для оценки формы распределения служат следующие характеристики

Характеристики формы распределения.

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). В практике статистических исследований приходится встречаться с самими различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются как правило, одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателей асимметрии и эксцесса. В симметричном распределении , а чем заметнее асимметрия, тем больше отклонение между характеристиками центра распределения .

Стандартное отклонение называется коэффициентом асимметрии:

. (6.13)

В случае правосторонней асимметрии As > 0, левосторонней – As 0,5 – высокая.

Рис. 6.1. Симметрия распределения

Оценивание коэффициента асимметрии также может производиться на базе центрального момента распределения и вычисляется по формуле:

(6.14)

где μ3 – центральный момент третьего порядка: .

Алгебраически центральный момент распределения – это средняя арифметическая k-й степени отклонения индивидуальных значений признака от средней:

(6.15)

Очевидно, что момент второго порядка – это дисперсия, которая характеризует вариацию, моменты 3-го и 4-го порядков характеризуют соответственно ассиметрию и эксцесс.

Эксцесс распределения – степень сосредоточенности элементов совокупности около центра распределения. Показатель эксцесса (островершинности) рассчитывается по формуле:

, (6.16)

где μ4 – центральный момент четвертого порядка .

Рис. 6.2. Эксцесс распределения

Эксцесс может быть положительным и отрицательным. У островершинных распределений показатель эксцесса имеет положительный знак, а у плосковершинных – отрицательный знак. Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Ех = – 2; величина положительного эксцесса является величиной бесконечной. В нормальном распределении и поэтому .

Источник

Характеристика формы распределения единиц совокупности

Показатели особенностей формы распределения.Для определения типа закономерности эмпирического распределения оно приближенно описывается подходящим теоретическим (вероятностным) распределением, форму кривой которого называют формой распределения

В тех случаях, когда форма распределения анализируется на ее близость к нормальной форме, расхождение между ними оценивается показателями асимметрии и эксцесса.

Показатели асимметрии оценивают смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

В симметричном распределении максимальная ордината прямой располагается точно в середине кривой (рис. 4), а соответствующие ей характеристики центра распределения совпадают:

=Mo=Me

В случае асимметричного распределения вершина кривой находится не в середине, а сдвинута либо влево, либо вправо (рис. 6.1).

а) правосторонняя асимметрия б) левосторонняя асимметрия

Рис 6.1. Кривые асимметричных распределений

(пунктиром обозначена нормальная кривая).

Если вершина сдвинута влево, то правая часть кривой оказывается длиннее левой (рис. 4а), т.е. имеет место правосторонняя асимметрия, характеризующаяся неравенством

>Me>Mo,

что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака.

Если же вершина кривой сдвинута вправо и левая часть оказывается длиннее правой, то асимметрия левосторонняя (рис. 4б), для которой справедливо неравенство

0, при левосторонней As_п 0 имеет место правосторонняя асимметрия при As

Поскольку коэффициенты As_п и As являются относительными безразмерными величинами, они часто применяются для сравнительного анализа асимметричности различных рядов распределения.

а) островершинное б) плосковершинное

Рис.6.2. Кривые распределения с ненулевым эксцессом

(пунктиром обозначена нормальная кривая).

Для оценки расхождений в степени крутизны кривых (при одинаковой силе вариации) применяется коэффициент эксцесса Ek:

.

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений. Это объясняется тем, что за базу сравнения принята кривая нормального распределения, являющаяся симметричной. Относительно вершины нормальной кривой и определяется выпад вверх или вниз вершины теоретической кривой эмпирического распределения. При этом:

· если Ek>0, то вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная (рис. 5а). Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественномпоявлении в данных значений близких к средним;

4.Характеристика формы распределения

Многие методы используемые в социально-экономической статистике могут применяться лишь тогда, когда единицы совокупности подчиняются нормальному закону распределения, т.е. когда зависимость частот встречаемости вариантов описывается в виде графика, который называется кривой нормального распределения.

x

Математическая функция, которая описывает эту кривую, называется законом распределения.

Существуют распределения, отличные от нормального в математической статистике, их называют теоретическими распределениями и для каждой из них определена соответствующая математическая функция.

х

Х (инвестиции)

Например.

Инвестиции описываются по этому закону (мелкие кредиты выдаются часто, а чем больше кредит, тем реже его дают).

Статистическому анализу исходных данных всегда предшествует этап, задачей которого является определение, принадлежат ли исходные данные семейству нормальных кривых.

В чистом виде нормальное распределение почти не встречается, однако существуют близкие к нему распределения. в частности, распределения с незначительной асимметрией (левой или правой), незначительной островершинностью или пологостью.

