( a ) из множества Z и положительный модуль ( n ). Оператор определяет неотрицательный остаток ( r ).

Мы можем сказать, что

Найти результат следующих операций:

Система вычетов: Zn

Сравнения

Рисунок 2.11 показывает принцип сравнения. Мы должны объяснить несколько положений.

Система вычетов

Круговая система обозначений

Операции в Zn

Выполните следующие операторы (поступающие от Z_n ):

а. Сложение 7 и 14 в Z₁₅

б. Вычитание 11 из 7 в Z₁₃

в. Умножение 11 на 7 в Z₂₀

Ниже показаны два шага для каждой операции:

Выполните следующие операции (поступающие от Z_n ):

a. Сложение 17 и 27 в Z₁₄

b. Вычитание 43 из 12 в Z₁₃

Ниже показаны два шага для каждой операции:

Свойства

Первое свойство: (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n

Третье свойство: (a x b) mod n = [(a mod n) x (b mod n)] mod n

Рисунок 2.14 показывает процесс до и после применения указанных выше свойств. Хотя по рисунку видно, что процесс с применением этих свойств более длинен, мы должны помнить, что в криптографии мы имеем дело с очень большими целыми числами. Например, если мы умножаем очень большое целое число на другое очень большое целое число, которое настолько большое, что не может быть записано в компьютере, то применение вышеупомянутых свойств позволяет уменьшить первые два операнда прежде, чем начать умножение. Другими словами, перечисленные свойства позволяют нам работать с меньшими числами. Этот факт станет понятнее при обсуждении экспоненциальных операций в последующих лекциях.

Следующие примеры показывают приложение вышеупомянутых свойств.

Источник

Делимость в кольцах.

Неформально говоря, в полугруппе можно только умножать (или прибавлять). В группе можно умножать и делить (или прибавлять и вычитать). В кольце можно прибавлять, вычитать и умножать. В поле можно прибавлять и вычитать, умножать и делить.

Когда в поле рациональных чисел мы говорим, что «делим число 2 на число 3», то это является вольным изложением более правильного выражения «умножаем число 2 на число обратное по умножению к числу 3». Почему нельзя делить на 0? Поскольку, 0a=0, то 0 не имеет обратного по умножению и поэтому делить не на что.

В то же время, в кольце целых чисел, хотя число 3 и не имеет обратного по умножению, число 3 делит число 6. И здесь понятие делимости имеет уже несколько иной смысл, чем в предыдущем абзаце.

Определение. Элемент а кольца К делит элемент b кольца K, если существует элемент c кольца K, такой что b=ac. Точнее делит слева, т.к. кольцо может быть некоммутативным. Если b=ca, то а делит элемент b справа.

Обратим внимание, что в этом определении наличие обратного элемента у элемента «а» не предполагается.

Поскольку 0a=0, то по этому определению получается, что 0 делит 0. Получается лингвистическое противоречие. Ноль делит ноль, но ноль на ноль не делится!

В дальнейшем мы будем иметь дело только с коммутативными кольцами, то правую и левую делимость мы различать не будем. Если элемент a делит элемент b, то это обозначается a/b.

Свойства делимости. Пусть К – кольцо, a,b,c – его элементы.

4. Если , то

Доказательство.

4. Последнее свойство следует из свойств 1 и 2.

Третье свойство обычно называют транзитивностью. Кроме транзитивности среди свойств бинарных отношений, а делимость – это бинарное отношение, популярны рефлексивность и симметричность.

Чтобы выяснить, когда эти свойства имеют место, нам потребуется еще ряд определений.

Определение. Элемент a кольца К называется обратимым (или единицей), если существует элемент b, принадлежащий кольцу К, такой что, ab=1, где 1 – нейтральный элемент по умножению.

Теорема.

Множество К * обратимых элементов кольца К является группой относительно операции умножения.

Доказательство очевидно. □

Определение. Элемент a≠0 кольца К называется делителем нуля, если существует элемент b≠0 кольца К, такой, что ab=0.

Упражнение.Проверить, что кольца вычетов по составному модулю и кольца матрицM_n(K), при n >1, имеют делители нуля.

Благодаря тому печальному для потребителей обстоятельству, что кольца матриц имеют делители нуля, многие математики имеют работу. Причина в том, что решение систем линейных уравнений над кольцами с делителями нуля очень хлопотное дело и каждое кольцо требует отдельного исследования.

Пример 1.

Рассмотрим кольцо Z₈ и два уравнения с коэффициентами в этом кольце: 4x=0 и x 2 +x+1=0. Как легко проверить первое уравнение имеет четыре решения – 0, 2, 4, 6, а второе ни одного. □

Определение. Элементы a и b кольца К называются ассоциированными, если a\b и b\a.

