теория вероятности день рождения в один день

Парадокс дней рождения

Парадо́кс дней рожде́ния — утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 367 человек (с учётом високосных лет).

Такое утверждение может показаться противоречащим здравому смыслу, так как вероятность одному родиться в определённый день года довольно мала, а вероятность того, что двое родились в конкретный день — ещё меньше, но является верным в соответствии с теорией вероятностей. Таким образом, оно не является парадоксом в строгом научном смысле — логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.

Интуитивное восприятие [ ]

Один из способов понять на интуитивном уровне, почему в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, состоит в осознании следующего факта: поскольку рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе, то эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, то общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть 23 × 22/2 = 253 пары. Посмотрев на это число, легко понять, что при рассмотрении 253 пар людей вероятность совпадения дней рождения хотя бы у одной пары будет достаточно высокой.

Ключевым моментом здесь является то, что утверждение парадокса дней рождения говорит именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим — похожим, на первый взгляд, — случаем, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что у кого-либо из других членов группы день рождения совпадёт с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.

Расчёт вероятности [ ]

В данном примере для расчёта вероятности того, что в группе из n человек как минимум у двух дни рождения совпадут, примем, что дни рождения распределены равномерно, то есть нет високосных лет, близнецов, рождаемость не зависит от дня недели, времени года и других факторов. В действительности, это не совсем так — обычно летом рождается больше детей; кроме того, в некоторых странах из-за особенностей работы больниц больше детей рождается в определённые дни недели. Однако неравномерность распределения может лишь увеличить вероятность совпадения дней рождения, но не уменьшить: если бы все люди рождались только в 3 дня из 365, то вероятность совпадения дней рождения была бы очень высокой.

Рассчитаем сначала, какова вероятность p (n) того, что в группе из n человек дни рождения всех людей будут различными. Если n > 365, то в силу принципа Дирихле вероятность равна нулю. Если же n ≤ 365, то будем рассуждать следующим образом. Возьмём наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. Затем возьмём наугад второго человека, при этом вероятность того, что у него день рождения не совпадёт с днем рождения первого человека, равна 1 — 1/365. Затем возьмём третьего человека, при этом вероятность того, что его день рождения не совпадёт с днями рождения первых двух, равна 1 — 2/365. Рассуждая по аналогии, мы дойдём до последнего человека, для которого вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими будет равна 1 — (n — 1)/365. Перемножая все эти вероятности, получаем вероятность того, что все дни рождения в группе будут различными:

Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна

Значение этой функции превосходит 1/2 при n = 23 (при этом вероятность совпадения равна примерно 50.7 %). Вероятности для некоторых значений n иллюстрируются следующей таблицей:

Источник

Парадокс дней рождения

Маша попросила своего старшего друга, профессора Ивана Петровича, выступить перед её одноклассниками с интересной темой. И вот, в раннее утро понедельника, Иван Петрович зашёл в класс. Дети, увидев профессора, разочарованно вздохнули, и лишь одна Маша радостно помахала ему рукой.

— Да, вижу, вы сегодня мало каши ели. — огорчённо сказал профессор.

— Нет, мы просто вас по телевизору видели, — сказал один из ребят. — Вы там про какие-то ужасно скучные математические формулы говорили.

— Далеко не вся математика состоит из скучных формул. Сегодня мы рассмотрим парадокс дней рождения! Какова, например, вероятность того, что из 30 человек двое родились в один день?

— Так, всего человек 30, значит, вероятность — 30/365, — начала быстро подсчитывать Маша.

— А 30/365 — это примерно 0,08, или 8%, — подсказал другой ученик, который уже успел достать калькулятор.

— Нет, Маша, ты считаешь, какую часть количество людей составляет от числа дней в году. И если людей больше 366, то вероятность у тебя больше 1 получится.

— Да. Наверное, можно немного подправить формулу?

— А вот и нет, — загадочно улыбнулся профессор. — Шанс того, что хотя бы двое из этих 30 родились в один день, превышает 50%.

— Но как? — закричали дети. Теперь уже проснулись даже сидящие за последней партой.

— Вероятность того, что у двух людей совпадут дни рождения, равна 1/365. Всего из 30 людей можно составить 30・29/2 = 435 пар.

— Но правильно ли подсчитывать пары? — возразила Маша.

