дисперсия отношения двух случайных величин

Функции случайных величин

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

и искомый ряд распределения имеет вид

Если же среди чисел есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Пример 1. Случайная величина распределена с плотностью

Решение. Обратная функция неоднозначна. Одному значению аргумента соответствуют два значения функции

Закон распределения функции двух случайных величин

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно

и удовлетворяет условиям дифференцируемости.

Плотность распределения случайной величины

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Пусть случайная величина является функцией случайного аргумента с заданным законом распределения

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

Составим таблицу значений величины и вероятностей этих значений:

так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента дисперсия выражается формулой

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Теорема 6.4. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле

Корреляционный момент функций случайных величин

Раскрывая скобки и применяя свойства математического ожидания, получаем

Рассмотрим две функции случайной величины

Согласно формуле (6.6)

т.е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин и абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

Следствие 6.5. Для любых случайных величин и абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы:

Источник

Дисперсия отношения двух случайных величин

13.4.4 юЙУМПЧЩЕ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО

ъБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС РПМОПУФША ИБТБЛФЕТЙЪХЕФ УМХЮБКОХА ЧЕМЙЮЙОХ У ЧЕТПСФОПУФОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС. пДОБЛП ЧП НОПЗЙИ ЪБДБЮБИ ПЛБЪЩЧБЕФУС ФТХДОП ЙМЙ ДБЦЕ ОЕЧПЪНПЦОП РПМОПУФША ПРЙУБФШ ЖХОЛГЙА ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЧЕТПСФОПУФЕК.

ч ФП ЦЕ ЧТЕНС ДМС ТЕЫЕОЙС НОПЗЙИ ЪБДБЮ ДПУФБФПЮОП ЪОБФШ МЙЫШ ОЕЛПФПТЩЕ РБТБНЕФТЩ, ИБТБЛФЕТЙЪХАЭЙЕ УМХЮБКОХА ЧЕМЙЮЙОХ У ФПК ЙМЙ ЙОПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС. ьФП ОБРПНЙОБЕФ УЙФХБГЙА, ЛПЗДБ ЧЪБНЕО ПРЙУБОЙС НЕМШЮБКЫЙИ РПДТПВОПУФЕК ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛПК ЖПТНЩ ФЧЕТДПЗП ФЕМБ ПЗТБОЙЮЙЧБАФУС ФБЛЙНЙ ЕЗП ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБНЙ, ЛБЛ ДМЙОБ, ЫЙТЙОБ, ЧЩУПФБ, ПВЯЕН, НПНЕОФ ЙОЕТГЙЙ Й Ф. Д.

ч ФЕПТЙЙ ЧЕТПСФОПУФЕК ЮЙУМПЧЩНЙ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБНЙ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ УМХЦБФ НПНЕОФЩ ТБУРТЕДЕМЕОЙС. пОЙ МЕЗЛП ПРТЕДЕМСАФУС ЙЪ ЬЛУРЕТЙНЕОФБМШОЩИ ДБООЩИ Й РПЪЧПМСАФ Ч ПВЭЙИ ЮЕТФБИ УХДЙФШ П ИБТБЛФЕТЕ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ. дМС ОЕРТЕТЩЧОЩИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО НПНЕОФЩ ТБУРТЕДЕМЕОЙС Л – ПЗП РПТСДЛБ (Л = 1, 2, …) ПРТЕДЕМСАФУС РП ЖПТНХМЕ

Ч РТЕДРПМПЦЕОЙЙ, ЮФП ОЕУПВУФЧЕООЩК ЙОФЕЗТБМ БВУПМАФОП УИПДЙФУС.

РТЙ ХУМПЧЙЙ, ЮФП ТСД Ч РТБЧПК ЮБУФЙ УИПДЙФУС БВУПМАФОП.

уМЕДХЕФ ЙНЕФШ ЧЧЙДХ, ЮФП ИБТБЛФЕТЙЪПЧБФШ УМХЮБКОХА ЧЕМЙЮЙОХ РТЙ РПНПЭЙ НПНЕОФПЧ ХДБЕФУС ОЕ ЧУЕЗДБ, ФБЛ ЛБЛ ОЕ ДМС ЧУСЛПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЬФЙ НПНЕОФЩ УХЭЕУФЧХАФ