Для того, чтобы определить величину асимметрии, используют коэффициент асимметрии As. Если As >0, то асимметрия правосторонняя, если As

Пологость или островершинность распределения единиц совокупности определяется путём вычисления показателей эксцесса.

.

если Ек > 0 –распределение островершинное, если Ек

Источник

Характеристики формы распределения

Используются для отражения близости формы распределения к нормальному виду.

§ Эксцесс (kurtosis) – мера «сглаженности» («остро» и «плосковершинности») распределения. Если значение эксцесса близко к 0, это означает, что форма распределения близка к нормальному виду. Положительный эксцесс указывает на «плосковершинное» распределение, у которого максимум вероятности выражен не столь ярко, как у нормального. Значения эксцесса, превышающие 5,0, говорят о том, что по краям распределения находится больше значений, чем вокруг среднего. Отрицательный эксцесс характеризует «островершинное» распределение, график которого более вытянут по вертикальной оси, чем график нормального распределения. Считается, что распределение с эксцессом от – 1 до +1 примерно соответствует нормальному виду.

§ Асимметрия (skewness) показывает, в какую сторону относительно среднего сдвинуто большинство значений распределения. Нулевое значение асимметрии означает симметричность распределения относительно среднего значения, положительная асимметрия указывает на сдвиг распределения в сторону меньших значений, а отрицательная – в сторону больших значений. В большинстве случаев за нормальное распределение принимается распределение с асимметрией в пределах – 1 до +1.

Стандартная ошибка (standard error) – характеристика точности, или стабильности, величины, для которой она вычисляется. Чем меньше значение стандартной ошибки, тем выше стабильность величины, для которой она вычисляется.

Для вычисления описательных статистик в меню Analyze нужно выбрать команду Descriptive Statistics – Descriptives. В диалоговом окне необходимо задать переменные, для которых будут вычислены описательные статистики, перенести их в целевой список. По умолчанию в программе можно получить данные, включающие среднее значение (mean), стандартное отклонение (standard deviation), максимум (maximum), минимум (minimum). Для этого в окне Descriptives при заданном целевом списке нужно щелкнуть на кнопке ОК.

Чтобы вычислить дополнительные характеристики – размах (range), сумму (sum), дисперсию (variance), эксцесс (kurtosis), асимметрию (skewness) нужно перед щелчком на кнопке ОК щелкнуть на кнопке Options (Параметры). Откроется диалоговое окно Descriptives: Options, в котором с помощью флажков можно задать дополнительные характеристики, за исключением двоих: медианы (median) и моды (mode).

В зависимости от того, какие уровни измерения используются для статистического анализа, применяются разные методы вычисления описательных статистик для переменных.

Выделяется три основных уровня измерения переменных: номинальный, порядковый, интервальный.

Наиболее полную информацию дают интервальные измерения. Они позволяют численно выражать и сравнивать различия между объектами измерения. Например, переменная «возраст» может быть измерена с помощью интервальной шкалы, иногда бывает достаточно трех значений: молодежь в возрасте 18 до 35 лет, средний возраст – 36-55 лет, старший возраст – более 55 лет. Или может быть измерена в натуральных числах – годах с момента рождения человека. Объяснение свойства интервальных измерений численно выражать различия между объектами заложено в их названии: измерение осуществляется с помощью неизменного интервала, который выступает эталоном меры. Такими эталонами являются, например, градус, метр, килограмм, минута, процент или рубль. На интервальном уровне измерения осуществимы все операции с натуральными числами. Это имеет большое практическое значение, так как позволяет применять к интервальным переменным статистические методы любой сложности. Методику перевода переменной с натуральными числами в новую с интервальной шкалой мы приводили в разделе «Перекодировка в новую переменную».

На порядковом уровне измерения присутствует упорядочивание категорий с точки зрения возрастания/убывания интенсивности признака. С помощью порядковых (ранговых) шкал измеряют интенсивность оценок каких-то свойств, суждений, событий, степени согласия или несогласия с предложенными утверждениями.

Построение порядковой шкалы можно проиллюстрировать на примере переменной «политическое участие гражданина»[6], использованием измерения, позволяющего ранжировать граждан по классам, различающимся количеством данного свойства, а именно:

1) отсутствие политического участия;

2) эпизодическое или регулярное участие в выборах в качестве избирателя;

3) регулярное участие в выборах, членство в политической партии;

4) регулярное участие в различных политических компаниях, акциях и т.д.

5) участие в выборах в качестве кандидата;

6) повседневное участие в принятии политических решений.