— Хороший вопрос! Конечно, вероятность не может равняться 435/365, ведь это больше единицы. Мы не можем сложить вероятности совпадения дней рождения в каждой паре, потому что дни рождения могут совпадать сразу в нескольких парах. Но теперь вероятность более 50% уже не кажется такой большой.

— Но как всё-таки подсчитать вероятность правильно?

— А как вы думаете, где этот парадокс можно применить?

Дети громко начали обсуждать разные варианты. Никого из них толком не было ни слышно, ни понятно.

— Вот прекрасный пример, — отметил профессор.

— Но ничего ведь нельзя было разобрать из-за шума! — удивились некоторые.

Все отрицательно покачали головами.

— Это небольшие устройства, которые по радиочастоте передают своё «имя», то есть заложенную в них информацию. Например, они могут быть прикреплены к каждой коробке внутри грузовика. Когда грузовик заезжает на склад, специальное устройство чтения прямо при въезде считывает, какие товары привезли. Ридер посылает сигнал, но некоторые метки могут ответить одновременно, как только что делали вы. Сигналы таких ответов накладываются друг на друга, и ничего нельзя разобрать.

Как решить эту проблему? Для этого есть разные алгоритмы. Некоторые основаны на том, что временной промежуток чтения меток разбивается на небольшие интервалы (слоты), а метки случайно выбирают интервал для передачи своего имени. Чем больше слотов, тем дольше будут считываться метки. Чем меньше слотов, тем выше вероятность наложения ответов и тем меньше меток будет успешно прочитано. Поэтому нужно поточнее прикинуть количество меток. Его можно оценить, исходя из общего количества слотов, во время которых был получен хотя бы один ответ. Для этого нужно решить похожую задачу: сколько в среднем различных дней рождения в группе из n человек.

Тут прозвенел звонок.

— Ну как, интересная была сегодняшняя тема? — поинтересовался Иван Петрович.

— Очень! — дети дружно закивали головами.

Все потихоньку начали собираться и уходить на перемену. Маша подошла к профессору:

— Спасибо вам большое! — Не за что, если понадоблюсь — зови, ведь на свете ещё много интересных вероятностных парадоксов, про которые можно рассказать!

Упражнения

1. Какое минимальное число людей нужно взять, чтобы у каких-то двоих из них совпали знаки зодиака с вероятностью более 1/2?

2. Пусть Костя родился 29 февраля и учится в классе из 30 человек. С какой вероятностью в этом классе найдётся ещё один ученик с таким же днём рождения?

3. В группе 75 человек. Сколько в среднем среди них людей, чей день рождения больше не встречается ни у кого в группе? Оцените их количество как произведение общего числа людей и вероятности того, что у данного человека уникальный день рождения.

Художник Алексей Вайнер

* RFID — Radio Frequency IDentification (англ.), радиочастотная идентификация.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Ваш коллектив из 23 сотрудников (вы под №14)

Вы наверное сто раз слышали про этот парадокс, но считаете, что это чушь какая то. Ведь в вашем коллективе ни у кого не совпал день рождение? А сможет кто то совсем уж популярно объяснить нам в комментах, смысл этого парадокса? Вот так он звучит:

Предположим, вы работаете в офисе, где трудятся 23 работника, включая вас. Какова вероятность того, что у двоих сотрудников в офисе совпадут дни рождения? (Мы не берём во внимание 29 февраля)

Ответ: Шанс того, что у двух людей в офисе день рождения приходится на один и тот же день, составляет 50%. Мало того, для группы из 57 человек вероятность такого совпадения будет составлять 99%.

Вот подробные расчеты.

Как нам это выяснить?

Вероятность того, что у двух человек не совпадают дни рождения, такова:

Вероятность того, что у трёх человек не совпадают дни рождения, такова:

Вероятность того, что у четырёх человек не совпадают дни рождения, такова:

Видите, к чему мы приходим? Вероятность того, что у 23 человек дни рождения не совпадают, составляет:

Так как шанс, что никто не родился в один день, составляет 49,3%, то шанс, что хотя бы у двух человек дни рождения совпадают, равен 50,7%.

Вот как выглядит кривая вероятности:

По вертикали: вероятность пар; по горизонтали: количество человек

Источник

Парадокс дней рождения. С кем вы родились в один день

автор статьи:
Алексей Бабушкин,
эксперт по нетворкингу,
бизнес-тренер

Представьте, что вы пришли на вечеринку, где несколько десятков незнакомых людей. Как вы думаете, какова вероятность, что кто-то из них родился в один день или у кого-то совпадает день рождения с вами?
На самом деле, есть точный ответ.

