динамика механических систем учебное пособие

Динамика механических систем учебное пособие

И.С. Куликов, Г.А. Маковкин

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра теоретической механики

Нижний Новгород – 2011

Куликов И.С., Маковкин Г.А.

Сжато и доступно изложены основы динамики материальной точки и механической системы в рамках, не выходящих за пределы требований ГОС. В популярной форме авторы знакомят с основными понятиями и методами этого раздела теоретической механики, необходимыми для изучения дисциплин курса и специальных дисциплин. Изложение сопровождается примерами, которые нужны для успешного овладения теорией и приобретения минимальных навыков в решении задач.

Пособие предназначено для студентов ОТФ, изучающих раздел «динамика» в курсе теоретической механики, но будет полезным студентам и других специальностей вузов архитектурно-строительного направления. В том числе – специальности «Экспертиза и управление недвижимостью».

ISBN ãКуликов И.С., Маковкин Г.А. 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

В значительной мере это объясняется тем, что в школьных и вузовских учебниках механика традиционно ассоциируется с разделом физики и ей невольно отводят место в ряду таких общеобразовательных дисциплин, как физика или математика. Хотя в действительности она играет гораздо более важную роль в деле подготовки специалистов по строительству и архитектуре.

И если у разработчиков стандартов и программ определенно сохраняется уверенность в необходимости изучения сопротивления материалов, то далеко не всегда, то же самое можно сказать о программах по теоретической механике, где намечается разрыв между декларативными требованиями и реальными возможностями образовательного процесса, проходящего в условиях падения уровня подготовки абитуриентов.

Все это приводит к формированию чрезмерно профилированных и адаптированных курсов по теоретической механике, в которых много внимания уделяется статике в ущерб динамике. Если сравнительно недавно считалось нормой, когда динамика составляет около 70% от объема курса теоретической механики, то сейчас доля этого раздела, как правило, не превышает 30-40% всего объема.

Это имеет, по крайней мере, два негативных последствия.

Во-первых, возрастают сложности при изучении таких разделов строительной механики как динамика и устойчивость. А это именно те факторы в работе сооружений, которые наряду с проблемой качества строительных материалов, являются в настоящее время основной причиной катастроф и аварий.

Во-вторых, теоретическая механика утрачивает ту роль, которую она всегда выполняла в деле консолидации технического образовательного пространства, устанавливая междисциплинарные связи и формируя научное мировоззрение.

Поэтому нетрудно понять, как важна разработка сбалансированного и лишенного отмеченных недостатков курса по этой дисциплине. Как и то, что успешное овладение основами этой науки в рамках сокращенной программы представляет непростую задачу, как для лектора, так и для студентов.

Первым шагом на пути её решения является определение целей этой работы, которые сформулированы так:

– разработка методического обеспечения для минимального по объему курса основ теоретической механики, который бы давал представление о предмете, методах исследования и задачах этой дисциплины;

– анализ места механики и теоретической механики в системе естествознания и среди других учебных дисциплин с учетом ГОС по математике и физике;

– подготовка предложений по корректировке учебных программ с учетом преподавания механики на кафедрах сопротивления материалов и строительной механики.

Настоящее пособие является попыткой содействовать решению этой задачи. Его содержание не претендует на полноту и отражает точку зрения авторов на то, каким должен быть вводный курс этой дисциплины. Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением тщательно подобранных примеров, необходимых как для понимания теории, так и для приобретения минимальных навыков в решении задач.

В пособии дается представление о предмете, методах исследования и задачах динамики, позволяющее студенту чувствовать себя уверенно при ее изучении.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ

1.1. Основные понятия динамики
Приступая к изучению новой учебной дисциплины, полезно иметь представление, что она изучает, какой метод исследования применяет, а также какое место занимает в системе естествознания и образования среди других наук и дисциплин.

