для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно чтобы
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Примеры.
Решение.
Ответ: положительно определенная.
Решение.
Ответ: отрицательно определенная.
4.223.$2x_4^2+x_1x_2+x_1x_3-2x_2x_3+2x_2x_4.$
Решение.
Следовательно, квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной.
Ответ: общего вида.
Домашнее задание.
4.220.$x_1^2-15x_2^2+4x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3.$
4.221.$12x_1x_2-12x_1x_3+6x_2x_3-11x_1^2-6x_2^2-6x_3^2.$
Ответ: отрицательно определенная.
4.222.$9x_1^2+6x_2^2+6x_3^2+12x_1x_2-10x_1x_3-2x_2x_3.$
Ответ: положительно определенная.
4.224.$x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+8x_4^2+8x^2x_4.$
Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно чтобы
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
При приведении квадратичной формы к диагональному виду (каноническому виду) можно воспользоваться методом выделения квадратов (методом Лагранжа). Покажем его на примере. Пусть задана квадратичная форма
k ( x )= 
Заметив, что коэффициент при 
отличен от нуля, соберем вместе все члены, содержащие 
:
Дополним выражение в квадратных скобках до квадрата суммы, прибавив и вычтя 
:
k ‘( x ) = 
К ней можно применить тот же прием:
k ‘( x ) = 
k ( x ) = 
Последние формулы задают преобразование координат при переходе к базису, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
Теорема инерции для квадратичных форм.
Теорема. Число отрицательных и число положительных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависят от базиса, в котором она приведена к каноническому виду.
Обозначим через 
линейную оболочку векторов 
, а через 
— линейную оболочку остальных базисных векторов. Для любого 
имеем 
, и
k(x)= 
, если только 
. Значит, k отрицательно определена на и 
.
На форма k положительно полуопределенная, потому что 
для любого 
и 
(Форма может равняться нулю только на ненулевом веткторе, если 
)
Следствие. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в любом диагональном виде квадратичной формы не зависят от базиса.
Знакоопределенные квадратичные формы.
Определение. Квадратичную форму k будем называть положительно определенной на пространстве 
пространства 
, если 
для любого ненулевого вектора x из . Форма k отрицательно определена на , если 
для любого 
из .
Если говорят, что квадратичная форма положительно или отрицательно определена, без уточнения подпространства, то она обладает таким свойством на всем .
Квадратичные формы, для которых 
или 
при любом x , называются соответственно положительно или отрицательно полуопределенными.
Удобно считать, что на нулевом подпространстве каждая квадратичная форма положительно определена, и отрицательно определена одновременно. В силу этого соглашения всегда существует (хотя бы нулевое) подпространство, на котором квадратичная форма отрицательно определена.
Теорема. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы миноры ее матрицы удовлетворяли неравенствам
>0 ( k =1. n ) (13)
Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы.
Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы.
1. Необходимость. Если квадратичная форма k положительно определена, то диагональные элементы ее матрицы в любом базисе удовлетворяют условию
и, следовательно, при приведении матрицы к диагональному виду особый случай не встретится. В основном случае к любой строке может быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу – только расположенный левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы не меняются. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Потому они положительны и у исходной матрицы.
2. Достаточность. Пусть все главные миноры матрицы B положительны. В частности,
, и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду
с 
. Допустим, что после k шагов мы получили матрицу 
с положительными 
причем не возникало особого случая. Тогда для левого верхнего элемента матрицы 
имеем
Содержание:
Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнением второго порядка, содержащими две или три переменные, Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому п, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами.
Понятие квадратичной формы
Квадратичной формой 
Пример:
Сумма 
является квадратичной формой от трех неизвестных 
.
Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приводятся подобные в квадратичной форме, затем коэффициенты при 
обозначаются через 
а коэффициенты при 
через 
причем 
„ Член 
записывается в виде 
После этих преобразований квадратичную форму можно записать в виде: 
С учетом правила умножения матриц можно вывести матричную форму записи квадратичной формы.
результатом скалярного произведения матриц X и АХ. Матричная форма записи квадратичной формы имеет вид 
. Если 
— произвольный n— мерный вектор, то после подстановки в квадратичную форму 
вместо X получится число 
, которое называется значением квадратичной формы F(X) на векторе 
.
