Що таке стояча хвиля

Стоячі хвилі

Нехай дві плоскі хвилі поширюються назустріч одна одній вздовж осі х в пружному середовищі без затухання, при цьому виберемо початок відліку х так, щоб початкова фаза φ дорівнювало нулю, тобто

(12)

Додамо ці рівняння і враховувавши, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі

(13)

Множник показує, що в точках середовища виникає коливання з тією ж частотою ω, що і коливання зустрічних хвиль.

Множник , який не залежить від часу, виражає амплітуду А_ст результуючих хвиль, точніше ─ амплітуда як величина позитивна, дорівнює абсолютному значенню цього множника:

(14)

Амплітуда результуючого коливання залежить від координати х, що визначає положення точок середовища. Точки середовища, де амплітуда А_ст досягає максимального значення 2А, називаються пучностями стоячої хвилі. Координати пучностей визначають із умови

(m=0, 1, 2, …). (15)

Точки середовища, де А_ст = 0, називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються. Координати вузлів визначаються із умови

(m = 0, 1, 2, …). (16)

Із співвідношень (15) і (16) координати пучностей і вузлів відповідно дорівнюють

, і (17)

Відстань між двома сусідніми пучностями отримаємо, якщо знайдемо різницю двох значень х_п для двох послідовних значень т: тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля

(18)

Відстань вузла від найближчої пучності дорівнює:

(19)

На рис. 2 наведено характер руху частинок середовища при встановленні в ньому поперечної стоячої хвилі через проміжок часу T/2. Стрілками показано напрямки руху частинок, які викликані тією чи іншою хвилею.

Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухомих вузлових точок, які розміщені на відстані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітудами, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучноcті. Всі частинки одночасно проходять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжному інтервалі між вузлами характер коливань такий же, але фаза протилежна.

Лише в межах відстаней, рівних половині довжини хвилі, відбуваються взаємні перетворення кінетичної енергії в потенціаль-ну і навпаки.

На межі, де відбувається відбивання хвилі, може утворюватись як вузол так і пучність. Якщо середовище, від якого відбувається відбивання хвилі, менш густе, то в місці відбивання буде утворюватись пучність (рис.3,а). Утворення вузла можливе лише при відбиванні хвилі від більш густого середовища (рис.3,б).

Утворення вузла пов’язане з тим, що хвиля, відбиваючись від більш густого середовища, змінює свою фазу на протилежну. Тому накладання хвиль різних напрямків приводить до утворення вузла.

Якщо ж хвилі відбиваються від менш густого середовища, то зміни фази хвиль не відбувається. Хвилі тут накладаються в одній і тій же фазі, а тому в місці накладання утворюється пучність.

Источник

Стоячі хвилі

Якщо в середовищі поширюються одночасно декілька хвиль, то коливання частинок середовища є геометричною сумою коливань, які здійснювали б частинки при поширенні кожної з хвиль окремо. В результаті накладання хвиль створюється деякий новий хвильовий процес. Таким процесом є, наприклад, звучання оркестру.

При накладанні хвиль можуть виникати особливі явища. Найбільш важливим із них є інтерференція хвиль. Інтерференція–це явище стійкого перерозподілу коливань у просторі, в результаті якого в одних точках коливання підсилюються, а в інших зменшуються. Інтерференція виникає коли накладаються хвилі однакових частот з незмінною різницею фаз. Такі хвилі називають когерентними.

Ми розглянемо один важливий інтерференційний ефект, який полягає в утворенні стоячих хвиль.

Стояча хвилявиникає в результаті накладання двох зустрічних когерентних плоских хвиль з однаковою амплітудою та частотою.

Практично забезпечити когерентність (узгодженість) двох джерел хвиль дуже важко. Але відомо, що при відбиванні від перешкоди виникає хвиля зустрічного напрямку поширення з такою ж самою амплітудою та частотою.

Таким чином, можна, використовуючи одне джерело плоскої монохроматичної хвилі, забезпечити когерентність хвиль, які поширюються в прямому й оберненому напрямках. Отже, практично, стоячі хвилі виникають при накладанні біжучої та відбитої хвиль.

Явища такого роду зустрічаються дуже часто. Так кожен тон звучання будь-якого музикального інструменту збуджується стоячою хвилею. Вона виникає або в струні (струнні інструменти), або в стовпі повітря (духові інструменти). Відбиваючими границями в цих випадках є точки закріплення струни та поверхні всередині духових інструментів.

Нехай дві плоскі хвилі, однакової амплітуди та частоти, поширюються назустріч одна одній. Відмінність у напрямку поширення враховується в знаках перед координатою в рівнянні хвилі (рис. 4.8).