Напомним, что динамика – это раздел механики, а механика – это наука, изучающая механическое движение материальных объектов, то есть их взаимное перемещение в пространстве и во времени.

В качестве материальных объектов помимо дискретных тел могут выступать среды – например, жидкость или газ и поля, поэтому круг объектов, изучаемых механикой очень широк.

В зависимости от физических свойств этих объектов и их размеров всю механику можно разделить на классическую или ньютонову и неклассическую.

Основным методом исследования в механике является гипотетико-дедуктивный. Его суть заключается в выдвижении гипотезы, которая подтверждается или опровергается опытом.

Абсолютно твердым или недеформируемым называется тело, у которого расстояния между двумя любыми точками остаются неизменными.

Частным случаем твердого тела является материальная точка – это тело, размерами которого в условиях конкретной задачи можно пренебречь.

В зависимости от особенностей механического движения теоретическая механика (ТМ) делится на статику, кинематику и динамику.

Статика рассматривает частный случай механического движения, когда оно не зависит от времени – речь идет о рассмотрении равновесия твердого тела (ТТ), загруженного системой сил и находящегося в состоянии покоя.

Кинематика рассматривает внешнюю сторону механического движения независимо от причин, вызвавших его. Это не что иное, как геометрия в четырехмерном пространстве, где время играет роль четвертого измерения.

Динамика исследует общий случай механического движения ТТ с учетом причин, вызвавших его.

Характер движения тела определяется двумя группами факторов:

– воздействием на тело других материальных объектов;

– внутренними собственными инертными свойствами тела, проявляющимися в его способности противодействовать всякому изменению его состояния покоя или равномерного прямолинейного движения.

К числу основных понятий классической динамики относятся следующие.

Сила – векторная величина, характеризующая воздействие на рассматриваемое тело другого материального объекта.

Масса – скалярная величина, определяющая инертность тела.

Пространство – в классической механике принимается за трехмерное эвклидово пространство, свойства которого не зависят от помещенных в него материальных объектов.

Время – считается абсолютным и одинаковым для всех точек пространства.

Основателем динамики является Г. Галилей (1564-1642), который ввел понятия скорости, ускорения и сформулировал закон инерции.

Выдающийся вклад в становление механики как науки внес И. Ньютон (1643-1727).

Высокая степень абстракции модели абсолютно твердого тела позволяет применять в ТМ, как и в математике, аксиоматико-дедуктивный метод исследования.

Таким образом, ТМ подобно геометрии построена на системе аксиом, сформулированных Ньютоном, которые играют в механике ту же роль, что и аксиомы Евклида в геометрии. Часть этих аксиом известна из школьного курса физики как законы Ньютона.

1.2. Аксиомы динамики
Законы, к рассмотрению которых мы переходим, были сформулированы Ньютоном для абсолютной неподвижной системы отсчета, но они справедливы также и для любых инерциальных – галилеевых систем отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно относительно такой неподвижной системы координат.

Вопрос о том, можно ту или иную систему считать инерциальной решается путем проведения физического эксперимента.

Например, для задач астрономии инерциальной можно считать гелиоцентрическую систему отсчета с осями координат, направленными на «неподвижные» звезды, а при решении технических задач – систему координат, связанную с Землей.

Отметим, что эти законы были сформулированы для частного случая ТТ – материальной точки.

Аксиома 1. (Закон инерции). Под действием уравновешенной системы сил тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя.

Аксиома 2. (Основной закон динамики). Ускорение a, приобретаемое телом, пропорционально приложенной к нему силе F, и обратно пропорционально массе этого тела m.

Мы будем записывать этот закон в виде:

ma = F. (1.1)
Отметим, во-первых, что a  F, а, во-вторых, что закон и соответственно уравнение (1.1) называются основными потому, что связывают воедино кинематические характеристики – a, внешние воздействия – F и внутренние свойства носителя движения – m.

