дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью
Дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью
Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: \[
Неизвестные функции \(
Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как
\(f\left( x \right) = \left[ <
В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.
В случае \(1,\) если число \(\alpha\) в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель \(
В случае \(2,\) если число \(\alpha + \beta i\) совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель \(x.\)
Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида \[ <
Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
| Сайт: | Навчальний сайт ХНАДУ |
| Курс: | Вища Математика (2 семестр) Вишневецький А.Л. |
| Книга: | Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами |
Зміст
4.1 Основные определения
Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
Если f ( x ) =0, уравнение (4.1) называется однородным, в противном случае – неоднородным. Например, уравнения
– линейные однородные дифференциальные уравнения (сокращенно ЛОДУ), т.к. их правые части равны нулю. Уравнения (4.2) и
– ЛНДУ (линейные неоднородные дифференциальные уравнения).
4.2 Решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
По определению, ЛОДУ 2-го порядка имеет вид
План нахождения общего решения этого уравнения:
1) Написать характеристическое уравнение для (4.3)
3) В зависимости от значений p 1 и p 2 найти общее решение y :
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
5.1 Теорема об общем решении ЛНДУ
По определению линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) 2-го порядка имеет вид
Сопоставим ему однородное уравнение
Теорема. Общее решение уравнения (5.1) есть сумма общего решения уравнения (5.2) и частного решения уравнения (5.1):
где y O.O. – общее решение соответствующего однородного уравнения (5.2), а y Ч.Н. – частное решение уравнения (5.1).
Здесь о.о. означает «общее однородное», а ч.н. – «частное неоднородное».
Способ нахождения решения y O.O. указан в п. 4.2. Способ нахождения y Ч.Н. зависит от правой части f ( x ) уравнения (5.1). Мы рассмотрим три случая:
5.2 Уравнения с правой частью вида f(x) = Ae^γx
В этом случае уравнение (5.1) имеет вид
где A и γ – числа. Тогда его частное решение
5.3 Уравнения с правой частью вида P(x)e^αx
Пример. Решить уравнение y’ ‘ + 3 y’ = 9 x
2) Так как α = 0 совпадает с одним корнем характеристического уравнения, то k = 1.
5.4 Уравнения с правой частью вида (Pcosβx+Qsinβx)e^αx
Рассмотрим решение ЛНДУ с правой частью вида
Общее решение ЛНДУ находят по формуле (5.3). Нахождение ее слагаемого y O.O. рассмотрено в разделе 4.2, а слагаемое y Ч.Н. для правой части вида (5.7) имеет вид
Правая часть уравнения имеет вид (5.10) с P = 2, Q = 6, α = 0, β = 1.
2) Так как α + i β = i не равно ни одному корню характеристического уравнения, то k = 0.
3) По формуле (5.8) частное решение
4) Найдем числа A и B (неопределенные коэффициенты). Для этого найдем производные y’ Ч.Н. и y» Ч.Н. :
и подставим их и y Ч.Н. в левую часть данного уравнения. Получим
Складывая и вычитая уравнения, находим
5) Подставляем эти значения в формулу п.3):
6) Общее решение данного уравнения по формуле (5.3) есть
Принцип суперпозиции. Решение системы ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
6.1 Принцип суперпозиции
Теорема. Общее решение уравнения
6.3 Решение системы ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом исключения неизвестных
Суть этого метода решения системы (6.2) такова: из одного уравнения системы выразить x через y (или y через x ), подставить в другое уравнение и решить полученное ЛОДУ с одним неизвестным. Более подробно план решения таков.
3) Подставить найденные выражения для y и в другое уравнение системы.
4) Решить полученное ЛОДУ (найти x ).
6) Записать общее решение системы.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.
Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.
Теорема общего решения ЛДНУ
, где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y
Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y
. Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y
является частным решением y
Решение
Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y
Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.
Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем
. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y
Найдем их из равенства вида y
Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Применив теорему Коши, имеем, что
Коэффициенты, принадлежащие Q n ( x ) находятся по равенству y
Решение
Уравнение общего вида y = y 0 + y
‘ = e x · A x 2 + B x + C ‘ = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y
‘ ‘ = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C ‘ = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
Ответ: видно, что y
Решение
Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:
y 0 = e 0 · ( C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) ) = C 1 cos 2 x + C 2 sin ( 2 x )
будет производиться из y
Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:
Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается
Решение
По условию видно, что
= e α x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) · x 0 = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) )
Нахождение производной и подобных слагаемых дает
После приравнивания коэффициентов получаем систему вида
Из всего следует, что
= e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) = = e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )
Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:
= = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )
Алгоритм решения ЛДНУ
Любой другой вид функции f ( x ) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:
Решение
Необходимо произвести решение относительно C 1 ‘ ( x ) и C 2 ‘ ( x ) при помощи любого способа. Тогда запишем:
Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:
Ответ: y = y 0 + y
Дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью
Если коэффициент P 0 ( x ) ≠ 1, то на него можно поделить и после соответствующих переобозначений получить:
Примечание. Частным случаем (8.43) является линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с переменными коэффициентами:
Если в уравнении (8.43) f ( x ) ≡ 0, то оно называется однородным, если f ( x ) ≠ 0, то неоднородным.
Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (8.43), имеет вид:
где ci – константы интегрирования.
– также решение уравнений (8.45) и (8.46).
Рассмотрим одну из функций (8.48) – функцию y = e λx как решение для уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами. Продифференцируем ее n раз:
Рассмотрим наиболее распространенный частный случай уравнения (8.46) – его аналог 2-го порядка:
Для данного уравнения характеристическое уравнение (8.50) принимает вид:
Уравнение (8.52) является квадратным относительно λ. В зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения рассматривают три случая, приведенных в таблице 8.1.
Пример 8.17. Найти общее решение уравнений:
б) Составляем характеристическое уравнение λ 2 – 16 λ + 64 = 0.
Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
Теорема 8.4. Пусть задано линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и п равой частью специального вида
1. Если 
не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:
где 
– многочлены общего вида (с неопределенными коэффициентами).
– многочлены общего вида 
Рассмотрим в таблице 8.2 некоторые случаи составления частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.57) по специальному виду его правой части.
является частным решением данного уравнения