дифференциальные формы для чайников

Дифференциальные уравнения для «чайников». Примеры решения

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Решение уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Математика

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Классическая механика: о диффурах «на пальцах»

Введение

В этой статье я продолжаю тему цифровой обработки сигналов. В ней я постараюсь простым языком рассказать о концепции игровой механики (физики) с использованием подхода на основе дифференциальных уравнений. В будущем я собираюсь оценить действительно ли реализация такого подхода приведет к резкому увеличению вычислительной нагрузки. В рамках этой статьи не получится — слишком большой объем. В этой я собираюсь описать назначение коэффициентов, входящих в математическую модель динамического объекта, описать их физический смысл, т.е. их влияние на поведение динамического объекта.
Начнем пожалуй…

Физический смысл

Динамика в картинках

Чтобы наглядно показать влияние коэффициентов дифф. уравнения на поведение динамического объекта решил построить графики переходного процесса при ступенчатом (step response) и импульсном (impulse response) входных воздействиях. Всего представлено 6 групп графиков (по одной группе для каждого коэффициента). Графики построены в пакете Octave (v. 3.4) с установленным пакетом «Signal Processing».
Итак, в качестве исходной возьмем модель вида:
=========================================
>>> w = tf([1 1],[1 1 1])

Transfer function «w» from input «u1» to output…

Continuous-time model.
=========================================


Код «w = tf([1 1],[1 1 1])» в символьном виде имеет вид:
>>> w = tf([b0 b1],[a0 a1 a2])
На скриншотах внизу-справа — примерное время стабилизации (коридором стабильности считаем ± 5% от заданной величины).

Попробуем поиграться с коэффициентом жесткости a2.
>>> w1 = 0.1*tf([1 1],[1 1 0.1])
y1: (s + 1)/(s^2 + s + 0.1)

>>> w2 = 10*tf([1 1],[1 1 10])
y1: (s + 1)/(s^2 + s + 10)
Примечание: пришлось подшаманить с коэффициентами усиления, чтобы результирующий коэффициент усиления был равен единице.


Что видно на графиках? Слева-направо представлены графики для w, w1 и w2, соответственно. Графики w1 более плавные и медленнее достигают установившегося значения. Графики w2 имеют более колебательный характер, но быстрее достигают установившегося значения. Вывод: жестче пружина — больше колебаний, но короче переходный процесс.

Попробуем поиграться с демпфированием (а1).
>>> w1 = tf([1 1],[1 0.25 1])
y1: (s + 1)/(s^2 + 0.25s + 1)

>>> w2 = tf([1 1],[1 2 1])
y1: (s + 1)/(s^2 + 2s + 1)


Сразу вывод: больше вязкость — быстрее затухают колебания.

Попробуем поиграться с инерцией (а0).
>>> w1 = tf([1 1],[0.1 1 1])
y1: (s + 1)/(0.1s^2 + s + 1)

>>> w2 = tf([1 1],[2 1 1])
y1: (s + 1)/(2s^2 + s + 1)


Вывод: меньше масса чугуняки — меньше болтанки и короче переходный процесс.

Перейдем к правой части и поиграемся с b1.
>>> w1 = 10*tf([1 0.1],[1 1 1])
y1: (10 s + 1)/(s^2 + s + 1)

>>> w2 = 0.25*tf([1 4],[1 1 1])
y1: (0.25 s + 1)/(s^2 + s + 1)


Вроде бы разница еле заметна, если смотреть на графики Step Response. Но на графиках Impulse Response хорошо виден эффект этого коэффициента. Если он равен единице, то график импульсного переходного процесса начинается с единицы (на самом деле он выходит из нуля, но не суть важно — второе значение в графике еденица). График w1 «начинается» со значения 10 (обратная величина от 0.1), а график w2 — начинается со значения 0.25 (обратное к 4). Таким образом, коэффициент b1 можно «обозвать» коэффициентом эффективности управления (входного воздействия).