Аксиома 3. (Закон равенства действия и противодействия). Два тела взаимодействуют с силами, равными по величине, действующими вдоль одной прямой, соединяющей точки их приложения и направленными в противоположные стороны.

Аксиома 4. (Закон независимости действия сил). Если на тело одновременно действует несколько сил, то ускорение, приобретаемое телом, равно геометрической сумме ускорений от каждой силы в отдельности.

Это обобщение аксиомы параллелограмма из статики на динамику, допускающее в соотношении (1.1) для i-ой силы:

Таким образом, 1 кгс ≈ 9,81 Н.

1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Под законом движения в кинематике понимают алгоритм, позволяющий определить положение движущейся точки в пространстве в любой момент времени.

Различают три способа задания движения: векторный, координатный и естественный. Первый из них представляет собой, главным образом, теоретический интерес, а два последних имеют непосредственное практическое значение.

Дифференциальные уравнения в декартовых координатах. Проектируя основное уравнение динамики (1.1) на оси декартовой прямоугольной системы координат, получим:

Полученная система трех дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение материальной точки, и называется дифференциальными уравнениями (ДУ) движения материальной точки в декартовых координатах.

Дифференциальные уравнения в естественных координатах. Проектируя основное уравнение динамики (1.1) на оси естественной системы координат, получим:

(1.3)

Полученная система дифференциальных уравнений называется дифференциальными уравнениями (ДУ) движения материальной точки в естественных координатах.

Напомним, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и проекция ускорения на бинормаль – a_b равна нулю.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

2.1. Две задачи динамики
В динамике решают две основные задачи, которые мы и рассмотрим. Методика решения каждой из этих задач зависит от способа задания движения точки.

2.1.1. Первая задача динамики
Задача формулируется следующим образом: найти силу, действующую на точку с массой m, движущуюся по известному закону.

Решение задачи основано на умении находить вектор ускорения a при различных способах задания движения.

Дифференцируя их дважды, найдем проекции вектора ускорения на оси координат:

Пример 2.1. Найти силу, под действием которой точка с массой m движется по закону:
x = acos(ωt), (а)

Решение. Исключив из этих соотношений время t, получим уравнение траектории движущейся точки:
(x/a) 2 + (y/b) 2 = 1.
Дифференцируя (а), получим:

Подставляя в (1.2), найдем:

где r = √ x 2 + y 2 (рис. 2.1).

Рис.2.1
Ответ: точка движется в плоскости xOy под действием квазиупругой силы F = – mω 2 r. ·

mv 2 /ρ = Tsinα; (б)
0 = Tcosα – P, (в)
где P = mg.
Из (а) следует, что v = const, а из (в) получим:

Подставляя последнее выражение в (б), получим:
mv 2 /(lsinα) = mg tgα,
откуда найдем скорость конического маятника:

2.1.2. Вторая задача динамики
Задача формулируется следующим образом: найти закон движения точки с массой m, движущейся под действием заданной силы при известных начальных условиях.

Математически поставленная задача сводится к решению задачи Коши для системы ДУ второго порядка (1.2) – (2.1):

При этом F_x, F_y и F_z в общем случае являются функциями следующих переменных: t, x, y, z,

В следующем параграфе мы рассмотрим решение второй задачи в зависимости от вида этих функций.

– выбрать систему координат, направив оси в сторону движения;

– приложить к рассматриваемому телу активные силы и, отбросив связи, заменить их неизвестными реакциями;

– записать ДУ движения в координатной (1.2) или естественной (1.3) форме;

– определить действующие на тело силы или найти закон движения.

2.2. Прямолинейное движение точки

Если точка движется вдоль оси Ox, задача (2.1) – (2.2) примет следующий вид.

Найти решение ДУ
(2.3)
при заданных начальных условиях:
x(0) = x₀ ; . (2.4)

2.2.1. Интегрирование ДУ движения для случая F = const
Отметим, что если в уравнении (2.3) F_x = F = const, то ускорение = a_x = a тоже постоянно и мы имеем случай равнопеременного движения, уже изученного в кинематике.

