как называют отношение абсолютной погрешности к числу
Абсолютная погрешность и ее граница
Вычислительная математика. Абсолютная погрешность
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.
ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.
ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА
а – приближенное число
Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.
Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:
Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина
Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:
Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают
х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3
В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.
Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:
цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2
Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1 (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной
2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа
Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:
табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.
Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;
приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;
приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.
В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:
Записать правильно следующие приближенные числа:
а = 0,3500 (последние верные цифры нули)
В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,
Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:
Число в стандартном виде записывают так:
показатель m – называется порядком числа.
Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:
7,03 – три значащие цифры
4400 – четыре значащие цифры
0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной от нуля цифры, не считаются значащими 0,000270).
Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,
Округлить число с заданной точностью:
Значащие цифры – 1, 5, 7 и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)
1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3
Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная
7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим
159734 ≈ 160000 = 160·10 3
28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)
Относительная и абсолютная погрешность – формула определения, как рассчитать погрешность измерения
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Погрешность и точность приближения
Урок 29. Алгебра 8 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Погрешность и точность приближения»
При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти величины.
Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближёнными значениями измеряемой величины.
У каждого из вас есть линейка и карандаш. Давайте попытаемся измерить длину карандаша.
Из рисунка видно, что длина карандаша чуть меньше 10 см. Если бы на этой линейке не было миллиметровых делений, то мы бы сказали, что длина карандаша равна 10 см. Но это было бы не совсем точное измерение.
Такую неточность называют погрешностью измерения.
В нашем случае, на линейке есть миллиметровые деления, поэтому мы можем измерить длину карандаша с более высокой точностью – 9,8 см.
Приближённое значение отличается от точного значения в этом случае на 0,2 см. Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.
Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.
Значение абсолютной погрешности не всегда можно найти. Но обычно известна её оценка сверху – например, при измерении длины отрезка линейкой с сантиметровыми делениями абсолютная погрешность измерения не превышает 1 сантиметра, а при взвешивании на весах с гирями 100 грамм, 200 грамм, 500 грамм и 1 килограмм абсолютная погрешность взвешивания не превышает ста грамм.
Посмотрите, на слайде изображён отрезок CD.
Его длина расположена между цифрами 7 см и 8 см. Понятно, что 7 см – это приближённое значение длины отрезка CD с недостатком, а 8 см – это приближённое значение длины отрезка CD с избытком.
Если истинную длину отрезка обозначить за х, то получим, что длина отрезка CD удовлетворяет неравенству:
Пусть истинное значение измеряемой величины равно 
.
Измерение дало результат 
.
Тогда разность 
– это абсолютная погрешность измерения.
Число 
называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:
Принято писать 
Точность приближённого значения зависит от многих причин. Если приближённое значение получено в процессе измерения, то, конечно же, его точность будет зависеть от прибора, с помощью которого выполнялось это измерение.
Вот, например, комнатный термометр. На нём деления нанесены через один градус. Это даёт возможность измерять температуру воздуха с точностью до 1 градуса. А на весах, у которых цена деления шкалы 20 г, можно взвешивать с точностью до 20 г. Или, к примеру, ещё, механические часы. Цена одного деления, которых 1 мин. По ним можно сказать время с точностью до 1 минуты.
Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого значения.
Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.
Относительную погрешность принято выражать в процентах. В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного значения неизвестна, а известна лишь его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.
Например: при измерении (в сантиметрах) длины книжной полки и толщины компакт-диска получили следующие результаты:
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.
Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Число называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:
Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно
Уроки математики и физики для школьников и родителей
понедельник, 28 октября 2019 г.
Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность
Для подсчёта абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.
В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400 , то абсолютная погрешность измерения равна :
На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет
При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет
Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого числа она не превосходит.
Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.
Длина рулона обоев составляет.
Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью .
Но абсолютная погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том, насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно разобраться в таком примере.
Допустим, что при измерении коридора длиной в 20 м мы допустили абсолютную погрешность всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины, мы тоже допустили абсолютную погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что на 20 м ошибка в 1 см вполне допустима и неизбежна, но на 18 см такая ошибка является очень грубой.
Отсюда ясно, что для оценки качества измерения существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см составляет
Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении коридора длиной в 20 м, то это измерение можно считать максимально точным.
Если ошибка, возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.
Для измерения длины болта использованы метровая линейка с делениями 0,5 см и линейка с делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5 см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5 см от истинной, не должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае 0,1 см.
Если этот же результат получится при измерении штангенциркулем, то
Данный пример показывает зависимость абсолютной погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности измерительных приборов. В одном случае ∆ l = 0,5 и, следовательно,
Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм, то вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет
Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Истинное значение измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена. На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Абсолютная погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения. Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.
Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.
Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого значения :
При измерении в (сантиметрах) толщины b стекла и длины l книжной полки получили следующие результаты :
l ≈ 100 с точностью до 0,1.
Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не превосходит 0,1 . Однако 0,1 составляет существенную часть числа 0,4 и ничтожную часть числа 100 . Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.
Если взять абсолютную погрешность в 1 см, при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10% . А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.
Различают систематические и случайные погрешности.
Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при повторных измерениях.
Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё значение.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе наименьшая гиря – 50 г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.
На практике относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.
Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна :
Здесь а = 17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину ). Относительная погрешность равна
По условию, предельная относительная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна
Можно воспользоваться формулой
Подставляя в формулу
Действия над приближёнными числами.
Сложение и вычитание приближённых чисел.
Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Складываются приближённые числа
Пусть предельная погрешность первого есть 5 , а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна
Так, если истинное значение первого есть 270 , а второго 33 , то приближённая сумма
Найти сумму приближённых чисел :
0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
Предельная погрешность каждого слагаемого
Предельная погрешность суммы :
При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.
Например, первое слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше истинного на одну единицу и так далее.
– когда истинная величина каждого слагаемого больше приближённой величины на 0,00005 ;
– когда истинная величина каждого слагаемого меньше приближённой величины на 0,00005 .
Значит, случаи, когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.
Найти сумму точных чисел :
0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
Сложение даёт следующий результат – 0,6187.
Округлим их до тысячных и сложим :
0,091 + 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067
+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.
Предельная погрешность суммы :
Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003 , то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо неверной.
Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь предельная погрешность суммы будет :
0,09 + 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07
+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.
Истинная погрешность составляет только 0,0013 .
Предельная абсолютная погрешность разности двух величин равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Пусть предельная погрешность приближённого уменьшаемого 85 равна 2 , а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3 . Предельная погрешность разности
В самом деле, истинное значение уменьшаемого и вычитаемого могут равняться
Тогда истинная разность есть
Она на 5 отличается от приближённой разности 53 .
Относительная погрешность суммы и разности.
Предельную относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала предельную абсолютную погрешность.
Предельная относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.
Найти предельную абсолютную и предельную относительную погрешность суммы чисел :
В каждом слагаемом суммы
24,4 + 25,2 + 24,7 = 74,3
предельная относительная погрешность примерно одна и та же, а именно :
Такова же она и для суммы.
Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15 , а относительная
0,15 : 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.
В противоположность сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. > особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.
Умножение и деление приближённых чисел.
При делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности.
Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20 , и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть 0,4%, а второго 0,5%.
Тогда предельная относительная погрешность произведения
приближённо равна 0,9% . В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть
Поэтому истинная величина произведения не больше чем
(50 + 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,
Если истинная величина произведения есть 1009,2 , то погрешность произведения равна
а если 991,02 , то погрешность произведения равна
Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит, предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02 . Предельная относительная погрешность равна