Самосопряженный оператор
Структура самосопряженных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах существенно напоминает конечномерный случай. Другими словами, операторы являются самосопряженными тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны операторам действительного умножения. С подходящими модификациями этот результат можно распространить на, возможно, неограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. Поскольку всюду определенный самосопряженный оператор обязательно ограничен, нужно более внимательно относиться к вопросу о предметной области в неограниченном случае. Это объясняется ниже более подробно.
СОДЕРЖАНИЕ
Ограниченные самосопряженные операторы [ править ]
Свойства ограниченных самосопряженных операторов [ править ]
Симметричные операторы [ править ]
Тонкости неограниченного случая [ править ]
Во многих приложениях мы вынуждены рассматривать неограниченные операторы; примеры включают позиционные, импульсные и гамильтоновы операторы в квантовой механике, а также многие дифференциальные операторы. В неограниченном случае необходимо решить ряд тонких технических проблем. В частности, существует принципиальное различие между операторами, которые просто «симметричны» (определены в этом разделе), и операторами, которые являются «самосопряженными» (определены в следующем разделе). В случае дифференциальных операторов, определенных в ограниченных областях, эти технические вопросы связаны с правильным выбором граничных условий.
Определение симметричного оператора [ править ]
В физической литературе термин « эрмитовский» используется вместо термина «симметричный». В литературе по физике обычно не говорится о различиях между операторами, которые являются просто симметричными, и операторами, которые фактически являются самосопряженными (как определено в следующем разделе).
Хотя понятие симметричного оператора легко понять, это не «правильное» понятие в общем неограниченном случае. В частности, спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам (определенным в следующем разделе), а не к большинству операторов, которые являются просто симметричными. В частности, хотя собственные значения симметричного оператора обязательно действительны, симметричный оператор не обязательно должен иметь какие-либо собственные векторы, не говоря уже об их ортонормированном базисе.
В более общем смысле, частично определенный линейный оператор A из топологического векторного пространства E в его непрерывное двойственное пространство E ∗ называется симметричным, если
Простой пример [ править ]
Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L 2 [0,1] и дифференциальный оператор
с действительными собственными значениями n 2 π 2 ; хорошо известная ортогональность синусоидальных функций следует как следствие свойства симметрии.
Ниже мы рассмотрим обобщения этого оператора.
Свойства симметричных операторов [ править ]
Самосопряженные операторы [ править ]
Определение самосопряженного оператора [ править ]
Вкратце, плотно определенный линейный оператор A в гильбертовом пространстве является самосопряженным, если он равен своему сопряженному. Иными словами, A является самосопряженным, если (1) область определения A совпадает с областью определения сопряженного, и (2) оператор A согласован со своим сопряженным в этой общей области.
Теперь уточним приведенное выше определение. Для плотно определенного линейного оператора A на H его сопряженный A ∗ определяется следующим образом:
Обратите внимание, что именно плотность области определения оператора, наряду с частью уникальности представления Рисса, обеспечивает правильное определение сопряженного оператора.
Результат типа Хеллингера-Теплица гласит, что оператор, имеющий всюду определенное ограниченное сопряжение, ограничен.
Существенная самосопряженность [ править ]
Геометрическая интерпретация [ править ]
Существует полезный геометрический способ рассмотрения сопряженного оператора A на H следующим образом: мы рассматриваем граф G ( A ) оператора A, определенный формулой
Пример [ править ]
Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L 2 ( R ) и оператор, умножающий заданную функцию на x :
Как мы увидим позже, самосопряженные операторы обладают очень важными спектральными свойствами; на самом деле они являются операторами умножения на общих пространствах с мерой.
Различие между симметричными и самосопряженными операторами [ править ]
Как обсуждалось выше, хотя различие между симметричным оператором и самосопряженным (или по существу самосопряженным) оператором является тонким, оно важно, поскольку самосопряженность является гипотезой спектральной теоремы. Здесь мы обсуждаем некоторые конкретные примеры различия; см. ниже раздел о расширениях симметрических операторов для общей теории.
Граничные условия [ править ]
тогда A несимметрична (поскольку граничные члены при интегрировании по частям не обращаются в нуль).
тогда как область определения сопряженного к A равна A ∗ <\displaystyle A^<*>> 
С этой областью A по существу самосопряжен. [9]
Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами [ править ]
В этом случае, если мы сначала определим на пространстве гладких, быстро убывающих функций, сопряженный будет «тот же» оператор (т. Е. Заданный той же формулой), но в максимально возможной области, а именно H ^ <\displaystyle <\hat
Условия, при которых операторы Шредингера являются самосопряженными или существенно самосопряженными, можно найти в различных учебниках, таких как книги Березина и Шубина, Холла, Рида и Саймона, перечисленные в ссылках.