Тем не менее, мы остановимся на нем, чтобы рассмотреть два способа решения задачи (2.3) – (2.4).

Разделяя в (2.9) переменные, получим с учетом (2.4):

то есть
. (2.11)
Последняя зависимость v = v(x) также является первым интегралом ДУ (2.3). Подставляя (2.11) в (2.10) и разделяя переменные, получим:

Это закон движения или второй интеграл ДУ (2.3) или решение задачи (2.3) – (2.4), аналогичное решению (2.4).

· Например, для x₀ = v₀ = 0, m = 2F из (2.4) получим: x = t 2 /4. Вычисляя интеграл (2.12) придем к выражению:

,

Решение. Проектируя основное уравнение динамики
ma = P,
на ось Ox, направленную вверх – по движению точки, получим:

или
. (а)
Решим уравнение (а) при заданных начальных условиях:
(б)
двумя рассмотренными выше способами.

2.2.2. Интегрирование ДУ движения для случая F = F(t)
Уравнение (2.3) задачи Коши с помощью первой подстановки a = dv/dt приводится к системе двух ДУ, аналогичных (2.5) и (2.6). По аналогии с (2.7) и (2.8) получим первый интеграл – закон изменения скорости и второй интеграл – закон движения:

v = v₀ + (1/m),

x = x₀ +v₀t + (1/m).

2.2.3. Интегрирование ДУ движения для случая F = F(x)

Уравнение (2.3) задачи Коши с помощью второй подстановки a = vdv/dx позволяет получить первый интеграл – аналогичный (2.11):

и второй – аналогичный (2.11):

Решение. Движение точки происходит под действием упругой силы пружины, направленной к положению равновесия и равной F = – cr (рис. 2.3).

Подставляя v = dx/dt и разделяя переменные, получим:

,
arc sin·t,

Решение. Проектируя основное уравнение динамики на ось Ox, направленную вниз – по движению тела и выбирая начало отсчета в центре Земли, получим:

ma = F_x = k 2 /(x 2 ). (а)
На поверхности Земли при x = ± R сила притяжения равна весу тела: k 2 /(R 2 ) = mg, откуда

где R – радиус Земли.

Подставляя в (а) и применяя вторую подстановку a = vdv/dx, получим:
vdv/dx = (gR 2 )/(x 2 ).
Разделяя переменные и интегрируя, придем к выражению:
,
откуда
,
и искомая скорость падения тела будет равна:
.

Отметим, что предел этого выражения:

= 11,2 км/сек

равен второй космической скорости.

Нетрудно убедиться, что ньютоновское поле тяготения является потенциальным – см. главу 8 и для него выполняется закон сохранения механической энергии, а значит можно рассмотреть обратную задачу. То есть тело, которому у поверхности Земли будет сообщена такая скорость, покинет поле ее тяготения и станет искусственной планетой солнечной системы
Ответ: . ·

,
откуда искомая высота подъема тела будет равна:

. (а)
Чтобы оценить правильность полученного результата, сравним его с решением, полученным ранее в примере 2.3. без учета сопротивления воздуха:
H = v₀ 2 /(2g). (б)
Найдем с этой целью предел выражения (а) при стремлении параметра α, характеризующего силу сопротивления воздуха, к нулю:

– если задачу можно решить, не определяя времени или закона движения, следует применять вторую подстановку a = vdv/dx.

Догма — это попытка создать палку об одном конце. Данил Рудый
ещё >>

Источник

Динамика механических систем учебное пособие

ГЛАВА 10. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Принцип возможных перемещений (ПВП) является основополагающим в механике. Он успешно используется при решении статических и динамических задач теоретической механики, сопротивления материалов, теории упругости и строительной механики.

Основной вклад в обоснование и внедрение в практику ПВП был внесен Ж. Лагранжем.