Канонический базис квадратичной формы
Принято считать, что квадратичная форма F(X) имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. 
при 
. При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами 
,т.е.:
В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:
Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.
Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.
Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.
где 
-собственные значения матрицы А.
Применим к квадратичной форме линейное преобразование 
— матрица-столбец новых переменных 
— матрица, обратная к S.
Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.
Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.
Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу r квадратичной формы.
Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.
Теорема, Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.
Базис 
пространства R» называется каноническим базисом квадратичной формы 
, если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е. 
при 
Если канонический базис F(X), то выражение: 
называется каноническим видом F(X) в базисе где — новый набор неизвестных.
Теорема. Если 
— разложение вектора а по каноническому базису квадратичной формы то значение F(X) на векторе а вычисляется по формуле 
Доказательство:
Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис квадратичной формы F(X) и ее канонический вид 
в этом базисе, то для вычисления значения F(a) квадратичной формы F(X) на векторе а достаточно:
Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.
Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы А и канонический базис Якоби.
Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
Теорема. Ортонормированный базис пространства Rсостоящий из собственных векторов симметрической матрицы 
, является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение 
— ее каноническим видом в базисе ,
Доказательство:
Канонический базис Якоби квадратичной формы 
. Будем говорить, что матрица 
удовлетворяет условию Якоби, если определители:
называемые угловыми минорами матрицы А, не равны нулю. Очевидно, что 
Обозначим через 
матрицу:
Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д. 
Из условия 
следует, что 
и, значит, каждая система уравнений 
, где 
вектор диагональной системы, имеет единственное решение 
. Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы А, которая удовлетворяет условию Якоби.
Теорема. матрица А квадратичной формы 
удовлетворяет условию Якоби, система векторов Якоби матрицы А является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:
ее каноническим видом в базисе .
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Закон инерции и знакоопределенность квадратичных форм
Закон инерции вещественных квадратичных форм
Рассмотрим вещественные (действительные) квадратичные формы, коэффициенты которых являются действительными числами, а переменные принимают действительные значения. Любую вещественную форму можно привести к каноническому виду
при помощи линейной невырожденной замены переменных с действительной матрицей (см. теорему 6.1 и п.2 замечаний 6.4). Коэффициенты квадратичной формы являются действительными числами.
то получим нормальный вид квадратичной формы
в котором коэффициенты равны либо единице, либо минус единице (переменные входят с нулевыми коэффициентами).
Теорема 6.3 о законе инерции квадратичных форм. Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительной невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.
Из теоремы 6.3 следует, что два канонических вида одной и той же квадратичной формы имеют:
а) одинаковое количество ненулевых слагаемых (которое определяется рангом квадратичной формы);
б) одинаковое количество слагаемых одного знака.
В самом деле, пусть квадратичная форма ранга приведена к нормальному виду (6.19)
Знакоопределенность вещественных квадратичных форм
Пример 6.11. Исследовать знакоопределенность квадратичных форм
Решение. 1) Выделим полный квадрат по переменной
Следовательно, данная форма положительно определенная.
3) Квадратичная форма неопределенная, так как она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, 0,
2. Дискриминант положительно определенной квадратичной формы больше нуля, т.е. 0″ png;base64,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» />.
4. Для отрицательно (неположительно) определенных квадратичных форм справедливы утверждения аналогичные пунктам 1-3, так как знаки форм и противоположные.
Критерий Сильвестра
Теорема 6.4 (критерий Сильвестра). Для того чтобы вещественная квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны:
В самом деле, рассмотрим первое утверждение теоремы (о положительной определенности). Достаточность условий (6.20) следует из теоремы 6.3 (теоремы Якоби), так как при выполнении этих неравенств квадратичная форма приводится к каноническому виду
Критерий полуопределенности квадратичной формы
Теорема 6.5 (критерий полуопределенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были неотрицательны.
Для неположительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы удовлетворяли условиям:
Условия (6.22) означают, что главные миноры четного порядка должны быть неотрицательны, а нечетного порядка — неположительны. Для доказательства теоремы используется критерий Сильвестра.
Пример 6.12. Выяснить знакоопределенность квадратичных форм с матрицами
главные миноры первого порядка: ;
главные миноры второго порядка: ;