Спектральная теорема [ править ]
Спектральная теорема в целом может быть выражена аналогично возможности «диагонализации» оператора, показывая, что он унитарно эквивалентен оператору умножения. Другие версии спектральной теоремы аналогичным образом предназначены для улавливания идеи о том, что самосопряженный оператор может иметь «собственные векторы», которые на самом деле не находятся в рассматриваемом гильбертовом пространстве.
Формулировка спектральной теоремы [ править ]
Один из вариантов спектральной теоремы можно сформулировать следующим образом.
Теорема. Любой оператор умножения является (плотно определенным) самосопряженным оператором. Любой самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения. [13]
Другие версии спектральной теоремы можно найти в указанной выше статье о спектральных теоремах.
Функциональное исчисление [ править ]
который является оператором, определяющим эволюцию во времени в квантовой механике.
Разрешение личности [ править ]
Принято вводить следующие обозначения
Приведенное выше определение операторного интеграла можно свести к определению скалярнозначного интеграла Стилтьеса с использованием слабой операторной топологии. Однако в более современных методах лечения этого представления обычно избегают, поскольку с большинством технических проблем можно справиться с помощью функционального исчисления.
Формулировки в физической литературе [ править ]
В физике, особенно в квантовой механике, спектральная теорема выражается способом, который объединяет спектральную теорему, как указано выше, и функциональное исчисление Бореля с использованием обозначений Дирака следующим образом:
f ( H ) = ∫ d E | Ψ E ⟩ f ( E ) ⟨ Ψ E | <\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _
I = ∫ d E | Ψ E ⟩ ⟨ Ψ E | <\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _
H eff ∗ | Ψ E ∗ ⟩ = E ∗ | Ψ E ∗ ⟩ <\displaystyle H_<\text
и запишем спектральную теорему как:
f ( H eff ) = ∫ d E | Ψ E ⟩ f ( E ) ⟨ Ψ E ∗ | <\displaystyle f\left(H_<\text
(См. Контекст, в котором такие операторы появляются в теории рассеяния, в методе разбиения Фешбаха – Фано ).
Расширения симметричных операторов [ править ]
В нескольких контекстах возникает следующий вопрос: если оператор A в гильбертовом пространстве H симметричен, когда он имеет самосопряженные расширения? Оператор, имеющий единственное самосопряженное расширение, называется по существу самосопряженным ; эквивалентно, оператор является по существу самосопряженным, если его замыкание (оператор, график которого является замыканием графика A ) самосопряженный. В общем, симметричный оператор может иметь много самосопряженных расширений или вообще не иметь. Таким образом, нам нужна классификация его самосопряженных расширений.
Первый основной критерий существенной самосопряженности следующий: [15]
Оператор S ( U ) плотно определен и симметричен.
Отображения W и S обратны друг другу. [ требуется разъяснение ]
Это сразу дает нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы A имела самосопряженное расширение, а именно:
Мы видим, что существует биекция между симметричными расширениями оператора и изометрическими расширениями его преобразования Кэли. Симметричное расширение самосопряжено тогда и только тогда, когда соответствующее изометрическое расширение унитарно.
Самосопряженные расширения в квантовой механике [ править ]
Пример. Самосопряженного оператора импульса p для частицы, движущейся по полупрямой, не существует. Тем не менее гамильтониан «свободной» частицы на полупрямой имеет несколько самосопряженных расширений, соответствующих различным типам граничных условий. Физически эти граничные условия связаны с отражениями частицы в начале координат (см. Рид и Саймон, том 2). p 2 <\displaystyle p^<2>>
Формулы фон Неймана [ править ]
Предположим, что A симметрично плотно определено. Тогда любое симметрическое расширение A является ограничением A *. Действительно, если A ⊆ B и B симметрично, то B ⊆ A *, применяя определение dom ( A *).
Они упоминаются как формулы фон Неймана в справочнике Ахиезера и Глазмана.
Примеры [ править ]
Симметричный оператор, который не является самосопряженным [ править ]
на пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на [0,1], удовлетворяющих граничным условиям
− i u ′ = i u − i u ′ = − i u <\displaystyle <\begin
Операторы с постоянными коэффициентами [ править ]
P ( x → ) = ∑ α c α x α <\displaystyle P\left(<\vec
Мы также используем обозначения
Тогда оператор P (D), определенный на пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на R n формулой
существенно самосопряжен на L 2 ( R n ).
P ϕ ( x ) = ∑ α a α ( x ) [ D α ϕ ] ( x ) <\displaystyle P\phi (x)=\sum _<\alpha >a_<\alpha >(x)\left[D^<\alpha >\phi \right](x)>
Соответствующему P есть другой дифференциальный оператор, формальный сопряженный к P
Теория спектральной множественности [ править ]
Равномерная множественность [ править ]
Сначала определим равномерную кратность :
Неотрицательные счетно-аддитивные меры μ, ν взаимно сингулярны тогда и только тогда, когда они поддерживаются на непересекающихся борелевских множествах.
Это представление уникально в следующем смысле: для любых двух таких представлений одного и того же A соответствующие меры эквивалентны в том смысле, что они имеют одинаковые множества меры 0.