Определение. Возможными перемещениями точки называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в каждый момент времени наложенными на нее связями.

Под возможными перемещениями системы мы будем понимать множество возможных перемещений всех ее точек.

● Рассмотрим систему двух материальных точек A и B, помещенных на концах рычага, закрепленного в центре О, и удаленных от этого центра на расстояния l_А и l_В соответственно (рис. 10.1).

Такая система имеет, очевидно, одну степень свободы, и ее положение однозначно определяется заданием угла поворота стержня j.

Элементарное перемещение точки A определяется вектором dr, проекции которого на оси координат равны дифференциалам координат точки A:
dx = [∂(Δx)/∂φ]|_φ=0 dφ = – l_А sinj |_φ=0 dφ = 0;

Возможным перемещением точки A будет вектор δr(δx, δy), который отличается от вектора dr(dx, dy) только тем, что является не действительным, а воображаемым и его проекции на оси координат называются не дифференциалами, а вариациями координат.
δx = [∂(Δx)/∂φ]|_φ=0 δφ = 0;

Переход от конечных к элементарным или возможным перемещениям точки A имеет наглядную геометрическую интерпретацию и в данном случае означает, что перемещение по дуге окружности радиуса l_А заменяется перемещением по касательной к этой окружности.

Отметим, что в рассматриваемом примере система подчинена геометрическим, стационарным и двусторонним связям. ●

Выясним, какие условия в общем случае налагают связи на возможные перемещения точек системы.
Теорема 1. В каждый момент времени возможные перемещения точки лежат в плоскости, касательной к поверхности связи.

В самом деле, возможное перемещение точки:

Раскладывая последнее выражение в ряд, получим с точностью до бесконечно малых первого порядка:

Теорема 2. Для стационарных связей элементарные действительные перемещения точки принадлежат к числу возможных: dr = δr, для нестационарных связей dr ≠ δr.

Точка, на которую наложена нестационарная связь f (x,y,z,t) = 0, участвует в сложном движении. В каждый момент времени t = t₁ она перемещается в относительном движении по поверхности связи f (x,y,z,t₁) = 0 и одновременно в переносном движении перемещается вместе со связью f (x,y,z,t) = 0.

При этом абсолютная траектория точки в общем случае не принадлежит поверхности f (x,y,z,t₁) = 0, а значит dr ≠ δr. Теорема доказана.

Обозначим через N_i реакции связей, приложенных к точкам системы.

Определение. Связи, приложенные к точкам системы, называются идеальными, если для любого возможного перемещения системы выполняется соотношение:

● Примером системы, подчиненной идеальным связям, является цилиндр с намотанной на него нитью, который поднимается без проскальзывания по наклонной плоскости (рис. 9.2, г, стр. 80).

Реакциями такой связи, приложенными к телу, будут: N₁ – сила нормального давления поверхности, и N₂ – сила трения.

Поскольку эти силы приложены в точке контакта, являющейся мгновенным центром скоростей, то для них выполняется соотношение (10.1). ●

Принцип возможных перемещений (ПВП) эквивалентен уравнениям равновесия элементарной статики. Он формулируется следующим образом.

Для равновесия системы, подчиненной идеальным, стационарным и двухсторонним связям, необходимо и достаточно равенства нулю суммы работ всех активных сил на любых возможных перемещениях системы:
ΣF_i δr_i = 0. (10.2)
Принцип можно применять также для систем с неидеальными и односторонними связями. При этом надо включить реакции таких связей в число активных сил и убедиться, что на возможных перемещениях системы они сохраняют свой знак.

S( F_i v_i ) = 0. (10.3)
Он означает, что для равновесия системы, подчиненной идеальным, стационарным и двухсторонним связям, необходимо и достаточно равенства нулю суммы мощностей всех активных сил на любых возможных перемещениях системы.