Исследуем подробнее ассоциированные элементы. Если a\b и b\a, то одновременно выполняются два равенства b=ab₁, a=ba₁. Следовательно, . Таким образом, b(1—a₁b₁) = 0, и a(1—b₁a₁)=0. Если кольцо К не имеет делителей нуля, то получается, что

a₁b₁=1. То есть ассоциированные элементы отличаются друг от друга на обратимый элемент. Например, в кольце целых чисел группа обратимых элементов состоит из двух элементов Z * =<1, —1>, поэтому ассоциированными элементами будут, например, 3 и —3, 5 и —5.

Фундаментальную роль в алгебре и теории чисел, а также в криптографии, играют простые элементы кольца. В случае кольца целых чисел – простые числа.

Определение. Элемент p кольца К без делителей нуля называется простым, если он делится только на обратимые элементы и на ассоциированные с ним.

Если ограничится только натуральными числами, то определение простого элемента будет звучать так: «простой элемент делится только на себя и на единицу», поскольку среди натуральных чисел обратимым элементом является только 1.

У колец без делителей нуля есть одного замечательное свойство.

Дата добавления: 2015-11-28 ; просмотров: 3806 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Кольцо вычетов

Целые числа a,b сравнимы по модулю n, если при делении на число n эти числа дают один остаток (a mod n = b mod n).

При делении на n возможные значения остатка 0,1,…,n-1.

Обозначим [k] – класс сравнимых между собой чисел, дающих при делении на n остаток k. Например, для n=4 образуется четыре класса:

Таким образом, при делении на n образуется n классов [0],[1],…,[n-1]. Эти классы называются классами вычетов по модулю n. Множество Z_n=<[0],[1],…, [n-1]> называется полной системой вычетов. В дальнейшем квадратные скобки будем опускать Z_n=<0,1,…,n-1>.

Число из класса [a] имеет вид in+a. Выясним, в какой класс попадет сумма чисел из классов [a],[b]:

Это число при делении на n дает остаток ((i+j)n+(a+b)) mod n = (a+b) mod n. Таким образом, сумма любых двух чисел из классов [a],[b] принадлежит классу [(a+b) mod n]. В соответствии с этим на множестве Z_n введем операцию сложения:

В этом соотношении слева используется алгебраическая операция над элементами a,bÎZ_n. Справа – арифметические операции над числами a,b,n.

Свойства введенной операции сложения:

· операция коммутативна и ассоциативна, поскольку коммутативна и ассоциативна арифметическая операция сложения в правой части соотношения a+b=(a+b) mod n.

· элемент, противоположный элементу a, определяется следующим образом —a=n—a, т.к. a+(—a)=(—a)+a=(a+n—a) mod n =0.

Таким образом, алгебра A= образует абелевую группу относительно операции сложения.

Теперь выясним, в какой класс попадет произведение чисел из классов [a],[b]:

Это число при делении на n дает остаток (ab) mod n.

Поэтому операция умножения на множестве Z_n определяется как:

В этом соотношении слева – алгебраическая операция над элементами a,bÎZ_n. Справа – арифметические операции над числами a,b,n.

Свойства введенной операции умножения:

· операция умножения коммутативна и ассоциативна, поскольку коммутативна и ассоциативна арифметическая операция умножения в правой части соотношения a*b=(ab) mod n.

Такую алгебру называют кольцом вычетов.

Кроме того, в кольце вычетов выполняется условие коммутативности умножения, следовательно, данная алгебра является коммутативным кольцом.

Если n – составное, то кольцо вычетов содержит делители нуля. Действительно, если n=kl, тогда по определению умножения k*l=(kl) mod n =0.

Результаты операций сложения умножения и вычитания в A= представлены в табл.1.2-1.4 соответственно. Делителями нуля является пара элементов a=2,b=2.

Источник

Кольцо вычетов

Сравнение по модулю натурального числа — отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются) после достижения определенного значения.

В дискретной математике, для сравнений по модулю используется также термин модульная (или модулярная) арифметика.

Содержание

Определения

Утверждение « a и b сравнимы по модулю n » записывается в виде:

Свойства

Отношение сравнения является отношением эквивалентности и обладает многими свойствами обычных равенств. Например, их можно складывать и перемножать: если

Сравнения, однако, нельзя, вообще говоря, делить друг на друга или на другие числа. Пример: , однако, сократив на 2, мы получаем ошибочное сравнение: . Правила сокращения для сравнений следующие.

Нельзя также выполнять операции со сравнениями, если их модули не совпадают.

Классы вычетов

Поскольку сравнение по модулю n является отношением эквивалентности на множестве целых чисел , то классы вычетов по модулю n представляют собой классы эквивалентности; их количество равно n. Множество всех классов вычетов по модулю n обозначается или .

Операции сложения и умножения на индуцируют соответствующие операции на множестве :

[a]_n + [b]_n = [a + b]_n

Относительно этих операций множество является конечным кольцом, а если n простое — конечным полем.

