каждая грань прямоугольного параллелепипеда имеет форму

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

260. Заполните теорию.

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

261. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед ABCDMKEF. Заполните пропуски.

262. Вычислите площадь поверхности куба и ребром 6 см.

263. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед MNKPEFCD, измерения которого равны 8 см, 5 см и 3 см. Вычислите сумму длин всех его ребер и площадь поверхности.

Решение:
Сумма ребер
4*(8+5+3) = 64 (см)
Площадь поверхности равна:
2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (см 2 )

264. Заполните пропуски.

265. На рисунке изображена пирамида SABCDE. Заполните пропуски.

Решение:
Сумма длин ребер равна
6*4 = 24 (см)

Решение:
Сумма длин боковых ребер равна
4*7 = 28 (см)
Сумма длин ребер основания равна
4*8 = 32 (см)
Сумма длин всех ребер
28+32 = 60 (см)

Ответ: сумма длин всех ребер пирамиды равна 60 см.

268. Может ли иметь (да, нет) форму прямоугольного параллелепипеда:
1) яблоко; 2) коробка; 3) торт; 4) дерево; 5) кусок сыра; 6) кусок мыла?

Ответ: 1) нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да.

269. На рисунке показана последовательность шагов изображения прямоугольного параллелепипеда. Начертите так же параллелепипед.

270. На рисунке показана последовательность шагов изображения пирамиды. Начертите так же пирамиду.

272. Запишите формулу для вычисления площади S поверхности:

1) куба, ребро которого равно а;
2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны а, b, c.

Ответ: 1) S = 6а 2 ; 2) S = 2( аb+ас+bс)

273. Для покраски куба, изображенного на рисунке слева, требуется 270 г краски. Часть куба вырезали. Сколько потребуется граммов краски, чтобы покрасить часть поверхности полученного тела, выделенную голубым цветом.

Ответ: потребуется 60 г раски

274. Какая из фигур А, Б, В, Г, Д дополняет фигуру Е до параллелепипеда?

275. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Высота параллелепипеда равна 4 см, что в 3 раза меньше его длины и на 5 см меньше его ширины. Найдите ребро куба.

Ответ: ребро куба 8 см.

276. Обведите на изображении куба цветным карандашом видимые ребра так, чтобы куб был виден: 1) сверху и справа; 2) снизу и слева.

277. Грани куба пронумерованы числами от 1 до 6. На рисунке изображены два варианта развертки отдного и того же куба, полученные при равном разрезании. Какое число должно стоять вместо знака вопроса?

Источник

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

У нас есть отличные дополнительные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся!

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью.

Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 класс. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мир, в котором мы живём, состоит из огромного количества разных по форме, цвету и размеру предметов. Изучая их свойства, люди открывают что-то новое. Например, математики в окружающем пространстве обращают внимание на геометрические тела: цилиндры, кубы и так далее.

Сегодня мы рассмотрим прямоугольный параллелепипед – многогранник, название которого с древнегреческого переводится как «идущие рядом плоскости».

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, то есть шестью гранями. Грань, на которую поставлен параллелепипед, и ей противоположную называют нижним и верхним основаниями.

Остальные четыре грани называют боковыми гранями.

Стороны граней параллелепипеда называют рёбрами. Их двенадцать.

Концы рёбер называют вершинами. Их в параллелепипеде восемь.

Каждая вершина является общим концом трёх рёбер.

Длины двух рёбер основания, выходящих из одной вершины, называют длиной и шириной прямоугольного параллелепипеда.

Длину бокового ребра называют высотой.

Таким образом, длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называют длиной, шириной, высотой. Иначе длину, ширину и высоту называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, называется кубом. Каждая грань куба – квадрат.

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда и куба.

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны.

Все грани куба равны между собой.

Построим прямоугольник заданной длины а и высоты h.

Для этого от каждой вершины отложим отрезок, равный половине ширины b под углом 45 градусов. И соединим концы отрезков, причём невидимые грани – пунктирной линией.

Изготовить параллелепипед можно несколькими способами. Например, с помощью развёртки. Для этого на бумаге вычерчивается макет, который выглядит как приведённый шаблон. Обратите внимание, что на картинке даны припуски для того, чтобы можно было склеить параллелепипед.

Другой способ изготовления параллелепипеда – модульная сборка. Она требует ряда последовательных действий.

1) Вырежьте из бумаги шесть одинаковых квадратов.

