дизъюнктивная и конъюнктивная форма представления логической функции

13. Конъюнкция. Дизъюнкция. Инверсия. Функционально полная система ЛФ. Функции И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Исключающее или.

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны все ее аргументы.

Дизъюнкция истинна, если истинен хотя бы один из ее аргументов.

Инверсияпринимает значение, противоположное значению ее аргумента

ИЛИ-НЕ

Функция ИЛИ-НЕ – это функция двух или более аргументов (другие названия: функция Вебба, стрелка Пирса, NOR). Значения Данная функция является инверсией функции ИЛИ

14. Формы представления ЛФ. Таблица истинности. СДНФ и СКНФ. Переход от одной формы к другой.

Формы представления логических функций

Таблица истинности описывает значения логической функции на всех наборах ее аргументов.
Для функции, зависящей от n аргументов, рассматривается N=2 n значений.

СДНФ – совершенная дизъюнктивная нормальная форма представления логической функции. СДНФ – это дизъюнкция конъюнкций.

СКНФ – совершенная конъюнктивная нормальная форма представления логической функции. СКНФ – это конъюнкция дизъюнкций.

(ИЛИ ИЛИ ИЛИ) И (ИЛИ ИЛИ ИЛИ)

Переход от табличной формы функции к СДНФ или правило записи функции по единицам:

Правило перехода от табличной формы задания функции к СКНФ или правило записи функции по нулям.

Переход – через таблицу истинности и запись по нулям или единицам.

15. Преобразование логических выражений. Склеивание. Минимизация логических функций.

Преобразование и минимизация логических функций осуществляется в соответствии с аксиомами алгебры логики:

Склеивание:

Такое преобразование называется склеиванием.

Склеиваемые конъюнкции называются соседними, они склеиваются по х;

Удобно минимизировать логические выражения с помощью карт Карно.

16. Логический элемент. Логическая комбинационная схема. ЛЭ как физическое устройство.

Логические элементы:

Вот они, по очереди:

Отрицание, НЕ

Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 1714 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.

Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.

Калькулятор таблицы истинности, СКНФ, СДНФ, полинома Жегалкина

введите функцию или её вектор

Построено таблиц, форм:

Как пользоваться калькулятором

Видеоинструкция к калькулятору

Используемые символы

Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().

Обозначения логических операций

Что умеет калькулятор

Что такое булева функция

Что такое таблица истинности?

Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.

Логические операции

Логическая операция — операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых. В качестве основных операций обычно называют конъюнкцию (∧ или &), дизъюнкцию (∨ или |), импликацию (→), отрицание (¬), эквивалентность (=), исключающее ИЛИ (⊕).

Таблица истинности логических операций

Как задать логическую функцию

Есть множество способов задать булеву функцию:

Рассмотрим некоторые из них:

Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c

Способы представления булевой функции

С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, ДНФ является функция ¬a bc ∨ ¬a ¬b c ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.

Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.

Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1

Алгоритм построения СДНФ для булевой функции

Алгоритм построения СКНФ для булевой функции

Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции

Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.

Примеры построения различных представлений логических функций

Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬a b∨ ¬b c∨ca

1. Построим таблицу истинности для функции

Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает истинное значение: < 0, 0, 1 > < 0, 1, 0 > < 0, 1, 1 > < 1, 0, 1 >

В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:

Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:

Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы:

Найдём наборы, на которых функция принимает ложное значение: < 0, 0, 0 > < 1, 0, 0 >

В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:

Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:

Построение полинома Жегалкина:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:

Окончательно получим такую таблицу:

Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):

Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc

Programforyou — это сообщество, в котором Вы можете подтянуть свои знания по программированию, узнать, как эффективно решать те или иные задачи, а также воспользоваться нашими онлайн сервисами.

Источник

Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы ФАЛ

Введем понятие степени:

Рассмотрим конъюнкцию вида:

Существует 2 n наборов вида .» style=»display: inline; «> Поставим в соответствие каждой конъюнкции (*) номер набора i и образуем дизъюнкцию всех конъюнкций:

Теорема (без доказательства):

Любая ФАЛ, зависящая от ‘ n ‘ аргументов, может быть представлена в форме:

Из этой теоремы вытекает ряд важных следствий:

В ДНФ в каждый член любая переменная входит в прямом виде или с отрицанием.

Аналогичная теорема справедлива и для представления функции в конъюнктивной нормальной форме ( КНФ ):

или при представлении в совершенной КНФ (СКНФ) :

где: & означает, что конъюнкции берутся по тем наборам, на которых

Переход от табличной формы функции к СДНФ или правило записи функции по единицам:

Правило перехода от табличной формы задания функции к СКНФ или правило записи функции по нулям.

Рассмотрим способ получения СДНФ из СКНФ и обратно.

Из таблицы 2.1 с помощью способа записи функции по нулям следует, что СКНФ той же функции дизъюнкции будет иметь вид:

Итак, имеем две формы одной и той же функции:

Практический смысл перехода заключается в том, что можно определить, реализация какой формы потребует меньший объем оборудования.

Источник

• ← дизруптивная форма естественного отбора это
• дизъюнктивная нормальная форма примеры →