Результуюче зміщення частинок :

Стояча хвиля не є хвилею в повному розумінні цього слова. Коли відбувається поширення біжучої хвилі, то всі частинки середовища коливаються з однаковою амплітудою і спостерігається поступова передача енергії від однієї точки простору до інших. Біжуча хвиля може рухатись праворуч, або ліворуч, але у стоячій хвилі нема напрямку поширення та передачі енергії. Назва “стояча хвиля“ характеризує просто коливальний стан середовища. Важливішою особливістю цього стану є те, що коливаються не всі частинки середовища. Це точки, координати яких задовольняють умові .

Розв’язуючі це рівняння знаходимо координати нерухомих точок:

, де .

Таким чином, в точках простору, де коливання відсутні.

В точках простору, для яких амплітуда коливань максимальна.

На рис. 4.9 показано графік амплітуди коливань стоячої хвилі в залежності від координати .

На рис. 4.10 показана відмінність між поведінкою біжучої та стоячої хвилі для трьох послідовних моментів часу , , .

Источник

Стоячі хвилі

(12)

Додамо ці рівняння і враховувавши, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі

(13)

Множник показує, що в точках середовища виникає коливання з тією самою ж частотою ω, що і коливання зустрічних хвиль.

(14)

(m=0, 1, 2, …). (15)

Точки середовища, де А_ст = 0 називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються. Координати вузлів визначаються із умови

(m = 0, 1, 2, …). (16)

Із співвідношень (15) і (16) координати пучностей і вузлів відповідно дорівнюють

, і (17)

Відстань між двома сусідніми пучностями отримаємо, якщо знайдемо різницю двох значень х_п для двох послідовних значень т:

тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля

(18)

Відстань вузла від найближчої пучності дорівнює:

(19)

На межі, де відбувається відбивання хвилі, може утворюватись як вузол так і пучність. Якщо середовище, від якого відбувається відбивання хвилі менш густе, то в місці відбивання буде утворюватись пучність (рис.3,а). Утворення вузла можливе лише при відбивання хвилі від більш густого середовища (рис.3,б).

Якщо ж хвилі відбиваються від менш густого середовища, то зміни фази хвиль не відбувається. Хвилі тут накладаються в тій самій фазі, а тому в місці накладання утворюється пучність.

Источник

Що таке стояча хвиля

Введення

Стоячі хвилі можуть утворюватися за різних умов. Цей феномен найлегше продемонструвати в умовах обмеженого простору. Такого ефекту можна досягти за допомогою комбінування двох коливань з однаковою довжиною хвилі, що поширюються в протилежних напрямках. Інтерференція двох сигналів дає результуючу хвилю, яка, на перший погляд, не рухається (тобто стояча).

Важливою умовою є те, що енергія повинна надходити в систему з певною швидкістю. Це означає, що частота збудження повинна бути приблизно рівною власній частоті коливань. Таке поняття також відоме як резонанс. Стоячі хвилі завжди пов ‘язані з резонансом. Виникнення резонансу можна визначити за різким збільшенням амплітуди результуючих коливань. На створення стоячих хвиль витрачається набагато менше енергії, порівняно з біжучими хвилями, що мають такі ж амплітуди.

Не варто забувати і про те, що в будь-якій системі, де є стоячі хвилі, є і численні власні частоти. Різноманіття всіх можливих стоячих хвиль відоме як гармоніки системи. Найпростіша з гармонік називається фундаментальною або першою. Наступні стоячі хвилі називаються другою, третя тощо. Гармоніки, які відрізняються від фундаментальної, іноді називають підтекстовими.

Види стоячих хвиль

Практичне значення стоячих хвиль

Стоячі хвилі мають велике значення в музиці, оскільки звук є комбінацією декількох коливань. Правильний розрахунок довжини і жорсткості струн дозволяє домогтися найкращого звучання того чи іншого інструменту. Стоячі хвилі також дуже важливі у фізиці. У методі дослідження частинок за допомогою рентгенівської спектроскопії обробка відбитого сигналу дозволяє з ‘ясувати приблизний кількісний і якісний склад об’ єкта.

Источник

Тема: «Стоячі хвилі. Принцип Гюйгенса. Дифракція хвиль»

Знати:формулу стоячої хвилі, поняття дифракції хвилі.

Уміти: використовувати формулу максимуму дифракції, визначати сталу дифракції

ü План теоретичного матеріалу.

2. Принцип Гюйгенса.