2) Согните их к середине, как показано на картинке.

3) Согните верхние и нижние края заготовки, как показано на рисунке.

4) Верхний уголок опустите вниз, а нижний – загните наверх. После этого получится квадрат.

5) Сделайте шесть таких заготовок и соедините их в один параллелепипед. Для этого каждый острый уголок вставьте в кармашек соседней части кубика.

№ 1. Какова площадь верхней грани параллелепипеда?

Решение: площадь верхней грани параллелепипеда соответствует площади прямоугольника. Верхняя грань параллелепипеда имеет длину 15см и ширину 3см. Значит, далее по формуле вычисляем площадь:

S = а ·b = 15 см · 3 см = 45 см 2

Ответ: 45 см 2

№ 2. На рисунке изображен куб, состоящий из нескольких маленьких кубиков. Сколько маленьких кубиков ушло на построение данного куба?

Решение: для решения задачи нужно посмотреть, сколько маленьких кубиков расположено на одной грани куба. Их 9 штук. Всего на рисунке изображено три грани. Таким образом, чтобы найти общее количество маленьких кубиков, следует умножить количество кубиков, умещающихся на одной грани, на количество граней: 9 · 3= 27 штук.

Источник

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями. Каждая грань − это прямоугольник, т.е. поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.

У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер.

Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.

Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней.

Чтобы иметь представление о размерах прямоугольного параллелепипеда, достаточно рассмотреть любые три ребра, имеющие общую вершину. Длины этих ребер называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Чтобы их различать, пользуются названиями: длина, ширина, высота (рис. 156 ).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называют кубом (рис. 157 ). Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

Если коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, открыть (рис. 158 ) и разрезать по четырем вертикальным ребрам (рис. 159 ), а затем развернуть, то получим фигуру, состоящую из шести прямоугольников (рис. 160 ). Эту фигуру называют разверткой прямоугольного параллелепипеда.

На рисунке 161 изображена фигура, состоящая из шести равных квадратов. Она является разверткой куба.

С помощью развертки можно изготовить модель прямоугольного параллелепипеда.

Это можно сделать, например, так. Начертить на бумаге его развертку. Вырезать ее, согнуть по отрезкам, соответствующим ребрам прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 159 ), и склеить.

Прямоугольный параллелепипед является видом многогранника − фигуры, поверхность которой состоит из многоугольников. На рисунке 162 изображены многогранники.

Одним из видов многогранника является пирамида.

Эта фигура для вас не нова. Изучая курс Древнего мира, вы познакомились с одним из семи чудес света − египетскими пирамидами.

На рисунке 163 изображены пирамиды MABC, MABCD, MABCDE. Поверхность пирамиды состоит из боковых граней − треугольников, имеющих общую вершину, и основания (рис. 164 ). Общую вершину боковых граней называют ребрами основания пирамиды, а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, − боковыми ребрами пирамиды.

Пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания: треугольная, четырехугольная, пятиугольная (см. рис. 163 ) и т.д.

Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Любой из этих треугольников может служить основанием пирамиды. Это основание вид пирамиды, любая грань которой может служить ее основанием.

На рисунке 165 изображена фигура, которая может служить разверткой четырехугольной пирамиды. Она состоит из квадрата и четырех равных равнобедренных треугольников.

На рисунке 166 изображена фигура, состоящая из четырех равных равносторонних треугольников. С помощью этой фигуры можно сделать модель треугольной пирамиды, у которой все грани − равносторонние треугольники.

Многогранники являются примерами геометрических тел.

На рисунке 167 изображены знакомые вам геометрические тела, не являющиеся многогранниками. Более подробно с этими телами вы познакомитесь в 6 классе.

Источник

Прямоугольный параллелепипед

Цели урока:

1) Обучающая: формировать представления о прямоугольном параллелепипеде и кубе, о свойствах граней и ребер прямоугольного параллелепипеда, куба; ввести понятия грань, вершина, ребро, измерения, развертка.

2) Развивающая: создать условия для развития пространственного мышления; развивать умения сравнения и обобщения.

3) Воспитывающая: содействовать воспитанию интереса к математике и развитию культуры речи.

Тип урока: изучение нового материала с первичным закреплением.

План урока:

1. Организационный этап.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Этап получения новых знаний.

4. Этап обобщения и закрепления нового материала.

6. Заключительный этап.

Ход урока:

1. Организационный этап.