С помощью этого принципа можно определять соотношение между силами и моментами, приложенными к подвижной механической системе – механизму, а также находить опорные реакции неподвижных систем.

Чтобы найти зависимость между силами и моментами, приложенными к подвижной механической системе, надо непосредственно применить соотношения (10.2) или (10.3), при этом в первом случае решение сводится к формальным математическим операциям, а во втором – опирается на положения кинематики твердого тела.

Для того чтобы определить опорные реакции неподвижной системы, предварительно надо воспользоваться принципом освобождаемости от связей.

Пример 10.1. В кулисном механизме при качании рычага ОС вокруг шарнира О ползун А, перемещаясь вдоль ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в направляющих К. Найти зависимость между Q и Р, если ОС = R, ОК = l (рис. 10.2).

Учитывая, что y_A= l·tgφ, x_C= R·cosφ, а y_C = R·sinφ, с помощью обычных правил дифференцирования найдем вариации координат для этих точек системы:

При этом v_A  ОА и v_A = ω₀·r, а скорость точки В, принадлежащей звену АВ, – v_В  СВ, и ее можно найти с помощью мгновенного центра скоростей или по теореме о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры, согласно которой пр_АВv_A = пр_АВv_В, откуда v_В = v_A cos 30 = ω₀ r(/2).

Для нашей задачи нагрузка представлена только парой с моментом M, приложенной к звену ОА и силой F, приложенной в точке В, поэтому соотношение (10.3) примет вид:
M ω₀ + (F · v_В) = 0

1. Решение задачи, рассмотренной в примере (10.1) и взятой из сборника задач под редакцией И.В. Мещерского, обычными методами статики приводит к затруднениям, в чем неоднократно убеждались преподаватели кафедры теоретической механики, когда предлагали эту задачу первокурсникам на студенческой олимпиаде.

2. Требование малости перемещений в определении возможных перемещений и в формулировке ПВП для механики твердого тела не является принципиальным.

Как уже отмечалось, принцип возможных перемещений эквивалентен уравнениям равновесия элементарной статики. Докажем, что справедлива следующая

Теорема. Необходимым и достаточным условием равновесия системы, подчиненной идеальным, стационарным и двухсторонним связям, является равенство нулю суммы работ всех активных сил на любых возможных перемещениях системы:
ΣF_i δr_i = 0. (10.4)
1) Доказательство необходимости. Пусть система материальных точек находится в состоянии равновесия. Тогда для каждой точки системы выполняется соотношение:

2) Доказательство достаточности. Пусть к системе, находившейся в состоянии покоя, приложили силы, удовлетворяющие (10.4). Покажем, что система останется в состоянии равновесия.

С помощью этого принципа можно определять соотношение между силами и моментами, приложенными к подвижной механической системе – механизму, а также находить опорные реакции неподвижных систем.

Для того чтобы определить опорные реакции неподвижной системы, предварительно надо воспользоваться принципом освобождаемости от связей.
Примечания:

1. Как следует из теоремы, с помощью ПВП, как и с использованием обычных уравнений равновесия, можно рассматривать только статически определимые системы.

2. Преимущество ПВП перед уравнениями элементарной статики становится особенно заметным при расчете сложных составных систем с большим числом неизвестных. При решении таких задач важно получить хорошую структуру системы алгебраических уравнений для определения опорных реакций.

Поясним, что это означает. В общем случае матрица системы таких уравнений является сплошь заполненной и имеет вид (а):

(а) (б) (в) (10.5)
где знаком «» обозначены коэффициенты, отличные от нуля. Решение такой системы уравнений представляет наибольшие трудности.

Гораздо привлекательнее матрица треугольного вида, структура которой представлена на схеме (б). Она позволяет найти из первого уравнения первое неизвестное, затем, подставив его во второе уравнение, найти второе неизвестное и так далее.

Идеальной является представленная на схеме (в) диагональная матрица, при которой система распадается на отдельные уравнения, и неизвестные определяются независимо одно от другого.