Особливий випадок інтерференції спостерігається при накладанні двох плоских зустрічних хвиль з однаковими частотами і амплітудами. При цьому утворюються так звані стоячі хвилі. Практично стоячі хвилі виникають при накладанні біжучої і відбитої хвиль. Розглянемо інтерференцію падаючої і відбитої хвиль. Вважатимемо, що хвилі поширюються у середовищі без затухання і амплітуди їх однакові і що падаюча хвиля поширюється в додатному напрямі осі ОХ, а відбита хвиля — у протилежному напрямі. Початок координат розмістимо у точці, в якій обидві хвилі мають однакові фази. За початок відліку часу виберемо такий момент, коли фази коливань обох хвиль дорівнюють нулю. Тоді рівняння падаючої і відбитої хвиль

(11.46) Результуюче зміщення знайдемо як суму складових, тобто

(11.47)

Рівняння (11.47) — це рівняння стоячої хвилі. З (11.47) видно, що якщо зафіксувати деяку точку, координата якої х, то для частинки, що знаходиться в цій точці, дістанемо рівняння гармонічного коливання з амплітудою 2A_Q cos kx і з фазою ю*. Якщо переходити від однієї точки до іншої, то амплітуда змінюватиметься за законом

Отже, рівняння стоячої хвилі описує гармонічні коливання частинок середовища в просторі, амплітуди коливань яких різні для різних точок. У рівнянні стоячої хвилі, на відміну від рівняння біжучої хвилі, немає швидкості поширення фази. У точках, для яких виконується умова

(11.49)

амплітуда результуючого коливання досягає максимального значення і дорівнює 2Aq. Ці точки називають пучностями стоячої хвилі. Координати пучностей визначаємо з умови (11.49):

(11.50) У точках, для яких виконується умова

(11.51)

амплітуда результуючого коливання в будь-який момент часу дорівнює нулю. Такі точки називаються вузлами стоячої хвилі. Частинки середовища, що знаходяться у вузлових точках, коливань не здійснюють. Координати вузлових точок знаходимо з умови (11.51):

(11.52)

З формул (11.51) і (11.52) випливає, що відстань між сусідніми пучностями або між сусідніми вузлами дорівнює А/2. Відстань між сусіднім вузлом і пучністю

(11.53)

Множник 2А cos 2лх/Х, що входить до рівняння (11.47), для всіх точок, які лежать між двома сусідніми вузлами, має той самий знак,

а при переході через вузол, тобто через нульове значення, міняє знак на протилежний. Це означає, що всі частинки, які знаходяться між сусідніми вузлами, коливаються в однакових фазах. Частинки, що знаходяться з різних сторін вузла, коливаються у протилежних фазах, тобто різниця фаз між ними дорівнює ж. Стоячі хвилі можуть утворюватися при інтерференції як поперечних, так і поздовжніх хвиль.

На рис. 11.11 показано миттєвий розподіл зміщень частинок середовища для поперечної стоячої хвилі у момент часу t і t + 772.

Стояча хвиля супроводжується утворенням стоячої хвилі швидкостей частинок середовища і стоячої хвилі відносної деформації. Знайдемо рівняння стоячої хвилі швидкостей і стоячої хвилі відносної деформації. Для цього продиференціюємо рівняння (11.47) по t і х. Рівняння стоячої хвилі швидкостей

(11.54)

Рівняння стоячої хвилі деформацій

(11.55)

З рівнянь (11.47) і (11.54) випливає, що вузли і пучності хвилі швидкостей збігаються з вузлами і пучностями хвилі зміщень. З рівнянь (11.47), (11.55) видно, що вузли стоячої хвилі відносної, деформації збігаються з пучностями зміщень і швидкостей, а пучності відносної деформації — з вузлами зміщень і швидкостей.

У стоячій хвилі на відміну від біжучої хвилі не відбувається перенесення енергії. Це пояснюється тим, що падаюча і відбита хвилі мають однакові амплітуди і переносять однакову енергію у протилежних напрямах. Повна енергія стоячої хвилі зосереджена між вузловими точками і з часом не змінюється. Відбувається тільки перехід потенціальної енергії в кінетичну, і навпаки. Оскільки протягом існування стоячої хвилі вузлові точки перебувають у спокої, то через них енергія не переноситься. Через вузли швидкості, де частинки середовища перебувають у спокої, неможливе перенесення кінетичної енергії, а через вузли відносної деформації неможливе перенесення потенціальної енергії. Коли вся енергія переходить у потенціальну, то вона зосереджується в основному біля пучності хвилі відносної деформації, тобто біля вузла хвилі зміщень. Коли вся енергія переходить у кінетичну, то вона зосереджується в основному біля пучності хвилі швидкостей, тобто біля пучності хвилі зміщень. Отже, перетворення потенціальної енергії в кінетичну (і навпаки) відбувається між сусідніми вузлами зміщень і відносних деформацій, тобто на ділянці завдовжки в чверть хвилі. Ці перетворення енергії відбуваються за період коливань стоячої хвилі. Поняття потоку енергії та вектора Умова непридатні для стоячих хвиль.