рТПУФЕКЫБС ЮЙУМПЧБС ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ – НПНЕОФ ТБУРТЕДЕМЕОЙС РЕТЧПЗП РПТСДЛБ, ПРТЕДЕМСАЭБС БВУГЙУУХ ГЕОФТБ ФСЦЕУФЙ РМПУЛПК ЖЙЗХТЩ, ПЗТБОЙЮЕООПК ЛТЙЧПК ТБУРТЕДЕМЕОЙС Й ПУША БВУГЙУУ, ОБЪЩЧБЕФУС НБФЕНБФЙЮЕУЛЙН ПЦЙДБОЙЕН ЙМЙ УТЕДОЙН ЪОБЮЕОЙЕН УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ. ч УППФЧЕФУФЧЙЙ У ПВЭЙН ПРТЕДЕМЕОЙЕН НПНЕОФПЧ ТБУРТЕДЕМЕОЙС НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ ОЕРТЕТЩЧОПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ и ТБЧОП

Б НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ ДЙУЛТЕФОПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ТБЧОП

.

нБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ УХННЩ ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ТБЧОП УХННЕ ЙИ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙИ ПЦЙДБОЙК: н(И + Х) = н(И) + н(Х).

нБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ РТПЙЪЧЕДЕОЙС ДЧХИ ОЕЪБЧЙУЙНЩИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ТБЧОП РТПЙЪЧЕДЕОЙА ЙИ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙИ ПЦЙДБОЙК: н(ИХ) = н(И)н(Х).

нБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ ПФЛМПОЕОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ПФ ЕЗП НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС ТБЧОП 0.

оБКФЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ ЮЙУМБ ВТБЛПЧБООЩИ ЙЪДЕМЙК Ч ЧЩВПТЛЕ ЙЪ РСФЙ ЙЪДЕМЙК, ЕУМЙ УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ и (ЮЙУМП ВТБЛПЧБООЩИ ЙЪДЕМЙК), ЪБДБОБ ТСДПН ТБУРТЕДЕМЕОЙС

рП ПРТЕДЕМЕОЙА

нБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ ЖХОЛГЙЙ ПФ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ

оБ РТБЛФЙЛЕ ЧУФТЕЮБАФУС ЪБДБЮЙ, Ч ЛПФПТЩИ УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ ОЕ ЧЩТБЦБЕФУС ЮЙУМПН, Б ПВМБДБЕФ ФПМШЛП ЛБЮЕУФЧЕООПК ИБТБЛФЕТЙУФЙЛПК. оБРТЙНЕТ, ЧЩРХУЛБЕНБС ЪБЧПДПН РТПДХЛГЙС ДЕМЙФУС ОБ ЗПДОХА Й ВТБЛПЧБООХА. чЩОХФБС ОБХЗБД ЙЪ ЛПМПДЩ ЛБТФБ ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ОБЙНЕОПЧБОЙЕН Й НБУФША. рТЙОСФЩК ТБДЙПМПЛБГЙПООЩК УЙЗОБМ ОЕУЕФ ЙОЖПТНБГЙА П ОБМЙЮЙЙ ЙМЙ ПФУХФУФЧЙЙ ГЕМЙ Й Ф. Р.

пДОБЛП ЧПЪНПЦОП ЧЧЕДЕОЙЕ ЛПМЙЮЕУФЧЕООПК ПГЕОЛЙ Й ДМС ЧЕМЙЮЙО ЙНЕАЭЙИ МЙЫШ ЛБЮЕУФЧЕООПЕ ТБЪМЙЮЙЕ. вХДЕН ТБУУНБФТЙЧБФШ УМХЮБКОХА ЧЕМЙЮЙОХ ЛБЛ ТЕЪХМШФБФ ОЕЛПФПТПЗП ЬЛУРЕТЙНЕОФБ. мАВПК ЬЛУРЕТЙНЕОФ ФТЕВХЕФ ПРТЕДЕМЕООЩИ ЪБФТБФ Й УФБЧЙФУС ТБДЙ ДПУФЙЦЕОЙС ПРТЕДЕМЕООПК ГЕМЙ. йУИПД ЬЛУРЕТЙНЕОФБ СЧМСЕФУС ЦЕМБФЕМШОЩН ЙМЙ ОЕЦЕМБФЕМШОЩН Ч ЪБЧЙУЙНПУФЙ ПФ ФПЗП, ОБУЛПМШЛП ДПУФЙЗБЕФУС РПУФБЧМЕООБС ГЕМШ. дПУФЙЦЕОЙЕ РПУФБЧМЕООПК ГЕМЙ НПЦОП ТБУУНБФТЙЧБФШ ЛБЛ ЧЩЙЗТЩЫ ЙМЙ ЧЩЗПДХ, Б ОЕ ДПУФЙЦЕОЙЕ – ЛБЛ РТПЙЗТЩЫ ЙМЙ ХВЩФПЛ. й ЧЩЗПДХ Й ХВЩФПЛ НПЦОП ЧЩТБЪЙФШ ЮЙУМБНЙ (ОБРТЙНЕТ, УХННЩ ДЕОЕЗ Ч ТХВМСИ).

