как перевести комплексное число в алгебраическую форму

10.09.202313.09.2023 admin 0 Comments

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Как перевести комплексное число в алгебраическую форму

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Как перевести комплексное число в алгебраическую форму

Геометрическая интерпретация комплексного числа – точка (или вектор) на плоскости.

По оси абсцисс расположена ось действительных чисел (положительное направление обозна чено +1), а по оси ординат – ось мнимых чисел (положительное направление обозначено +j).

Проекция вектора на ось +1 – действительная часть, а проекция на ось +j – мнимая часть. Таким образом, алгебраическая форма записи соответствует декартовой (прямоуг ольной) системе координат (обозначим её xy).

Этот же вектор м ожет быть задан и в полярной системе координат. То есть через длину вектора I и угол поворота ψ (обозначим её rθ). Полярной системе координат соответствует показательная форма записи комплексного числа

где I – модуль комплексного числа; ψ – аргумент (или попросту угол)

Обе формы записи (алгебраическая и показательная) используются при расчётах: складывать и вычитать комплексные числа удобно в алгебраической форме записи, а делить и умножать – в показательной. Следовательно, нужно уметь переводить комплексные числа из алгебраической формы записи в показательную (→rθ) и из показательной в алгебраическую (→xy).

Основные операции с комплексными числами

Сложение

Пусть два комплексных числа заданы в алгебраической форме записи

То есть при сложении действительные части складываются с действительными, а мнимые с мнимыми.

Вычитание – аналогично:

Умножение

Пусть два комплексных числа заданы в показательной форме записи

То есть при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются

Деление

Пусть два комплексных числа заданы в показательной форме записи

То есть при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Операции с комплексными числами на инженерных калькуляторах

Первое на что нужно обратить внимание при включении калькулятора это, в каких единицах измеряются углы.

Источник

Как преобразовать показательную форму записи величины в алгебраическую

В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:

Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:

При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:

Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:

Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:

Отсюда действительная часть комплексного числа:

Значит, мнимая часть комплексного числа:

Разберем пример. Пусть задано напряжение в показательной форме:

Определим действительную часть алгебраической формы записи:

Теперь мнимую часть:

В качестве итога, запишем алгоритм перевода показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую:

Источник

1.Перевод комплексного числа из одной формы в другую. Как показано выше, комплексное число можно записать в одной из трех форм:

– алгебраическая форма; – тригонометрическая форма; – показательная форма.Для записи комплексного числа в алгебраической форме необходимо знать его действительную часть a и коэффициент при мнимой единице b. Для тригонометрической и показательной форм – модуль r и аргумент . Поэтому для перевода комплексных чисел из одной формы в другую можно предложить следующие алгоритмы.

А) Перевод из алгебраической формы в тригонометрическую и показательную

Построить вектор – геометрическое изображение комплексного числа.

Отметить на чертеже острый угол  от вектора до ближайшей к нему части оси Ox и угол  – от положительной части оси Ox до вектора.

Вычислить модуль .

Вычислить и определить по его значению острый угол .

По найденному значению  и чертежу определить аргумент .

Подставить найденные значения модуля и аргумента в запись тригонометрической и показательной форм.

Пример. Записать в тригонометрической и показательной формах комплексное число .

На чертеже построен вектор и отмечены углы  и .

Модуль .

, значит = 30.

Из чертежа видно, что  = 180 –  = 150. Поэтому .

б) Перевод комплексного числа из тригонометрической формы в алгебраическую

Вычислить синус и косинус.

Раскрыть скобки.Пример.Записать комплексное число в алгебраической форме.

Р ешение.

в) Перевод комплексного числа из тригонометрической формы в показательную и наоборот. В обеих формах комплексное число определяется модулем и аргументом. Поэтому алгоритм перевода состоит из одного действия:

Переписать в нужной форме.Пример.Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Решение.Из записи числа видно, что его модуль r = 5 и аргумент  = 200. Поэтому тригонометрическая форма числа имеет вид

г) Перевод из комплексного числа показательной формы в алгебраическую.

Выше описан перевод комплексного числа из показательной формы в тригонометрическую и из тригонометрической в алгебраическую. Поэтому алгоритм имеет вид:1.Выполнить требуемый перевод через тригонометрическую форму.

2. Раскрытие неопределенности. При вычислении некоторых пределов возникает ситуация, которую называют неопределённостью. Например, если f(n) и g(n) при n , то попытка произвести непосредственное вычисление предела приводит к неопределённости . Аналогичным образом появляются неопределённости следующих типов: ; ; ; и т.п. Для того, чтобы раскрыть неопределенность, требуется применить тот или иной технический приём. В частности, неопределённости обычно исчезает после сокращения дроби на множитель, который определяет наибольшую скорость роста численности или (на выбор) знаменателя. Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или .Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем .Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Неопределенность типа Если при вычислении получается неопределенность типа , то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение следующим образом: или же .

1. Под числовой последовательностью понимается функция , заданная на множестве N натуральных чисел. Обозначается: или , . Число — первый член последовательности, — второй,…., — общий или n член последовательности. Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. Ограниченная последовательность. Последовательность (чисел, точек и т.п.), члены которой образуют ограниченное множество, называется ограниченной. Аналогично последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если ее члены образуют ограниченное сверху (снизу) множество.