двойное отношение четырех точек
Про двойное отношение. Часть I
Сегодня немного поговорим про двойное отношение четырех точек, зачем оно нужно, с чем его едят, и как пара простых фактов о нем помогает решать геометрические задачи, даже если вы совсем ничего не знаете о проективной геометрии.
Наводящие соображения
При решении задач с помощью счета отрезков крайне полезным инструментом служит возможность перебрасывать отношения длин отрезков с одной прямой на другую. Это очень просто делается при наличии параллельных прямых в двух ситуация. В одной из них используется теорема Фалеса и по сути переносит отношения с одной прямой на другую при помощи параллельного проектирования. Во второй, на основании свойств подобных треугольников, отношения переносятся с одной прямой на другую, параллельную ей, с помощью центрального проектирования.
Определения параллельного и центрального проектирования с одной прямой на другую понятны из картинки выше.
А что же происходит при центральном проектировании с одной прямой на другую, не параллельную первой. Отношение, конечно, не сохраняется. Но тогда возникает вопрос, как оно изменяется?
Двойное отношение появляется
Давайте попробуем проследить как меняется отношение отрезков при центральной проекции. Возьмем для простоты три точки A, B и C, лежащие на одной прямой и спроецируем их из точки O в точки A’, B’ и C’ на другую прямую. Отношение AB/BC при этом заменилось отношением A’B’/B’C’, но во сколько же раз оно поменялось?
Для вычисления применим теорему синусов. Углы A и C треугольника AOC обозначим через α и γ, а углы A’ и C’ треугольника A’OC’ обозначим через α’ и γ’, и будем считать, что луч OB, совпадающий с лучом OB’, делит угол O обоих треугольников на части β₁ и β₂. Тогда по теореме синусов выполняются равенства
Следовательно, отношение AB/BC при указанной проекции умножается на величину
которая не зависит от луча OB! Простой анализ различных случаев показывает, что рассуждение с небольшими модификациями работает и случае, когда точка B не лежит на отрезке AC.
Но что же тогда остается неизменным? Давайте рассмотрим две точки B и D на прямой AC и спроецируем их в точки B’ и D’ на прямую A’C’.
Тогда отношение AB/BC и отношение AD/DC изменяются в одно и тоже количество раз, а значит отношение
Определение. Двойным отношением (cross-ratio) двух пар точек A, C и B, D, лежащих на одной прямой называется величина
Пользуясь теми же теоремами синусов, двойное отношение можно выразить через синусы углов между лучами OA, OB, OC и OD
И крайне важное утверждение, которое мы теперь имеем.
Теорема. Двойное отношение сохраняется при центральных проекциях.
Само определение и рассуждение выше, а также формула через синусы углов, позволяют осознать, что речь можно вести не про двойное отношение точек, лежащих на одной прямой, а про двойное отношение двух пар прямых, проходящих через одну точку.
Определение. Двойным отношением двух пар прямых OA, OC и OB, OD называется двойное отношение соответствующих точек, которое как показано не зависит от секущей, проведенной к четырем прямым.
Направленные отрезки или двойное отношение приобретает знак
Отметим одну очень важную вещь, о которой, конечно, некоторые из вас знают. Если у вас есть прямая AC и точка B на ней, то по точке B мы, конечно, можем вычислить отношение AB/BC, а от по отношению восстановить точку обратно можем не совсем. Дело в том, что за исключением одного случая AB/BC=1, равенство AB/BC=k задает на прямой AC две точки (концевые точки диаметра соответствующей окружности Аполлония).
И вот это оказывается крайне неудобно. Именно из-за этого возникают какие-то странности в формулировках обратной теоремы Чевы и обратной теоремы Менелая.
Но есть одно прекрасное средство это побороть — надо рассматривать не отрезки, а направленные отрезки. Конечно, в общей ситуации делить векторы друг на друга нельзя, но если у нас есть два направленных отрезка на одной прямой, то мы можем сказать, что их отношением служит отношение длин со знаком плюс, если отрезки сонаправлены и со знаком минус если противоположно направлены. То есть это будет как раз та величина, на которую надо умножить один отрезок, чтобы получить второй.