И напоследок вкусненькое — игры с коэффициентом b0. Это хитрый коэффициент, потому и сравнение будет не таким как было выше. Чтобы показать его эффект придется варьровать несколько коэффициентов.
>>> w1 = tf([6 1],[1 1 1])
y1: (6 s + 1)/(s^2 + s + 1)

>>> w2 = tf([6 1],[1 3 1])
y1: (6 s + 1)/(s^2 + 3 s + 1)


Чем отличаются друг от друга w1 и w2? У w2 в три раза больше коэффициент демпфирования. В результате получаем интересные выводы. Графики w1 и w2 раньше пересекают уровень установившегося значения чем дефолтный график. Однако график w1 сохраняет форму дефолтного с его колебательностью, а график w2 за счет увеличенного демпфирования более сглаженный. Таким образом, играясь с форсированием и демпфированием мы можем заставить даже чугунный утюг порхать по рингу как бабочка без колебаний туда-сюда.

На правах PS

В данной статье я рассматривал лишь положительные значения коэффициентов. Их положительность — необходимое условие устойчивости мат. модели. Однако можно попробовать поиграться и с отрицательными значениями. Неустойчивой системой также можно управлять. Вспомните о самолетах пятого поколения (например, наш Беркут). Обратная стреловидность крыла — это неустойчивый планер, но зато высокая маневренность. Автоматика способна скорректировать эту неустойчивость и при этом, когда нужно, закладывать крутые виражи.
Если получится, состряпаю игрушку, с которой можно будет наглядно увидеть все эти эффекты.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

История

Концепция

Интеграция и ориентация

которая является отрицательной величиной интеграла той же дифференциальной формы на том же интервале, когда используется противоположная ориентация. То есть:

Это придает геометрический контекст соглашениям об одномерных интегралах, согласно которым знак меняется при изменении ориентации интервала на противоположную. Стандартное объяснение этого в теории интегрирования одной переменной состоит в том, что, когда пределы интегрирования находятся в противоположном порядке ( b ), приращение dx отрицательно в направлении интегрирования.

Мультииндексная нотация

Внешняя производная

Дифференциальное исчисление

Первой идеей, ведущей к дифференциальным формам, является наблюдение, что ∂ _v f ( p ) является линейной функцией от v :

Смысл этого выражения дается путем вычисления обеих сторон в произвольной точке p : в правой части сумма определяется « поточечно », так что

поэтому найти такое f будет невозможно, если только

где ∧ определяется так, что:

Внутренние определения

По универсальному свойству внешних степеней это эквивалентно чередующемуся полилинейному отображению :

Внешняя алгебра может быть вложена в тензорную алгебру с помощью отображения чередования. Карта чередования определяется как отображение

Операции

Помимо сложения и умножения с помощью скалярных операций, которые возникают из структуры векторного пространства, существует несколько других стандартных операций, определенных для дифференциальных форм. Наиболее важными операциями являются внешнее произведение двух дифференциальных форм, внешняя производная одной дифференциальной формы, внутреннее произведение дифференциальной формы и векторного поля, производная Ли дифференциальной формы относительно векторного поля и ковариантная производная дифференциальной формы по векторному полю на многообразии с заданной связностью.

Внешний продукт

Антисимметрия, присущая внешней алгебре, означает, что когда α ∧ β рассматривается как полилинейный функционал, он является альтернированным. Однако, когда внешняя алгебра вложила подпространство тензорной алгебры с помощью отображения альтернирования, тензорное произведение α ⊗ β не является альтернированным. Существует явная формула, описывающая внешний вид продукта в этой ситуации. Внешний вид продукта

Риманово многообразие

Структуры векторных полей

Внешний дифференциальный комплекс

Откат

Интеграция

Интеграция в евклидовом пространстве

Интеграция по цепочкам

Предположим, что φ определяется формулой

Тогда интеграл в координатах можно записать как

Интеграция с использованием разделов единства

Интеграция по волокнам

Обозначим эту форму через

Затем ( Dieudonne 1972 ) доказывает обобщенную формулу Фубини ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFDieudonne1972 ( справка )

определяется предметом интерьера

Теорема Стокса

Эта теорема также лежит в основе двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепей.

Связь с мерами

Течения

Приложения в физике

Используя упомянутые выше определения, уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны в геометрических единицах как

Приложения в геометрической теории меры

Источник

Дифференциальные формы для чайников

Дифференциальные формы

В этом разделе будет частично разработан аппарат, необходимый для теоремы Стокса.