Як зазначалося, стоячі хвилі найбільш зручно дістати накладанням біжучої і відбитої хвиль. У місцях відбивання хвиль на межі поділу двох середовищ залежно від граничних умов може утворюватись або вузол, або пучність. Кожне середовище чинить опір проникненню в нього хвиль. Здатність середовища чинити опір проникненню в нього хвиль характеризують хвильовим опором. Під ним розуміють добуток густини середовища на швидкість поширення хвиль, тобто pv. При переході хвилі з середовища, хвильовий опір якого piWi, у середовище з хвильовим опором p₂v₂ > piWi хвиля зазнає відбивання. На межі поділу середовища буде вузол. При відбиванні фаза коливань частинок середовища змінюється на я. Зміну фази коливань на л при відбиванні хвиль називають втратою півхвилі. Насправді ніяких втрат

не відбувається. Для з’ясування явища зміни фази коливань на л при відбиванні хвилі розглянемо такий приклад. Нехай хвиля поширюється вздовж розтягнутого гумового шнура (рис. 11.12). У момент

відбивання вигин шнура напрямлений вгору і шнур діє на точку О, у якій він закріплений, з силою, також напрямленою вгору. За третім законом Ньютона, кріплення діє на шнур з силою протилежного напряму. Внаслідок дії цієї сили виникає відбита хвиля, подібна до падаючої, але з протилежним напрямом коливань.

У разі, коли p,w, > p₂v₂, також відбуваються відбивання хвилі, але без зміни фази коливань. Утворення стоячих хвиль пов’язано також з явищем резонансу в обмежених ділянках суцільного пружного середовища.

Особливий випадок інтерференції спостерігається при накладанні двох пласких зустрічних хвиль з однаковими частотами і амплітудами. При цьому утворюються так звані стоячі хвилі. Практично стоячі хвилі виникають при накладанні біжучої і відбитої хвиль. Тоді рівняння падаючої і відбитої хвиль:

( 1 )

Рівняння стоячої хвилі:

( 2 )

Якщо переходити від однієї точки до іншої, то амплітуда змінюватиметься за законом:

( 3 )

( 4 )

амплітуда результуючого коливання досягає максимального значення і = 2А₀. Ці точки називають пучностями стоячої хвилі.

На малюнку ( 1 ) показано миттєвий розподіл зміщень частинок середовища для поперечної стоячої хвилі у момент часу t i .

Стояча хвиля супроводжується утворенням стоячої хвилі швидкостей частинок середовища і стоячої хвилі відносної деформації.

Рівняння стоячої хвилі швидкостей:

( 5 )

Рівняння стоячої хвилі деформацій:

( 6 )

У стоячі хвилі на відміну від біжучої хвилі не відбувається перенесення енергії. Повна енергія стоячої хвилі зосереджена між вузловими точками і з часом не змінюється. Відбувається тільки перехід потенційної енергії в кінетичну і навпаки, оскільки протягом існування стоячої хвилі вузлові точки перебувають у спокої, то через них енергія не переноситься. Отже, перетворення потенційної енергії у кінетичну ( і навпаки ) відбувається між сусідніми вузлами зміщень і відносних деформацій, тобто на ділянці завдовжки в чверть хвилі. Ці перетворення відбуваються за період коливань стоячої хвилі. Поняття потоку енергії та вектора. Умова непридатності для стоячих хвиль. Як зазначалося, стоячі хвилі найбільш зручно дістати накладанням біжучої і відбитої хвиль. Здатність середовища чинити опір проникненню в нього характеризують хвильовим опором. Утворення стоячих хвиль пов`язано з явищем резонансу в обмежених ділянках суцільного пружного середовища.

ü Самостійно розв’язати задачі:

ü Питання самоконтролю:

1. Поняття стоячих хвиль.

4. Умова максимуму та мінімуму коливань.

7. Принцип Гюйгенса.

8. Поняття дифракції хвиль.

Посібник №2. Кучерук Ї.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики: У 3-х т. / За пр. І.М. Кучерука. – [2-е вид., ипр..] — К.: Техніка, 2006. – 452 с. – Т.2: Електрика і магнетизм.

Посібник №5.І.П. Гаркуша, І.Т. Горбачук, В.П. Курінний та ін.; за заг. ред. І.П. Гаркуші./Загальний курс фізики: Зб. Задач./ К.Техніка,2003.-560с.

Л1, Том1, частина1, розділ 11, §11.6-11.7,с.261-264

Л5. Розділ 5, §5.4, с. 257

Источник