Переход от обычных отношений длин к отношениям направленных отрезков приводит к тому, что две точки с заданным отношением расстояний до точек A и C на прямой AC различаются именно знаком в отношениях соответствующих направленных отрезков. При этом давайте для единообразия считать, что мы всегда началами направленных отрезков берем точки A и C. Тогда отношение отрицательно для точек внутри отрезка AC и положительно вне отрезка AC.
При этом существует и единственная точка на прямой AC, с заданным отношением направленных отрезков из точек A и С.
Легко проверить, что двойное отношение направленных отрезков
не меняется при центральных проекциях так же, как и двойное отношение обычных отрезков, но теперь оно, конечно, бывает не только положительным. Поэтому далее мы будем пользоваться только им и для его обозначения использовать квадратные скобки.
Кстати, если ввести координаты на прямой, то отношение направленных отрезков будет записываться формулой
а двойное отношение приобретет вид
где a, b, c и d — координаты соответствующих точек.
Для прямых двойное отношение приобретет знак, если мы обычные углы между прямыми заменяем на направленные в соответствующей формуле с синусами.
Важная особенность центральной проекции и появление бесконечно удаленных точек
Наблюдательный читатель заметил, что мы ловко оперируем центральными проекциями и даже делаем заключение о том, что двойное отношение сохраняется при центральных проекциях, но при этом игнорируем тот факт, что не у всех точек прямой AC при проекции на прямую A’C’ есть образ. Например, у точки B нет образа, если прямая OB параллельна прямой A’C’. В этом случае говорят, что точка B переходит в бесконечно удаленную точку на прямой A’C’ и обозначают ее символом ∞(A’C’). Аналогично на прямой A’C’ есть точка, которая не получается проекцией никакой обычной точки прямой AC, а именно точка D’ такая, что прямая OD’ параллельна прямой AC, не получается ни из какой точки прямой AC. Удобно считать, что она наоборот получается из бесконечно удаленной точки ∞(AC) на прямой AC. (В формулах у бесконечно удаленной точки обычно аргумент не пишут, поскольку чаще всего принадлежность ее той или иной прямой ясна из контекста.)
Это ставит немного под сомнения всю законность наших определений двойных отношений и отношений направленных отрезков. Однако, легко соответствующие понятия распространить на случай бесконечно удаленной точки. Для этого можно поступить двумя способами. Первый способ состоит в том, чтобы аккуратно проследить за отношением
когда точка B уезжает на бесконечность по прямой AC. Легко понять, что оно становится близким к единице, а значит естественно считать его равным 1. Второй способ интерпретации состоит в том, чтобы смотреть не на отрезки, а на углы между прямыми — с ними-то ничего плохого не происходит. Это подход дает тот же результат. Это позволяет записывать двойные отношения, когда одна из точек стала бесконечно удаленной, например,
при этом у бесконечно удаленной точки не ставят аргумент, поскольку ее принадлежность прямой AC понятна из контекста.
Переписывания двойных отношений
Давайте теперь перечислим несколько простых свойств двойных отношений, которые сразу следуют либо из представления с направленными отрезками, либо из координатной формы.
Свойство 1. Двойное отношение [A, C; B, D] отрицательно тогда и только тогда, когда ровно одна из точек B и D лежит на отрезке AC.
Свойство 2. При перемене местами двух точек в одной из пар двойное отношение заменяется на обратное: [A, C; B, D]= 1/ [A, C; D, B].
Свойство 3. Перемена местами пар точек не меняет двойное отношение, а именно, [A, C; B, D]=[B, D; A, C].
Свойство 4. Двойное отношение по положениям трех точек однозначно задает положение четвертой, то есть равенство [A, C; B, D]=[A, C; B, E] выполнено тогда и только тогда, когда D=E.
Первое применение — Теорема Паппа
Одно из самых стандартных применений двойных отношений это творческое использование Свойства 4. Вы хотите доказать, что какие-то две точки совпадают. Делаете цепочку центральных проекций с прямых на прямые так чтобы стартовая прямая совпадала с конечной и проходила через те самые две совпадающие точки. и следите за тем, чтобы три точки на этой прямой оказались неподвижными. Звучит невозможно и трудно? Давайте докажем таким способом теорему Паппа.
Теорема Паппа. На двух прямых располагаются по три точки A, B, C и A’, B’ C’. Тогда точки пересечения пар прямых AB’ и A’B, BC’ и B’C, CA’ и C’A лежат на одной прямой.