0-формой называют функцию, непрерывную на множестве Е.

В качестве простого примера рассмотрим 1-поверхность γ в R 2 (т. е. кривую класса ‘) с множеством параметров [0, 1]. Если ω = x₂ dx₁ + x₁ dx₂, то

для всех k-поверхностей Φ в множестве Е.

Согласно (78) и (76), из того, что определитель меняет знак при перестановке двух его столбцов, следует, что выполняется антикоммутативный закон

Полагая в (79) i = j, получаем

9.38. Умножение. Пусть ω есть k-форма (75), а λ есть m-форма

Определенное так умножение, очевидно, ассоциативно и дистрибутивно по отношению к сложению, определенному в разделе 9.37. Заметим, что ранее введенное обозначение

согласуется с нашим теперешним определением умножения.

9.39. Дифференцирование. Мы определим теперь оператор дифференцирования d, который каждой k-форме класса ‘ в множестве Е ставит в соответствие (k + 1)-форму в Е.

Часто форму dω называют внешней производной формы ω, а ω∧λ называют внешним произведением форм ω и λ. В соответствии с этим формальное исчисление, построением которого мы сейчас занимаемся, называют внешним дифференциальным исчислением.

9.40. Теорема.(а) Если ω и λ суть k— и m-формы (соответственно) класса ‘ в Е, то

Соотношение антикоммутативности (79) показывает, что

Согласно (88), подставляя (87) в (86), получаем (85). Если f есть 0-форма класса «, то

Тогда T преобразует форму ω в k-форму ω_T в Е, заданную следующим образом:

Наша следующая теорема показывает, что операции сложения, умножения и дифференцирования форм определены так, что они инвариантны относительно замены переменных.

Доказательство.(а) и (b) вытекают непосредственно из определений. Если f есть 0-форма класса ‘ в V, то

Из правила дифференцирования следует, что

то (85) и (b) показывают теперь, что

Тем самым доказано и (с).

Теперь мы переходим к другому важному свойству преобразований дифференциальных форм.

так что по правилу дифференцирования (см. пример 9.14)

Доказательство.Нам достаточно рассмотреть только случай

Теорема будет доказана, если мы установим, что

поскольку из (90) следует, что

а так как J(u) = det [А], то (90) доказано.

Комбинируя две последние теоремы, получаем заключительный результат этого раздела.

Применяя этот результат к ω и к TФ, получаем

Но (ω_T)_Φ = ω_TΦ по теореме 9.43. Теорема доказана.

Источник

Дифференциальные формы для чайников

В настоящее время данная теория не излагается для студентов технических вузов и даже в общем курсе анализа для менее продвинутых университетов. Для студентов тех специальностей, где анализ функций нескольких переменных не используется, это понятно. Но даже сейчас знание интегрального исчисления нескольких переменных необходимо, например, для студентов физико-технических специальностей, радио- и электротехников, где требуется знание уравнений Максвелла и для теплотехников, где необходим расчет контурных интегралов на PV-диаграммах [1]. В данной статье будет показано преимущество от введения теории внешних форм при изучении интегрального исчисления нескольких переменных по сравнению с существующими курсами. Начнем с простейшего примера – попробуем преобразовать интеграл с помощью замены переменных.

Это кажется настолько очевидным, что студент так же автоматически может попробовать, например, преобразовать двойной интеграл, выразив его в полярных координатах – x=ρcosφ, y=ρsinφ, тогда будет dx=cosφdρ-ρsinφdφ; dy=sinφdρ+ρcosφdφ. Имеем формально:

dxdy=cosφsinφ(dρ) 2 +(ρcos 2 φ–ρsin 2 φ)dρdφ-ρ 2 cosφ sinφ(dφ) 2

Остается спросить, что такое, скажем, интеграл от cosφsinφ(dρ) 2 и… выгнать с экзамена. Понятно, что любой преподаватель знаком со многими подобными примерами.

Теперь, а если студент знает теорию внешних форм? Покажем, как немедленно получается правильная формула.