Например, если в одном месте собираются 23 случайных человека, то вероятность, что хотя бы у двух из них совпадет число и месяц рождения превышает 50%. А в группе из 60 человек такая вероятность превысит 99%. Это явление получило название «Парадокс дней рождения».

Парадокс дней рождения – в группе из 23 случайных людей два человека с одинаковым днем рождения (число, месяц) окажутся с вероятностью 50%, а стопроцентное попадание произойдет в группе из 367 человек.

Сперва кажется, что это математический софизм, и на практике это невозможно, но различны математические доказательства подтверждают парадокс дней рождения.

Не буду загружать вас формулами комбинаторики – они есть в Википедии, а расскажу только о фактах и выводах и как их применить в нетворкинге.

Мистическая группа из 23 человек

Часто в исследованиях фигурирует группа из 23 человек. Это не случайная цифра. Дело в том, что это величина является порогом вероятности 50% в Парадоксе дней рождения. Впрочем, если задуматься, то примерно столько человек учится в одном классе, служит в одном взводе, состоит в одном студенческом отряде, одновременно находится на футбольном поле, входит в состав некоторых спортивных команд. И даже средний небольшой рабочий коллектив также состоит примерно из 23 человек.

Гарантированное совпадение дней рождения

Парадокс дней рождения применим к любой группе. Единственное, что будет отличать результат – вероятность возникновения случая, когда даты совпадают.

Для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя стопроцентное совпадение (согласно принципу Дирихле) возможно лишь когда в группе не менее 367 человек. Это ровно на 1 больше, чем число дней в году, учитывая 29 февраля в високосный год.

Теперь, оказавшись в компании друзей из 25 человек, будьте уверены, что с вероятностью 50% у двоих из них окажется одно число и месяц рождения. Проверьте!

Рекомендую почитать: Парадокс дружбы

Какой день самый плодовитый

Появление в группе людей с одинаковыми днями рождения не подчинен линейной зависимости. Дело в том, что в определенные месяцы и даже в конкретные дни недели количество новорожденных закономерно разное.

Например, по данным статистики, больше всего детей рождается во вторник, а меньше всего – в субботу и воскресенье. В результате на Земле людей, родившихся в один день больше, чем родившихся в какой-то другой день.

Так что, если в беседе с новым знакомым вы предположите, что он родился во вторник, то велика вероятность, что окажетесь абсолютно правы.

Факт того, что вероятность совпадения дней рождения даже в маленьких коллективах велика, можно использовать для нетворкинга. Предложив в качестве развлечения обменяться днями рождения в поисках пары, вы достигнете ценных результатов.

Если у кого-то совпали даты, это сблизит людей, и они точно не забудут дату рождения друг друга. А у вас появится возможность узнать дни рождения каждого члена компании. Теперь в нужный день поздравьте своих знакомых с праздником и напомните о себе. Все это благоприятно повлияет на укрепление ваших связей.

Алексей Бабушкин, эксперт по нетворкингу

© Данный материал авторский. При перепечатке или цитировании обязательно указание автора и активная, открытая для индексации гиперссылка на networking24.ru.

Источник

Парадокс дня рождения

Парадо́кс дней рожде́ния — утверждение, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух её членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 366 человек (с учётом високосных лет — 367).

Такое утверждение может показаться противоречащим здравому смыслу, так как вероятность одному родиться в определённый день года довольно мала, а вероятность того, что двое родились в конкретный день — ещё меньше, но является верным в соответствии с теорией вероятностей. Таким образом, оно не является парадоксом в строгом научном смысле — логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.

Содержание

Интуитивное восприятие

Один из способов понять на интуитивном уровне, почему в группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, состоит в осознании следующего факта: поскольку рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе, то эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, то общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть 23 × 22/2 = 253 пары. Посмотрев на это число, легко понять, что при рассмотрении 253 пар людей вероятность совпадения дней рождения хотя бы у одной пары будет достаточно высокой.

Ключевым моментом здесь является то, что утверждение парадокса дней рождения говорит именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим — похожим, на первый взгляд, — случаем, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что у кого-либо из других членов группы день рождения совпадёт с днем рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.