Для доказательства обозначим точки пересечения через D, E и F. Через E’ точку пересечения DF и A’C.
Мы хотим установить, что точки E и E’ совпадают. Далее для простоты проведем рассуждение в предположении, что прямые AC и A’C’ пересекаются в точке X, прямые A’B и B’C в точке Y, а прямые AB’ и A’C в точке Z. В случае отсутствия этих точек пересечения дальнейшие рассуждения модифицируются привлечением бесконечно удаленных точек на соответствующих прямых.
Итак, приступим. Мы сделаем три центральных проекции, стартовав с проекции с прямой CA’ на прямую A’C’ из точки A.
Эта проекция отправляет четверку точек (C, E, Z, A’) в четверку точек (X, C’, B’, A’) (очень важно следить за порядком), сохраняя все возможные двойные отношения в этой четверке.
Далее проведем проецирование с прямой A’C’ на прямую CB’ из точки B,
при этом четверка (X, C’, B’, A’) трансформируется в (C, F, B’, Y). И, наконец, сделаем проекцию с прямой CB’ на исходную прямую CA’ из точки D,
при этом четверка точек (C, F, B’, Y) трансформируется в (C, E’, Z, A’). Таким образом, проведя три центральных проекции мы четверку (C, E, Z, A’) перегнали в четверку (C, E’, Z, A’), сохраняя двойные отношения, в частности,
и точки E и E’ обязаны совпадать. Теорема Паппа доказана.
Двойное отношение четырех точек
Параграф 4. Метод разбиения прямых на прямые с точками постоянной фиксации и непостоянной фиксации.
Предлагаю такой метод: сначала движение 4-d паралллепипедов моделируется встречным движением параллельных прямых; параллельный перенос применяется до тех пор, пока две любые точки неизменившихся по структуре прямых не совпадут. Затем на одной из них эти точки фиксируются окончательно (назовём их точками постоянной фиксации, а первую прямую—прямой с точками постоянной фиксации), а на второй одна из точек заменяется другой, такой, что отрезок её равен отрезку первой, выходящей из общей точки двух прямых, образовавшейся после параллельных переносов и поворотов, а ещё одна точка на второй прямой также заменяется на такую точку, чтобы соответствие S между второй прямой и вторым четырёхмерным параллелпипедом сохранялось (эту прямую назовём прямой с точками непостоянной фиксации). Эти замены производятся мгновенно, вернее, чисто логически, и потому не моделируют движение.
Время, за которое совершается параллельный перенос, означает время, за которое у вершин моделируемых четырёхмерных параллелепипедов появилась общая координата. Пока что строго можно утверждать только так: хотя бы одна. Как решить вопрос, сколько их на самом деле—об этом в параграфе 5, если это удастся обосновать.
Заметим в заключение параграфа, что для проведения моделирования всего движения 4-d параллелепипедов хватит одного параллельного переноса, а вот нахождения угла, под которым он будет совершаться—ещё вопрос. В принципе, наверное, можно сопоставить два множества точек, заданных на двух прямых соответствием S так, что отрезок, соединяющий две точки, перпендикулярен обоим прямым. Но это опять же будет моделью, поэтому движение 4-d параллелепипедов здесь первично.
Параграф 5. Сколько точек на двух прямых с структурой, заданной соответствием S, могут совпасть?
Заметим, что в отдельных случаях удаётся обосновать одновременное совпадение некоторого множества координат 4-d параллелепипедов. Заметим, что или все координаты совпадут, и тогда все точки на двух прямых совпадут (две прямые можно далее обобщать на случай многих прямых), или хотя бы достаточно большое количество координат будут различны. Причём очевидно, что в последнем случае, если параллелепипеды равны, они не могут иметь более 16 общих вершин. Это значит, что по крайней мере 64 элемента в определителях будут различны, т.е. по крайней мере в 16 из слагаемых определителя, соответствующего одному параллепипеду будут иметь хотя бы три элемента, отличные от элементов 16 из слагаемых, соответствующих другому определителю. Я ещё перепроверю эти результаты, но общая идея останется та же.
В случае неравных параллелпипедов результат такой же, но совпадение их уже невозможно.
Параграф 6. Совмещение некоторых точек модели и точек 4-d параллепипедов.