Здесь, во вводной статье, предполагается, что все нижеследующие понятия уже объяснены, а теоремы доказаны. Все определения и доказательства будут даваться в более подробном учебном курсе [2]. В дальнейшем все криволинейные, поверхностные интегралы заменяются одним видом интеграла – интеграла по гладкому многообразию [3] (кусочно-гладкому) от дифференциальной формы.

Интегралы мы будем брать по т.н. внешним или кососимметричным дифференциальным формам. Форма – это линейная (полилинейная) функция от нескольких векторов, а именно

где ξ и η – произвольные вектора пространства Rm,, а α – число. Количество векторов-аргументов k называется порядком или степенью формы, а сама форма называется k-формой [4]. Кососимметричность означает, что при перестановке двух аргументов форма меняет знак, то есть

Если в каждой точке пространства Rn или в области D этого пространства задана некоторая k-форма, то она называется дифференциальной формой. В разных точках пространства форма в общем случае может быть различной. Важнейшим примером 1-формы может служить обычный дифференциал функции от нескольких переменных. Доказывается, что любая внешняя дифференциальная k-форма (мы будем рассматривать только внешние формы) представляет собой сумму внешних произведений дифференциалов координат типа a(x)dxm∧…dxn, причем по вышесказанному dx∧dy=–dy∧dx, откуда dx∧dx=0 [5]. Здесь мы покажем удобство от введения данного понятия.

Например, в той же задаче о приведении двойного интеграла к новым переменным попробуем перейти к полярным координатам ρ,φ.

dx∧dy=(cosφdρ–ρsinφdφ)∧ ∧(sinφdρ+ρcosφdφ)= cosφsinφdρ∧dρ + +cosρcosφdρ∧dφ–ρsinφsinφdφ∧dρ – –ρsinφρcosφdφ∧dφ=ρcos2φdρ∧dφ– –ρsinφ2dφ∧dρ = (убирая нулевые формы dρ∧dρ и dφ∧dφ ) = ρcos2φdρ∧dφ+ +ρsinφ2dρ∧dφ = (пользуемся антисимметричностью dφ∧dρ=–dρ∧dφ) =ρ dρ∧dφ

Остается выразить f(x,y) через ρ и φ и автоматически сразу получить формулу преобразования двойного интеграла к полярным координатам – якобиан перехода получился «сам» (сейчас студент должен помнить то, что при переходе к новым координатам внутри интеграла появляется якобиан, да и как вычислять определители студенты могут забыть):

Здесь мы не даем явное определение интеграла по форме f(x,y) dx∧dy, но укажем, что он является просто обычным двойным интегралом от функции f на области C изменений переменных x,y, аналогично интеграл справа является двойным интегралом на области изменений переменных ρ и φ.

Введем операцию взятия дифференциала (или внешнего дифференциала) формы, которая будет переводить дифференциальную k-форму в форму степени k+1.

Для формы ω(x)=f(x) нулевой степени (функции в пространстве Rm) дифференциал формы является просто дифференциалом функции f, а именно:

Для внешней формы-одночлена k-й степени

(x точка в Rn) ее дифференциалом будет:

где da(x) – обычный дифференциал функции. От суммы таких форм-одночленов (любая форма, как мы упоминали, представляется в виде суммы таких форм) дифференциал берется по линейности. Ясно, что дифференцирование переводит кососимметричные формы в кососимметричные (в силу свойства внешнего произведения) и повышает степень формы на единицу.

Одно из важнейших свойств дифференциала: d(dω)=0 для любой формы [6] ω.

Теперь приведем несколько примеров, показывающих простоту использования теории внешних форм. Вспомним, например, формулу Грина, связывающую криволинейный интеграл с двойным:

(В данном случае мы не ставим при левом интеграле кружок, означающий замкнутый контур, а границу многообразия C запишем как дC по причинам, которые объясняются в более подробном курсе, хотя прямо сейчас укажем, что граница от границы ддC=0, что тесно связано с равенством ddA=0).

Обычную формулу Грина трудно запомнить (почему, например, стоит знак минуса или почему под скобкой берется частная производная по x от Fy), а, не зная или позабыв вывод, трудно вспомнить саму формулу. Знание теории внешних форм резко упрощает дело. Мы имеем т.н. общую формулу Стокса (Стокса-Пуанкаре) [7]:

где дC – граница многообразия C, F – дифференциальная форма, а dF – ее дифференциал. В данном случае мы не указываемем кратность интегралов, надо только отметить, что она, как и размерность области интегрирования, на единицу меньше для левого интеграла.