Здравствуйте. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы узнать, как вы настроены к работе на уроке.

2. Актуализация опорных знаний:

Учитель показывает и раздает на каждый стол модели прямоугольных параллелепипедов.

­­- Кто знает, как правильно называются эти предметы в математике?

— Нарисуйте прямоугольный параллелепипед на доске.

Откройте тетради и запишите число и тему нашего урока.

3. Этап получения знаний:

Тема нашего урока «Прямоугольный параллелепипед». Сегодня на уроке мы узнаем, какую фигуру называют прямоугольным параллелепипедом. Рассмотрим, какими измерениями обладает данная фигура, а также рассмотрим его некоторые свойства.

Нас окружают тела. Они имеют самую разнообразную форму. В математике, прежде всего, изучают некоторый определенный набор тел стандартной формы. Посмотрите на экран — это такие фигуры как призма, цилиндр, шар, пирамида и конус. Каждую из этих фигур мы рассмотрим в будущем, а сегодня же мы остановимся на рассмотрении призмы, или конкретно — прямоугольного параллелепипеда.

Представление о прямоугольном параллелепипеде дают, например, спичечный коробок, холодильник, шкаф и другие тела. Школьный кабинет, в котором мы сейчас с вами находимся, также имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Обратите внимание, на экране на первом рисунке изображен прямоугольный параллелепипед, а на втором рисунке — его математическое представление — изображение.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников, каждый из которых называют гранью прямоугольного параллелепипеда. Стороны этих прямоугольников называются ребрами, а вершины прямоугольников — вершинами прямоугольного параллелепипеда. Заметьте, прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.

Посмотрите, на экране изображен прямоугольный параллелепипед, его противоположные грани не имеют общих точек, они равны между собой. Запомните, противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны. Нижнюю и верхнюю грани прямоугольного параллелепипеда называют его основаниями, остальные грани — боковыми гранями. Названия «нижняя грань», «верхняя грань», «боковая грань» условны. Например, на экране изображен один и тот же параллелепипед, а его верхние грани на рисунках различны.

В каждой вершине прямоугольного параллелепипеда сходятся три ребра. Такие ребра называют длиной, шириной и высотой прямоугольного параллелепипеда. Вместе их называют измерениями параллелепипеда. Названия «длина», «ширина» и «высота» также условны. На рисунке изображен один и тот же прямоугольный параллелепипед, а его высотой, например, названы разные ребра.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Все грани куба — равные между собой квадраты. Поэтому поверхность куба состоит из 6 равных квадратов.

Тело имеет разные свойства. Одним из них является масса, которую находят с помощью весов. Другим свойством тела является площадь поверхности. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда таким образом: a — его длина, b — ширина и c — высота. Тогда с помощью этих обозначений запишем формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда: S=2(a∙b+a∙c+b∙c), что видно также из развертки поверхности прямоугольного параллелепипеда на плоскость.

Если ребро куба равно а, то его поверхность состоит из 6 одинаковых квадратов, каждый из которых имеет сторону длиной а. Поэтому площадь поверхности куба можно записать так: .

4. Этап обобщения и закрепления нового материала.

Итак, сделаем основные выводы:

Сегодня на уроке мы узнали, какую фигуру называют прямоугольным параллелепипедом. Рассмотрели, какими измерениями обладает данная фигура, а также рассмотрели его свойства. А также познакомились с кубом и его особенностями.

Для закрепления материала ответьте на вопросы:

Приведите примеры предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. Сколько граней имеет прямоугольный параллелепипед? Какую форму имеют грани прямоугольного параллелепипеда? Сколько ребер у прямоугольного параллелепипеда? Какими измерениями обладает прямоугольный параллелепипед? Сколько у него вершин? Какую фигуру называют кубом?

5. Рефлексия.

Хотелось бы узнать, понравился ли вам урок? Что было не понятным на уроке? Что еще бы вы хотели узнать?

6. Домашнее задание: § 4 п. 20 (№ 793, 813, 814)

Математический диктант (в скобках 2-ой вариант)

№ 1. Сколько граней (измерений) имеет прямоугольный параллелепипед?

№ 2. Закончите предложение: «Каждая грань прямоугольного параллелепипеда имеет форму …» («Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого …»).

№ 3. Сколько вершин (ребер) имеет прямоугольный параллелепипед)

№ 4. Запишите формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда (куба).

Взаимопроверка. Выставление оценок.

Источник