Здесь предлагаю провести через две вершины двух неподвижных 4-d параллепипедов две параллельные прямые. И сделать всё то, что было описано выше. Это будет сделано с целью того, чтобы наглядно показать, что движение 4-d параллепипедов действительно правомерно моделировать двумерным случаем. Ясно, что сомещение вершин параллелепипеда означает совмещение двух четвёрок точек на двух прямых-моделях. Правомерность такого хода обосновывается тем, что двумерное пространство можно представить как подмножество четырёхмерного.
Вспомним параграф 2. Совмещение вершин гиперкубов одинакового объёма означает одинаковую вероятность совмещения двух пар событий. Теперь вспомним результат параграфа 5. Получаем несколько неожиданно, что или все события, моделируемые первой прямой и события, моделируемые второй прямой, имеют одинаковую вероятность, или по крайней мере 16 событий из 48 (24*2) в каждом из множества событий имеют разную вероятность.
Параграф 7. Пространство-время с нетрадиционным направлением стрелы времени.
Автор предлагает представить четырёхмерное пространство-время, но другого, чем обычно, вида. Стрелу времени на этот раз направим в направлении от настоящего к будущему, то есть в положительном направлении. Только в этом случае можно отнести его к обычному четырёхмерному пространству и, соответственно, только в этом случае к нему применима теория, изложенная выше. Параграф 2, исследующий события и их вероятность, наводит на мысль, что всё это можно теперь как-то связать. Об этом—дальше.
Параграф 8. Протранство-время с положительным направлением стрелы времени как пространство вероятных событий.
Когда измеряют вероятность события, часто рассматривают случай, когда это событие совершитс в будущем. Всякое событие можно рассмотреть как точку в четырёхмерном пространстве-времени. Причём среди этих событий есть сложные, состоящие из двух независимых событий, происходящих одновременно. Если рассмотреть множества из 24 событий, или точек, можно сопоставить их 24 числам, равным их вероятностям, и 24 отношениям отрезков прямой, концы которых принадлежат множеству из 25 точек. Таким образом, каждому событию соответствует двойное отношение. Каждое из рассматриваемых событий несовместно с другим таким сложным событием.
Примеры 24 таких сложных событий—событие: «в этот год композитор-классик напишет произведение и в том и в другом жанре в данной тональности». Или: в данный час суток кошка проснётся и голубь начнёт взлетать к окну».
Параграф 10. Изоморфность движения окружности и четырёхмерного параллелепипеда.
Идея заключается в том, чтобы «обрезать» прямые нескольких пучков, так, чтобы они превратились в равные отрезки. Предположим, что у нас есть два пучка с 25 прямыми. Тогда тот факт, что они равны запишется на языке предложенной модели следующим образом: если существует параллельный перенос и поворот, совмещающий пучки, моделируемые параллелепипеды равны. И обратно. Далее, если мы можем составить из 4-d параллелепипедов новый параллелепипед, можно попробовать поставить вопрос: а что будет, если у нас пучок смоделируется в окружность? Это будет соответствовать тому факту, что параллелепипед можно разделить на одинаковое число равных областей, а так как 1 по сути тоже принадлежит множеству, выделяемому с помощью этого метода, мы вдруг получили, что в нашей теории и окружность оказалась изоморфной движению четырёхмерного параллелепипеда.
Параграф 11. Движение четырёхмерного параллелепипеда в новой теории изоморфно движению трёхмерной сферы с двумя выколотыми точками (а может, с одной?).
В самом деле, выражение из 24 ангармонических отношений относится таким же независимо от того, какую мы окружность возьмём. Главное выколоть две точки. В самом деле, параллелепипед можно разрезать на сколь угодно большое число параллелепипедов, а сфера состоит из сколь угодно большого числа окружностей. Но точки уже ничего не моделируют, поскольку являются пустыми множествами.
Параграф 12. Риманова геометрия и ангармонизированная геометрия.
В названии этого параграфа я дал имя новой теории, исследовавшейся здесь. В том случае, если аксиоматика ангармонизированной геометрии не протиаворечит аксиоматике Римановой геометрии, можно было бы утверждать, что возможно смоделировать движения четырёхмерного параллелепипеда трёхмарной Римановой сферой. Но: данная геометрия может не противоречить аксиоматике Евклидовой геометрии, аксиоматика же Римановой противоречит. ЭТО ПЕРВАЯ ОТКРЫТАЯ ПРОБЛЕМА ДАННОЙ ТЕОРИИ.