Прямые интегралы [ править ]
Теорема спектральной кратности может быть переформулирована на языке прямых интегралов гильбертовых пространств:
Теперь мы можем сформулировать результат классификации самосопряженных операторов: два самосопряженных оператора унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда (1) их спектры совпадают как множества, (2) меры, появляющиеся в их представлениях прямого интеграла, имеют одинаковые множества меры нуль и (3) их функции спектральной кратности почти всюду совпадают относительно меры в прямом интеграле. [21]
Пример: структура лапласиана [ править ]
Как отмечалось выше, лапласиан диагонализуется преобразованием Фурье. На самом деле более естественно рассматривать отрицание лапласиана −∆, поскольку как оператор он неотрицателен; (см. эллиптический оператор ).
Чистый точечный спектр [ править ]
Этот гамильтониан имеет чисто точечный спектр; это типично для гамильтонианов связанных состояний в квантовой механике. Как было указано в предыдущем примере, достаточным условием наличия у неограниченного симметричного оператора собственных векторов, образующих базис гильбертова пространства, является наличие у него компактного обратного.
Самосопряженный оператор
Эрмитов (самосопряжённый) оператор — оператор 
в комплексном гильбертовом пространстве 
удовлетворяющий равенству 
, где (х, у) — скалярное произведение в H.
Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.
В конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой. Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу 
получаемую из исходной матрицы путем её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть 
Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: 
Собственные числа эрмитовой матрицы вещественны. У неё всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов, собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Название дано в честь Шарля Эрмита, французского математика.
Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Самосопряженный оператор» в других словарях:
САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — см. Эрмитов оператор. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия
САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — э р м и т о в о п е р а т о р, линейный оператор А, определенный на линейном всюду плотном множестве D(А)гильбертова пространства Ни совпадающий со своим сопряженным оператором А, т … Математическая энциклопедия
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор в гильбертовом пространстве, спектральный анализ которого не укладывается в рамки теории самосопряженных операторов и ее простейших обобщений: теории унитарных операторов и теории нормальных операторов. Н. о. возникают при… … Математическая энциклопедия
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — положительное отображение, 1) П. о. в гильбертовом пространстве линейный оператор А, для к рого соответствующая квадратичная форма ( Ах, х).неотрицательна. П. о. необходимо симметричен и допускает самосопряженное расширение, также являющееся П. о … Математическая энциклопедия
ИЗОМЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР — отображение Uметрич. пространства (X,rX). в метрич. пространство (Y, rY). такое, что для любых Если Xи Y действительные линейные нормированные пространства, U(X)=Y и U(0)=0, то U линейный оператор. И. о. Uотображает Xна U(X)взаимно однозначно,… … Математическая энциклопедия
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — линейное преобразование, отображение между двумя векторными пространствами, согласованное с их линейными структурами. Точнее, отображение где Еи F векторные пространства над полем k, наз. л и н е й н ы м оператором из Ев F, если при всех… … Математическая энциклопедия
Положительный оператор — Термин Положительный оператор в Теории операторов употребляется в двух различных смыслах. Под положительным оператором между векторными решетками понимают линейный оператор, переводящий положительные вектора в положительные. Самосопряженный… … Википедия
Эрмитов оператор
Смотреть что такое «Эрмитов оператор» в других словарях:
ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР — линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н сплотной областью определения D(A )и такой, что = для любых х, у D(A). Это условие эквивалентно тому, что: 1) D(A) D(A*), 2) Ах = А * х для всех х D(A), где А * … Физическая энциклопедия
эрмитов оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas
Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности) один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так … Википедия
Оператор координаты — В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 … Википедия
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия
Сопряжённый оператор — Содержание 1 Общее линейное пространство 2 Топологическое линейное пространство … Википедия
САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — см. Эрмитов оператор. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия
самосопряжённый оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas
Эрмитовы операторы
Эрмитовы операторы
Содержание
Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство
При этом множество M = ML называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.
Пусть L — линейный оператор с областью определения ML . Уравнение
называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из ML — решением этого уравнения.
Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение
называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.
Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)
Рассмотрим линейное однородное уравнение
где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.
Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u1. и2 — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация
также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения
существует, то его общее решение представляется формулой
где и* — частное решение (6) и сk, k = l,2. r, — произвольные постоянные.
Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є Ml, где Ml плотна в L2(G), принимала только вещественные значения.
В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть λ0 — собственное значение, u0 — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u0 = λ0u0. Умножая скалярно это равенство на u0, получим
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 — вещественное (неотрицательное) число.
Докажем, что любые собственные функции и1 и и2, соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, из соотношений
из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств
Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ1,λ2. повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и1,и2,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция иk:
Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система <φk> состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ1,ψ2. линейно независимых функций из L2(G) преобразуется в ортонормальную систему φ1,φ2, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:
При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций <ик> эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:
Список литературы
1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.