В приведенном примере интенсивность политического участия возрастает от первого класса к шестому. Можно утверждать, что в классе 2 (участие в выборах в качестве избирателя) признак «политическое участие» выражен больше, чем в классе 1 (отсутствие участия), но меньше, чем в классе 5 (участие в выборах в качестве кандидата). Относя изучаемых нами граждан к определенным классам политического участия, мы тем самым ранжируем их по данному признаку. Но такое ранжирование по классам не дает точных показателей, как фиксированный интервал, «эталон меры» политического участия. Поэтому по сравнению с интервальными шкалами возможности математических операций со значениями порядковых переменных ограничены.

Порядковые измерения имеют широкое применение в социологических исследованиях. Например, такие распространенные характеристики, как социальный статус или уровень образования измеряются по порядковой шкале. Порядковыми по своей природе являются такие переменные, как «политическая активность», «интерес к политике», «степень доверия к правительству», «отношение к той или иной политической партии».

Наименее полную информацию дают номинальные измерения (шкала наименований). Номинальная шкала устанавливает отношения равенства между явлениями, которые включены в один класс. Каждый элемент шкалы существует как бы сам по себе, и в целом шкала не упорядочена. Единственное условие состоит в том, что все элементы должны иметь единое основание для выделения. Номинальные переменные отражают сугубо качественные признаки, такие как «политическая ориентация», «членство в партии», «тип политического режима». При помощи номинальных переменных также измеряются преимущественно объективные признаки респондентов (пол, возраст, партийность, семейное положение, род занятий и др.). Соответственно, числовые значения на номинальном уровне не отражают каких-либо свойств объектов, а служат своего рода «ярлыками», «опознавательными кодами» классов.

Для номинальный и порядковых переменных с небольшим количеством категорий существует общее название: категориальные, или неметрические. Соответственно, интервальные и порядковые переменные с большим количеством категорий называют метрическими.

Для номинальных переменных наиболее важными вычислениями являются частотные распределения, процентные соотношения, мода и стандартное отклонение.

Вычисление моды и медианы возможно через команду Frequencies (Частоты). В диалоговом окне щелкнуть на кнопке Statistics (статистические показатели), с помощью флажков задать моду (mode) и медиану (median), а также здесь можно задать все остальные описательные характеристики.

В примере с вопросом «За какую партию вы проголосовали бы, если бы выборы состоялись в ближайшее воскресенье?» это будет выглядеть следующим образом. Самое часто встречающееся значение – мода – 5, медиана – 6,01.

Мода – 5, соответствует варианту «Единая Россия», следовательно, в опрошенной группе наиболее распространены приверженцы партии «Единая Россия». Необходимо выяснить, насколько эта средняя (мода) в действительности отражает характер распределения, то есть насколько предпочтения партии «Единая Россия» типичны (репрезентативны) для группы в целом. Стандартное отклонение (Std. Deviation) показывает насколько существенен разброс значений вокруг средней. Стандартное отклонение – 1,924.

Для порядковых переменных основной средней величиной для порядковых переменных является медиана (median). Медиана представляет собой середину ранжирования числового ряда. В случае, когда число элементов является четным и возникают как бы две середины числового ряда, медиана – их среднее арифметическое.

Квартильное отклонение – это разница между третьим и первым квартилями.

Вычисление квартилей, как и моды (и)или медианы возможно через команду Frequencies (Частоты). В диалоговом окне щелкнуть на кнопке Statistics (статистические показатели), в окне Percentile Values с помощью флажка задать квартили (Quaritles). При этом можно снять флажок Display Frequencies tables и не показывать на экране таблицы с частотными распределениями.

Например, для порядковой переменной «удовлетворенность своим образованием» медианой является 2 значение, однако по процентному соотношению нельзя сказать, насколько точно модель средней тенденции (медиана) отражает поведение переменной. Из таблицы видно, что достаточно большое количество респондентов имеют значение переменной – 3.

Квантильное разбиение для переменной «удовлетворенность уровнем образования» будет выглядеть следующим образом:

Первый квартиль – это градация «2» переменной, поскольку градации «1» и «2» отметили 25% опрошенных. Второй квартиль (медиана) – так же равен «2». Третий квартиль – градация «3». Квартильное отклонение незначительно, составляет равно 1. Следовательно, центральная тенденция – значение переменной «в основном удовлетворен образованием».

Полезным и нередко используемым показателем при анализе количественных переменных является децильное отношение.

В этом случае в окне Frequencies Statistics в Percentile Values с помощью флажка нужно отметить Cut points for equal group. При этом по умолчанию (в окошке появится цифра 10) все респонденты делятся не на 4 части (квартили), а на 10 равных частей.