Параграф 13. Вычерчивание выколотой точкой фигуры в контексте теории. Открытая проблема 1 ангармонизированной геометрии.
Идея следующая: задач изоморфность движения четырёхмерного параллелепипеда трёхмерной сфере, мы получим, что выколотая точка (или одна из двух выколотых точек) вычертит какую-нибудь фигуру (ограничимся пока тем случаем, когда фигура—плоская). Если она преставляет замкнутую область, значит, параллелепипед вернулся на место. заметим далее, что в некоторых из предыдущих параграфов были рассмортрены четыре изоморфности: прямая, плоскость, окружность и сфера с двумя либо одной выколотой точкой. Отношение изоморфности эквивалентно, и из этого следует, что движение сферы с выколотыми одной или двумя точками изофно движению прямой по плоскости (2-мерной). Можно добавить вспомогательную выколотую точку на прямой, что здесь сделать можно в соответствии с главой 10. Тогда точка эта вычертит ровно ту же фигуру на плоскости. Тогда столкновения с параллелепипедом и пересечение прямыми, содержащими точку вне замкнутой области и в ней, будут как-то соотноситься. Но как—я пока не могу сказать.
Это ВТОРАЯ ОТКРЫТАЯ ПРОБЛЕМА АНГАРМОНИЗИРОВАННОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Параграф 14. Изоморфности, построенные на трёх видах выбора радиусов изоморфных 4-d параллелепипедам окружностей.
Совершенно аналогично можно взять за изоморфные множества боковую поверхность цилиндра или конуса, обычного или усечённого. Мы далее можем утверждать, что все такие изоморфности будутдвух видов: с выколотой точкой и без, причём второй делится на подвиды: с постоянным радиусом и без. В чём состоит различие? В первом случае мы можем наглядно показать, что мы можем построить изоморфность не только плоскости, но и абсолютно любой её замкнутой части, только надо поставить массу условий (например, задать определение предела, которому соответствует выколотая точка). А во втором случае—уже нет. Кроме того, в втором случае мы имеем окружности постоянного радиуса, двигающиеся по произвольной траектории, а в третьем—окружности любого радиуса, не превышающего данного числа, но без какой-либо траектории. Как же так? Траектория не переходит в траекторию? Но тут дело в том, что в одномт случае мы как бы написали логическое суждение о траектории, а в другом случае—просто смоделировали. И, ественно, второе только демонстрирует движение, а первое раскрывает суть. Именно вследствие того, что выколотая точка не присутствует в четырёхмерном параллелепипеде. Но, будьте внимательны, в первому случае на самом деле есть траектория, только объёмная 🙂 Однако приведённое только что рассждение показывает, что мы можем судить о движении 4-d параллелепипеда без задания движения моделирующего случая. А это существенно упрощает ситуацию.
ОТКРЫТАЯ ПРОБЛЕМА АНГАРМОНИЗИРОВАННОЙ ГЕОМЕТРИИ 3. Обязательно ли множество выколотых точек в данной главе должно быть счётным?
Параграф 15. Операции «ластик», «орех» и «конструктор».
Можно поставить в соответствие окружностям тел, изученных в предыдщих парагрфах, их центры, тогда линия, соединяющая центры окружностей будет непрерывной. Получится призма при моделировании движения четырёхмерного параллелепипеда с произвольным основанием. При этом может быть одна выколотая точка у этих кривых, как и у тел, так что при построении призмы образуется своеобразная щель. Операция «ластик» заменяет такой линией выколотых точек линию с одной выколотой точкой. Операция «орех» заключается в разрывании параллелепипеда и самой фигуры, моделирующей движение. Операция «конструктор» дополняет разрезание параллелепипеда поворотом на 90 градусов, так что опять получается параллелепипед, тот же. Нетрудно подобным образом совершить и параллельный перенос.
При этом возникает такая проблема: объяснить, почему поворот или параллельный перенос будут моделироваться в построенной модели произвольных призм другим преобразованием—симметрией части тела (представьте орех с щелью. Чисто теоретичекски можно развернуть на 180 градусов одну из частей, и мы получим, что начальная линия (одной из частей) совместится с конечной (другой из частей). Можно использовать это в качестве упражнения.