Решение сравнений

Сравнения первой степени

В теории чисел, криптографии и других областях науки часто возникает задача отыскания решений сравнения первой степени вида:

Решение такого сравнения начинается с вычисления НОД(a, m)=d. При этом возможны 2 случая:

Практическое вычисление значения c можно осуществить разными способами: с помощью теоремы Эйлера, алгоритма Евклида, теории цепных дробей (см. алгоритм) и др. В частности, теорема Эйлера позволяет записать значение c в виде:

Поскольку 2 взаимно просто с модулем 11, можно сократить левую и правую части на 2. В итоге получаем одно решение по модулю 11: , эквивалентное двум решениям по модулю 22: .

Сравнения второй степени

Решение сравнений второй степени сводится к выяснению, является ли данное число квадратичным вычетом (с помощью квадратичного закона взаимности) и последующему вычислению квадратного корня по данному модулю.

История

В значительной степени теория делимости и вычетов была создана Эйлером. Сравнения по модулю впервые использовались Гауссом в его книге «Арифметические исследования», 1801 год. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Кольцо вычетов» в других словарях:

Кольцо (алгебра) — Кольцо это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел. Содержание 1 Определения 2 Связанные определения 3 Простейшие свойства … Википедия

Кольцо (множество) — Кольцо это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел. Содержание 1 Определения 2 Связанные определения 3 Простейшие свойства … Википедия

Кольцо (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… … Википедия

Кольцо алгебраическое — Кольцо алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных … Большая советская энциклопедия

Кольцо — алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных … Большая советская энциклопедия

Кольцо когомологий — Гомология одно из основных понятий алгебраической топологии. Замкнутая линия гомологична нулю, если она ограничивает кусок поверхности, который отделяется от неё, если мы произведём разрез по этой линии. Например, на сфере любая замкнутая линия… … Википедия

Мультипликативная группа кольца вычетов — Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО — кольцо ростков аналитич. функций в точке аналитического пространства. Более точно: пусть kесть поле с нетривиальным абсолютным значением (обычно предполагаемое полным) и есть fc алгебра степенных рядов от с коэффициентами в k, сходящихся в нек… … Математическая энциклопедия

ЛОКАЛЬНОЕ КОЛЬЦО — коммутативное кольцо с единицей, имеющее единственный максимальный идеал. Если А Л. к. с максимальным идеалом то факторкольцо является полем и наз. полем вычетов Л. к. А. Примеры Л. к. Любое поле или кольцо нормирования является локальным.… … Математическая энциклопедия

ДИСКРЕТНОГО НОРМИРОВАНИЯ КОЛЬЦО — дискретно нормированное кольцо, кольцо с дискретным нормированием, т. е. область целостности с единицей, в к рой существует такой элемент я, что любой ненулевой идеал порождается нек рой степенью элемента я; такой элемент наз. униформизирующим и… … Математическая энциклопедия

Источник

dm_learning

Thu, Mar. 23rd, 2006, 02:03 am
Третий семинар

Тема: Кольца. Булевы функции. Минимизация ДНФ.. Читаем, комментируем, решаем ДЗ.

Исследование группоидов

Значит, это полугруппа. При попытке найти нейтральный элемент, получим:

Кольца, тела и поля

Кольца рациональных, действительных и комплексных чисел с операциями арифметического сложения и умножения являются полями.

Кольцо вычетов

При имеем следующие таблицы сложения и умножения по модулю 4:

0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2

0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

При имеем следующие таблицы сложения и умножения по модулю 5:

0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3

0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1

или в кольце вычетов :

Подалгебры

Полукольца

Действительно, операция взятия минимума идемпотентна и является по ней нейтральным элементом.

Если операция умножения обладает также свойствами идемпотентности и коммутативности, то такое полукольцо называют симметричным.

Булевы алгебры

Рис. 1: Диаграмма Хассе для стандартного отношения порядка булевой алгебры

Булевы функции При существует только две функции-константы: 0 и 1. Рассмотрим все функции для : Рассмотрим все функции для : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Таким образом, каждая булева функция может быть представлена в виде таблицы истинности, так и в виде формулы. Можно доказать, что любая функция может быть представлена в виде ДНФ. Карта Карно Например, карта Карно для функции от трёх переменных будет иметь вид: Отметим, что значение переменных в соседних столбцах и строках карты Карно должны быть сравнимы. Минимизация ДНФ Минимальной булевой функцией называется функция, ДНФ которой содержит минимальное число элементарных коньюнкций (а если число коньюнкций равно, то число переменных в коньюнкциях меньше). Алгоритм минимизации булевой функции состоит из следующих этапов: На рисунке 3 показана карта Карно похожей функции. В этом случае ядро и не покрывает все единицы функции. Бывают ситуации, когда в ядро не входит ни одна склейка. Например, для функции, показанной на рисунке 4. В результате имеем две альтернативы, две тупиковые ДНФ: Источник ← деление биссектрис точкой пересечения в отношении деление ипотеки при разводе с детьми → Вам также понравится как правильно подписать акт выполненных работ с разногласиями 11.09.202314.09.2023 admin 0 как правильно рассчитать ежемесячный платеж по кредиту формула пример расчета 11.09.202314.09.2023 admin 0 дембельская форма морской пехоты северного флота 08.09.202309.09.2023 admin 0 Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email *