Теперь перейдем к доказательству формулы Грина. Найдем дифференциал F_xdx+F_ydy,:

d(Fxdx)=

Аналогично d(F_ydy) равна (∂F_y)/∂x dx∧dy и окончательно сама формула Грина:

(вспоминая, что интеграл по 2-форме f(x,y) dx∧dy является просто обычным двойным интегралом).

Аналогичный пример для формулы Гаусса-Остроградского:

Имеем, пользуясь кососимметричностью внешнего произведения, в частности, равенством нулю внешнего произведения одинаковых форм:

Наконец, сама формула:

(интеграл по форме Fdx∧dy на поверхности ∂C – это то, что в обычных курсах называется интегралом второго рода, а в правой части интеграл по форме Fdx∧d∧dz будет обычным тройным интегралом, то у нас есть наша искомая формула).

Аналогично выводится и обычная (необобщенная) формула Стокса.

С помощью дифференциальных форм очень легко выражаются понятия векторного анализа, необходимого студентам изучающих электродинамику, гидро- или аэродинамику.

0-форма ω 0 _f =f(x) (обычная функция на трехмерном пространстве)

Нетрудно видеть, что любая кососимметричная 0-,1-,2-,или 3-форма представляется однозначно в виде указанных форм с некоторыми f,F,V или ρ [8].

Градиент f – это такой вектор grad f, что

В самом деле, ω 2 _{rot grad f}= dω 1 _{grad f}=dd ω 0 _f=0, то есть равенство rot F=0 является необходимым (не достаточным!) чтобы F выражался как grad f. Если F выражается через градиент, то в электродинамике такое поле называется потенциальным.

Также легко доказать, что div rot F=0

В самом деле, ω 3 _{div rot F}= dω 2 _{rot F}=dd ω 1 _F=0, то есть равенство div A=0 является необходимым (не достаточным!) чтобы A выражался как rot F. Если div A=0, то в электродинамике такое поле называется соленоидальным.

В заключение заметим, что теория внешних форм не упрощает, хотя и не усложняет, изложение анализа от нескольких переменных. Почему же мы считаем внедрение ее в преподавание в технических вузах определенно полезным, а в некоторых случаях даже совершенно необходимым? Укажем следующие преимущества:

Поэтому можно считать, что если студенту вообще необходимо для конкретных технических дисциплин знание интегрального исчисления нескольких переменных, то ему было бы полезно знать теорию внешних форм, причем учитывая учебные программы для физико-технических, электро- и теплотехнических факультетов уже на первых курсах бакалавриата.

Рецензенты:

Долинер Л.И., д.п.н., профессор, профессор кафедры ИСиТ, УРФУ, ИнФО, г. Екатеринбург;

Матвеева Т.А., д.п.н., профессор, зав. кафедрой ИСиТ, УРФУ, ИнФО, г. Екатеринбург.

Работа поступила в редакцию 29.07.2014.

1 А также диаграмм в других координатах, например T,S (где T–температура, а S–энтропия).

2 Для читателя статьи все нужное содержится в книгах [1]-[5] списка литературы.

3 Особой строгости при введении понятия многообразия (с краем или без) в предполагаемом курсе мы не будем придерживаться, но укажем, что 1-многообразием будет кривая, 2-многообразием – поверхность.

4 Нельзя путать степень формы k с размерностью векторного пространства m.

5 У нас дифференциал координаты dxi (i – здесь индекс, а не показатель степени!) – это функция, сопоставляющая вектору его i-ю координату. Очевидно, что это форма первой степени.

6 Формы, дифференциал которых равен нулю, называются замкнутыми, формы, являющиеся дифференциалом других форм, – точными. Согласно вышесказанному, все точные формы замкнуты, но, как правило, не наоборот.

7 Доказательство этой формулы представляет собой самую сложную часть теории, но обратим внимание читателя на предельную простоту самой этой формулы!

8 Для 2- и 3-форм только в обычном трехмерном пространстве.

Источник