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛБЦДПНХ ЙУИПДХ ЬЛУРЕТЙНЕОФБ НПЦОП РПУФБЧЙФШ Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ ОЕЛПФПТХА ЮЙУМЕООХА ПГЕОЛХ, ФП ЕУФШ ПУХЭЕУФЧЙФШ ПФПВТБЦЕОЙЕ РТПУФТБОУФЧБ ЙУИПДПЧ ЬЛУРЕТЙНЕОФБ и ОБ НОПЦЕУФЧП ЧЕЭЕУФЧЕООЩИ ЮЙУЕМ R:

ьФП ПФПВТБЦЕОЙЕ ДБЕФ ЧЕЭЕУФЧЕООХА ЖХОЛГЙА , ПРТЕДЕМЕООХА ОБ и, У ЛПФПТПК НПЦОП ПРЕТЙТПЧБФШ ЛБЛ УП УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОПК Й, Ч ЮБУФОПУФЙ, ПРТЕДЕМСФШ ЕЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ. рХУФШ ЬМЕНЕОФБН НОПЦЕУФЧБ и УППФЧЕФУФЧХАФ ЪОБЮЕОЙС ЖХОЛГЙЙ , ЧЕТПСФОПУФЙ ЛПФПТЩИ ВХДХФ ФЕ ЦЕ, ЮФП Й ЧЕТПСФОПУФЙ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО . уМЕДПЧБФЕМШОП, НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ ЖХОЛГЙЙ ПФ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ НПЦЕФ ВЩФШ ОБКДЕОП РП ЖПТНХМБН НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ РХФЕН ЪБНЕОЩ И ОБ .

дМС ОЕРТЕТЩЧОПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ

.

дМС ДЙУЛТЕФОПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ

.

чЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП ЧЩРХЭЕООЩК ЪБЧПДПН РТЙВПТ ПЛБЦЕФУС ВТБЛПЧБООЩН, ТБЧОБ Т. лБЛПЧБ УТЕДОСС РТЙВЩМШ, РТЙИПДСЭБСУС ОБ ПДЙО РТЙВПТ, ЕУМЙ Б – УЕВЕУФПЙНПУФШ, b – ГЕОБ РТПДХЛГЙЙ.

рТЙВЩМШ, РТЙИПДСЭБСУС ОБ ПДЙО РТЙВПТ ТБЧОБ (b – a), ЕК УППФЧЕФУФЧХЕФ ЧЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП РТЙВПТ ОЕ ВТБЛПЧБО (1 – Т). пВПЪОБЮБС УТЕДОАА РТЙВЩМШ ЮЕТЕЪ Q, ОБИПДЙН

Q = (b – a)(1 – p) – ap = b(1 – p) – a.

еУМЙ ТБУУНБФТЙЧБФШ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ ЛБЛ УТЕДОЙК ЧЩЙЗТЩЫ РТЙ ВПМШЫПН ЮЙУМЕ ЬЛУРЕТЙНЕОФПЧ, ФП УЮЙФБЕФУС, ЮФП ЬЛУРЕТЙНЕОФ РТПЧПДЙФШ ГЕМЕУППВТБЪОП, ЕУМЙ .

дЙУРЕТУЙС. уТЕДОЕЛЧБДТБФЙЮОПЕ ПФЛМПОЕОЙЕ

НЕЦДХ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОПК Й ЕЕ УТЕДОЙН ЪОБЮЕОЙЕН ОБЪЩЧБЕФУС ПФЛМПОЕОЙЕН УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ. нПНЕОФЩ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЧЕТПСФОПУФЕК ПФЛМПОЕОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ОБЪЩЧБАФ ГЕОФТБМШОЩНЙ Й ПВПЪОБЮБАФ .

.

ч ПФМЙЮЙЕ ПФ НПНЕОФПЧ ПФОПУЙФЕМШОП ЛППТДЙОБФОПК ПУЙ, ЛПФПТЩЕ ОБЪЩЧБАФУС ОБЮБМШОЩНЙ, ГЕОФТБМШОЩЕ НПНЕОФЩ СЧМСАФУС НПНЕОФБНЙ ПФОПУЙФЕМШОП ПУЙ, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ГЕОФТ ФСЦЕУФЙ.

дМС ДЙУЛТЕФОПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ГЕОФТБМШОЩЕ НПНЕОФЩ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ПРТЕДЕМСАФУС УППФЧЕФУФЧХАЭЙНЙ УХННБНЙ

.

еУМЙ УТЕДОЕЕ ЪОБЮЕОЙЕ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ТБЧОП ОХМА, ФП Й ГЕОФТБМШОЩЕ НПНЕОФЩ ТБУРТЕДЕМЕОЙС УПЧРБДБАФ У ОБЮБМШОЩНЙ. пЮЕЧЙДОП, ЮФП ГЕОФТБМШОЩК НПНЕОФ РЕТЧПЗП РПТСДЛБ ЧУЕЗДБ ТБЧЕО ОХМА.

гЕОФТБМШОЩК НПНЕОФ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЧФПТПЗП РПТСДЛБ ОБЪЩЧБЕФУС ДЙУРЕТУЙЕК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ и Й ПРТЕДЕМСЕФУС ЖПТНХМБНЙ:

ДМС ОЕРТЕТЩЧОПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ

ДМС ДЙУЛТЕФОПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ

.

дЙУРЕТУЙС ИБТБЛФЕТЙЪХЕФ ПФЛМПОЕОЙС ПФДЕМШОЩИ ЪОБЮЕОЙК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ПФ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС, ФП ЕУФШ СЧМСЕФУС НЕТПК ТБУУЕСОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ. юЕН НЕОШЫЕ ДЙУРЕТУЙС, ФЕН ВПМЕЕ ФЕУОП ЛПОГЕОФТЙТХАФУС ПФДЕМШОЩЕ ЪОБЮЕОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ЧВМЙЪЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС.

оЕДПУФБФЛПН ДЙУРЕТУЙЙ СЧМСЕФУС ФП, ЮФП ПОБ ЙНЕЕФ ТБЪНЕТОПУФШ ЛЧБДТБФБ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ. ьФПЗП ОЕДПУФБФЛБ МЙЫЕОП УТЕДОЕ ЛЧБДТБФЙЮОПЕ ПФЛМПОЕОЙЕ УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ, ЛПФПТПЕ ПРТЕДЕМСЕФУС ЖПТНХМПК

еЗП ЕЭЕ ОБЪЩЧБАФ УФБОДБТФОЩН ПФЛМПОЕОЙЕН.

чЩЮЙУМЙФШ ДЙУРЕТУЙА ЮЙУМБ ВТБЛПЧБООЩИ ЙЪДЕМЙК ДМС ТБУРТЕДЕМЕОЙС

ч РТЙНЕТЕ 1 ДМС ЬФПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС ОБКДЕОП н(И) = 1,25, РПЬФПНХ РП ПРТЕДЕМЕОЙА ДЙУРЕТУЙЙ ЙНЕЕН

бУЙННЕФТЙС Й ЬЛУГЕУУ

нБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ Й ДЙУРЕТУЙС ОЕ ПФТБЦБАФ ЧУЕИ ПУПВЕООПУФЕК ЛТЙЧПК ТБУРТЕДЕМЕОЙС. пДОПК ЙЪ ФБЛЙИ ПУПВЕООПУФЕК СЧМСЕФУС УЙННЕФТЙС ЙМЙ БУЙННЕФТЙС ЛТЙЧПК ТБУРТЕДЕМЕОЙС ПФОПУЙФЕМШОП ПУЙ, РТПИПДСЭЕК ЮЕТЕЪ ФСЦЕУФЙ. ч МАВПН УЙННЕФТЙЮОПН ТБУРТЕДЕМЕОЙЙ ГЕОФТБМШОЩК НПНЕОФ РТПЙЪЧПМШОПЗП ОЕЮЕФОПЗП РПТСДЛБ ТБЧЕО ОХМА (ЬФП УМЕДХЕФ ЙЪ ЙИ ПРТЕДЕМЕОЙС). рПЬФПНХ РТПУФЕКЫЙК ЙЪ ОЕЮЕФОЩИ НПНЕОФПЧ (ГЕОФТБМШОЩК НПНЕОФ ФТЕФШЕЗП РПТСДЛБ) НПЦЕФ Ч РЕТЧПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ УМХЦЙФШ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛПК БУЙННЕФТЙЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС. гЕОФТБМШОЩК НПНЕОФ ФТЕФШЕЗП РПТСДЛБ

НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩТБЦЕО ЮЕТЕЪ ОБЮБМШОЩЕ НПНЕОФЩ РЕТЧЩИ ФТЕИ РПТСДЛПЧ

ъБ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛХ ОЕУЙННЕФТЙЮОПУФЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙС (БУЙННЕФТЙЙ ЙМЙ УЛПЫЕООПУФЙ) РТЙОЙНБАФ ВЕЪТБЪНЕТОХА ЧЕМЙЮЙОХ – ПФОПЫЕОЙЕ ФТЕФШЕЗП ГЕОФТБМШОПЗП НПНЕОФБ Л ЛХВХ УТЕДОЕЗП ЛЧБДТБФЙЮЕУЛПЗП ПФЛМПОЕОЙС:

,

ЛПФПТБС ОБЪЩЧБЕФУС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПН БУЙННЕФТЙЙ.

гЕОФТБМШОЩК НПНЕОФ ЮЕФЧЕТФПЗП РПТСДЛБ РТЙ ДБООПК ДЙУРЕТУЙЙ НПЦЕФ УМХЦЙФШ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛПК ХДЕМШОПЗП ЧЕУБ ВПМШЫЙИ ПФЛМПОЕОЙК ПФ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС, ФП ЕУФШ ПРТЕДЕМСФШ ИБТБЛФЕТ НБЛУЙНХНБ Ч ФПЮЛЕ н(И) УЙННЕФТЙЮОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС – ПУФТПЧЕТЫЙООПУФШ ЙМЙ РМПУЛПЧЕТЫЙООПУФШ ЛТЙЧПК ТБУРТЕДЕМЕОЙС. ч ЛБЮЕУФЧЕ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ УЗМБЦЕООПУФЙ ЛТЙЧПК ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЙУРПМШЪХАФ ВЕЪТБЪНЕТОХА ЧЕМЙЮЙОХ

ОБЪЩЧБЕНХА ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПН ЬЛУГЕУУБ.

гЕОФТБМШОЩК НПНЕОФ ЮЕФЧЕТФПЗП РПТСДЛБ НПЦЕФ ВЩФШ ЧЩТБЦЕО ЮЕТЕЪ ОБЮБМШОЩЕ НПНЕОФЩ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН

уМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ и ЪБДБОБ РМПФОПУФША ТБУРТЕДЕМЕОЙС

оБКФЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ, ДЙУРЕТУЙА, БУУЙНЕФТЙА Й ЬЛУГЕУУ

оБИПДЙН НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ

пРТЕДЕМЙН

фПЗДБ ДЙУРЕТУЙС ПРТЕДЕМСЕФУС ЖПТНХМПК

чЩЮЙУМСЕН ОБЮБМШОЩЕ НПНЕОФЩ РЕТЧПЗП, ЧФПТПЗП, ФТЕФШЕЗП Й ЮЕФЧЕТФПЗП РПТСДЛПЧ

гЕОФТБМШОЩЕ НПНЕОФЩ ФТЕФШЕЗП Й ЮЕФЧЕТФПЗП РПТСДЛПЧ ОБИПДЙН ЮЕТЕЪ ОБЮБМШОЩЕ НПНЕОФЩ

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ БУЙННЕФТЙЙ ВХДЕФ ТБЧЕО

Источник

Дисперсия отношения двух случайных величин

Модуль 2. Тема 4. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения и плотность распределения полностью характеризует случайную величину. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства закона распределения случайной величины. Такие числа принято называть числовыми характеристиками случайной величины.

Важнейшими среди них являются характеристики положения: математическое ожидание (центр распределения случайной величины), мода, медиана; характеристики рассеяния: дисперсия (отклонение случайной величины от ее центра), среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание обозначается через (или , , , ). Таким образом, по определению

. (1)

Если число возможных значений случайной величины конечно, то

, (2)

Заметим, что ряд в правой части (1) предполагается сходящимся (в противном случае случайная величина не имеет математического ожидания).

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением случайной величины. Действительно, так как , то

.

. (3)

Интеграл в правой части равенства (3) предполагается абсолютно сходящимся, т.е.

в противно случае непрерывная случайная величина не имеет математического ожидания.

Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т.е. .

2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, т.е. .

3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий, т.е. ( ).

4. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, т.е. .

5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. если независимы, то .

Пример. В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб., 50 по 50 руб., 100 по 10 руб., 150 по 1 руб. Найти математическое ожидание выигрыша на один билет.

Решение. Ряд распределения случайной величины Х- суммы выигрыша на один билет таков:

Источник