Расчёт вероятности

В данном примере для расчёта вероятности того, что в группе из n человек как минимум у двух дни рождения совпадут, примем, что дни рождения распределены равномерно, то есть нет високосных лет, близнецов, рождаемость не зависит от дня недели, времени года и других факторов. В действительности, это не совсем так — обычно летом рождается больше детей; кроме того, в некоторых странах из-за особенностей работы больниц больше детей рождается в определённые дни недели. Однако неравномерность распределения может лишь увеличить вероятность совпадения дней рождения, но не уменьшить: если бы все люди рождались только в 3 дня из 365, то вероятность совпадения дней рождения была бы очень высокой.

Рассчитаем сначала, какова вероятность p (n) того, что в группе из n человек дни рождения всех людей будут различными. Если n > 365, то в силу принципа Дирихле вероятность равна нулю. Если же n ≤ 365, то будем рассуждать следующим образом. Возьмём наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. Затем возьмём наугад второго человека, при этом вероятность того, что у него день рождения не совпадёт с днем рождения первого человека, равна 1 — 1/365. Затем возьмём третьего человека, при этом вероятность того, что его день рождения не совпадёт с днями рождения первых двух, равна 1 — 2/365. Рассуждая по аналогии, мы дойдём до последнего человека, для которого вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими будет равна 1 — (n — 1)/365. Перемножая все эти вероятности, получаем вероятность того, что все дни рождения в группе будут различными:

Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна

Значение этой функции превосходит 1/2 при n = 23 (при этом вероятность совпадения равна примерно 50.7 %). Вероятности для некоторых значений n иллюстрируются следущей таблицей:

Альтернативный метод расчёта

Вероятность совпадения дней рождения в группе можно также рассчитать с использованием формул комбинаторики. Представим, что каждый день года — это одна буква в алфавите из 365 букв. Дни рождения n человек могут быть представлены строкой, состоящей из n букв такого алфавита. Общее число таких строк равно

Общее число строк, в которых буквы не повторяются, составит

Тогда, если строки выбираются случайно (с равномерным распределением), то вероятность выбрать строку, в которой хотя бы две буквы совпадут, равна

для n ≤ 365 и p (n) = 1 для n > 365.

то это выражение эквивалентно представленному выше.

Аппроксимации

приведённое выше выражение, дающее значение p (n), можно аппроксимировать следующим образом:

Для ещё более грубой аппроксимации можно взять выражение

которое, как показывает график, всё ещё даёт достаточную точность.

Родившиеся в один день с заданным человеком

Интересно сравнить вероятность p (n) с вероятностью того, что в группе из n человек у кого-либо день рождения совпадет с днём рождения некоторого заранее выбранного человека (не принадлежащего к этой группе). Эта вероятность равна

Подставляя n = 23, получаем q (n) примерно 5.9 %, что лишь немногим лучше одного шанса из 17. Для того, чтобы вероятность совпадения дня рождения с заданным человеком превысила 50 %, число людей в группе должно быть не менее 253. Это число заметно больше, чем половина дней в году (365/2 = 182.5); так происходит из-за того, что у остальных членов группы дни рождения могут совпадать между собой, и это уменьшает вероятность совпадения одного из них с днём рождения заданного человека.

Задача в общем виде

Рассуждая таким же образом, как описано выше, можно получить общие решения:

Приложения

Сходный математический аппарат используется для оценки популяции рыб в озёрах методом «capture-recapture». Действительно, если каждую пойманную рыбу помечать и отпускать, то вероятность поймать помеченную рыбу будет расти нелинейно (в соответствии с приведённым выше графиком) с ростом количества попыток. Размер популяции грубо может быть оценен как квадрат числа попыток до первой помеченной пойманной рыбы.

Решение задачи в общем виде находит применение во многих разделах математики, например в недетерминированных алгоритмах факторизации. Так, одно из самых простых объяснений ρ-метода Полларда аналогично объяснению парадокса дней рождения: достаточно иметь примерно случайных чисел от 0 до , где — простые, чтобы хотя бы для одной из пар чисел с высокой вероятностью нашёлся , который и будет делителем числа n.

Близкие дни рождения

Другое обобщение парадокса дней рождения состоит в постановке задачи о том, сколько человек нужно для того, чтобы вероятность наличия в группе людей, дни рождения которых различаются не более чем на один день (или на два, три дня и так далее), превысила 50 %. Эта задача более сложная, при её решении используется принцип включения-исключения. Результат (опять-таки в предположении, что дни рождения распределены равномерно) получается следующим:

Источник