Например, с помощью децильного разбиения можно изучить насколько высока неоднородность доходов, получаемых респондентами в месяц.

Децильное разбиение для переменной «доход» выглядит следующим образом:

Данные таблицы говорят о том, что доход до 5000 рублей в месяц получают 10% респондентов (граница первого дециля), а также о том, что для 10% опрошенных доход в месяц составляет 25000 руб. и выше (граница десятого дециля). Децильное отношение – это отношение деятого дециля к первому. Этот показатель демонстрирует, во сколько раз больше получают 10% наиболее высокооплачиваемых респондентов по сравнению с 10% наименее оплачиваемых. В нашем примере децильное отношение составляет 5,00, что показывает степень неоднородности доходов респондентов.

Наиболее распространенной средней величиной для интервальных вычислений является среднее арифметическое (mean). Характерной особенностью среднего арифметического является высокая чувствительность к кренам в распределении, связанным с наличием в совокупности одного или нескольких предельных значений.

Традиционной мерой разброса значений вокруг средней на интервальном уровне выступает стандартное отклонение.

Среднее арифметическое для переменной «доход в месяц» составляет 13,737 (средний доход в месяц составляет 13 тыс. руб.), стандартное отклонение – 12,2770 достаточно большое значение, показывающее на разброс значений, минимальное значение – 1000 руб. в месяц, максимальное – 150 тыс. в месяц, размах составляет 149 тыс. руб.

Задание:1. Определить какие шкалы необходимы для измерения переменных «Какие городские проблемы вызывают у Вас сейчас наибольшую тревогу?», «Как Вы оцениваете эффективность работы городской администрации в решении существующих в городе проблем?», «Как часто вы смотрите передачи на политические темы по телевидению?». Сформулировать значения переменных (варианты ответов).

2. (по массиву данных файла opros.sav). На основании вычисления описательных статистик (моды, стандартного отклонения, ассиметрии и эксцесса), а так же частоты и процентных соотношений определить характер распределения респондентов по категориям отношения к политической деятельности – переменная «интерес к политической жизни» (var11). Выяснить какая категория (значение переменной) типична для выборочной группы. Построить столбиковую диаграмму.

3. Создать описательные статистики, выбранных двух-трех переменных собственного исследования.

Источник

Изучение формы распределения

Из математической статистики известно, что если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал группировки, изобразить эти данные графически, по полигон (гистограмма) распределения все более приближается к некоторой плавной линии, являющейся для него пределом и носящей название кривой распределения.

Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант.
Получение кривой распределения на основе полигона или гистограммы можно представить лишь для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупности и бесконечно малой ширине интервала ряда. Только при этих идеализированных условиях кривая распределения представляет теоретическое распределение.

Теоретической кривой распределения называется кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для него закономерностей факторов. Но получение кривой распределения из эмпирических данных (полигон, гистограмма) возможно лишь для описанного идеального случая. Поэтому при проведении анализа вариационных рядов целесообразно свести эмпирическое распределение к одному из хорошо исследованных видов теоретического распределения.

Различают следующие разновидности кривых распределения:
1) одновершинные кривые: симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;
2) многовершинные кривые.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности и вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распределений средняя, мода и медиана так же равны.
При изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии (A_s) , где Mo, Me – модальное (медианное) значение переменной x.
Его величина может быть положительной и отрицательной. В первом случае речь идет о правосторонней асимметрии (рис. 1), а во втором – о левосторонней (рис. 2).

Рис. 1. Правосторонняя асимметрия

Рис. 2. Левосторонняя асимметрия

Центральными называются моменты распределения, при вычислении которых за исходную величину принимаются отклонения вариантов от средней арифметической данного ряда.
Наиболее широко в качестве показателя асимметрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, т.е.:
.

Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной, если она меньше 0,25, то – незначительной.
Оценка существенности A_s производится коэффициента асимметрии σ_As, которая зависит от числа наблюдений n и рассчитывается по формуле:
.
В случае |A_s| / σ_As > 3 асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна, и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.
Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (E_k). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвертого порядка:
.

Среднеквадратическая ошибка эксцесса (σ_Ek) рассчитывается по формуле:
, где п – число наблюдений
Для определения асимметрии и эксцесса можно пользоваться упрощенными формулами, предложенными Линдбергом:
A_s = p – 50, где p – удельный вес (в процентах) количества тех вариант, которые превосходят среднюю арифметическую, в общем количестве вариант данного ряда;
E_k = p – 38,29, где p – доля (в процентах) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения.
Хотя показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, но их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально-экономических явлений. Так появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности. Кроме того, эти показатели позволяют сделать вывод о возможности применения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.

Источник