Ниже будет показано, что ПВП в отличие от обычной статики всегда позволяет получить систему уравнений именно с такой диагональной матрицей. Таким образом, мы всегда сможем найти интересующую нас опорную реакцию независимо от других опорных реакций.

Рассмотрим процедуру определения опорных реакций многопролетной шарнирно-консольной балки, которая с точки зрения статики представляет собой пример составной или сочлененной статически определимой системы.

Будем придерживаться следующего плана решения задачи:

1) в соответствии с принципом освобождаемости от связей отбрасываем связь, которая соответствует искомому усилию, и заменяем ее реакцией R_i ;

2) сообщаем точке приложения R_i в полученной системе с одной степенью свободы возможное перемещение δs_i ;

3) записываем условие равенства нулю суммы работ всех активных сил, добавляя к этим силам неизвестную реакцию R_i:

ΣF_i δr_i = 0; (10.4′)
4) выражаем возможные перемещения всех точек системы через вариацию одной обобщенной координаты;

6) проверяем, по возможности, правильность решения задачи.
Примечания:

1. В общем случае под R_i надо понимать обобщенную силу, а под δs_i – обобщенное перемещение, которые представляют собой обычную силу и линейное перемещение для линейных и, соответственно, момент и угловое перемещение – для моментных связей.

– проанализировать заданную составную балку и уточнить, из каких элементарных балок она образована;

– выяснить, какая точка рассматриваемой элементарной балки останется неподвижной, когда точка i вследствие заданного возможного смещения займет в пространстве положение i´, либо какой параметр этой балки останется неизменным в силу краевых условий;

– провести прямую линию через точку i´ и найденную неподвижную точку либо прямую, соответствующую заданным краевым условиям, и определить какое положение в пространстве займут граничные точки элементарной балки;

– выполнить такую же процедуру для смежных балок.

3. В курсе строительной механики будет показано, что при δs_i = 1 построенная мода балки представляет собой линию влияния, то есть график функции, ординаты которого равны величине реакции рассматриваемой опоры R_i в зависимости от положения единичного подвижного груза, перемещающегося по этой балке. Такие линии влияния применяют для расчета балок и других строительных конструкций на подвижную нагрузку.

Пример 10.3. Определить реакцию опоры В составной балки (рис.10.4, а).

Рис. 10.4
Решение. Рассматриваемая составная балка образована из двух элементарных балок, соединенных шарниром D. В соответствии с приведенным выше планом отбрасываем опору В, заменяя ее неизвестной реакцией R_B.

Сообщаем точке В возможное перемещение δs_B = ВВ´, в результате чего все незакрепленные точки балки получат возможные перемещения.

Для построения моды балки проводим прямую линию через точку В´ и неподвижную точку А левой элементарной балки – AD и определяем таким образом положение ее граничной точки D´. После этого переходим к рассмотрению правой элементарной балки и определяем положение ее крайней правой точки, проводя прямую через точку D´ и неподвижную точку С (рис. 10.4, б).

Уравнение (10.4) для нашей задачи примет вид:

Рассматриваемая составная балка загружена системой параллельных сил, поэтому реакция этой опоры направлена вертикально: X_A = 0, Y_A = R_А .

В соответствии с приведенным выше планом отбрасываем вертикальную связь в точке А, заменяя ее неизвестной реакцией R_А.

Сообщаем точке А возможное перемещение δs_А = АА´, в результате чего все незакрепленные точки балки получат возможные перемещения.

Для построения моды балки проводим прямую линию через точку А´ и неподвижную точку В элементарной балки ABD и определяем таким образом положение ее граничной точки D´. После этого переходим к рассмотрению правой элементарной балки и определяем положение точки приложения силы Р, проводя прямую через точку D´ и неподвижную точку С (рис. 10.4, в).

откуда, поделив на δφ_В  0, найдем искомую реакцию:

R_А = (M/a + P) = 2P.
Чтобы убедиться в правильности найденного решения, составим уравнение Σ M_D (лев) = 0:

Ответ: R_А = 2P, R_B = – 3P. ●
Пример 10.4. Определить реакции в жесткой заделке А указанной балки (рис. 10.5, а).

Выразим вариации обобщенных координат, входящие в (а), через одну из них, например – δφ_A.

Выражая вариации обобщенных координат, входящие в (б), через одну из них, например – δs_А :

Чтобы убедиться в правильности полученного решения, составим уравнение Σ M_D (лев) = 0:

В тех случаях, когда нужно определить не одну, а реакции всех опор балки – как в СПР, которую выполняют студенты второго курса ОТФ, план решения задачи можно изменить.

При этом надо учесть, что процедура построения системы уравнений с треугольной матрицей (10.5, б) может оказаться проще, чем для системы с диагональной матрицей (10.5, в).

В следующем примере будут показаны стандартный и нестандартный подходы к решению такой задачи.

Пример 10.5. Определить реакции опор балки на рис. 10.6, а.

Стандартное решение. Заданная составная балка образована из четырех элементарных балок, соединенных шарнирами F, G и H, и загружена системой параллельных сил.

Распределенную нагрузку, приложенную к каждой из элементарных балок, заменяем равнодействующими Q₁ и Q₂ соответственно.

Стандартный метод позволяет находить опорные реакции независимо друг от друга и в любой последовательности, начиная например, с опоры A.

Выразим все возможные – линейные и угловые перемещения точек системы, входящие в (а), через δφ_E:

Подставляя в (a), получим:

Подставляя в (б), получим:

Соответствующее уравнение ПВП примет вид:

Нестандартное решение. Для реализации этого способа определения опорных реакций надо выяснить, какие из элементарных балок составной системы являются зависимыми или основными, а какие – независимыми или подвешенными.

Опорные реакции первых обусловливаются как собственной нагрузкой, так и нагрузкой от других балок, опирающихся на них.

Опорные реакции независимых балок определяются только собственной нагрузкой, приложенной к ним.

Для нахождения независимых балок можно использовать следующее правило: если из заданной составной системы исключить независимую балку, оставшаяся часть системы останется работоспособной, а исключение зависимой балки приводит к разрушению всей системы.

Нетрудно убедиться, что в рассматриваемом примере независимой будет крайняя правая балка – НЕ, а все остальные будут зависимыми.

Этот метод определения опорных реакций является рекуррентным, поэтому решение следует начинать с нахождения опорных реакций независимых балок.

откуда следует:

Если при этом ΣM_H (прав) = 0, то ошибка – в вычислении R_D.

При определении опорных реакций рам удобнее пользоваться этим методом в форме принципа возможных скоростей (10.3).

Будем придерживаться следующего плана решения задачи:

1) в соответствии с принципом освобождаемости от связей отбрасываем связь, которая соответствует искомому усилию, и заменяем ее реакцией R_i ;

2) сообщаем точке приложения R_i в полученной системе с одной степенью свободы возможную скорость v_i ;

3) записываем условие равенства нулю мощностей всех активных сил, добавляя к ним неизвестную реакцию R_i :

6) проверяем, если это возможно, правильность решения задачи.
Пример 7.1. Определить горизонтальную составляющую реакции опоры В трехшарнирной рамы (рис. 10.8, а).

Решение: Отбрасывая горизонтальную связь в шарнире В, получим ползун, к которому приложена неизвестная реакция Х_В (рис. 10.8, б).

Сообщим ему возможную скорость v_B. При этом все точки полученного механизма с одной степенью свободы также получат возможные скорости, а его звенья АС и ВС – угловые скорости ω_АС и ω_ВС соответственно.

Человеческое, слишком нечеловеческое. Станислав Ежи Лец
ещё >>

Источник