как называется равенство двух отношений
Что такое пропорция
Что такое пропорция
Пропорция — это равенство двух отношения.
Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.
Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.
Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:
a и d — крайние члены пропорции
Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d
Например:
Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.
15 и 3 — крайние члены пропорции.
5 и 9 — средние члены пропорции.
Наглядный пример для понимания:
У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.
Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!
А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.
Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.
Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.
Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.
Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉
Основное свойство пропорции
Запомните основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.
В виде формулы свойство выглядит так:
a : b = c : d = a * d = b * c
Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.
Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.
Давайте проверим несколько пропорций.
Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4
Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.
Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4
Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
Равенство двух отношений
Последняя бука буква «я»
Ответ на вопрос «Равенство двух отношений «, 9 (девять) букв:
пропорция
Альтернативные вопросы в кроссвордах для слова пропорция
Определение слова пропорция в словарях
Википедия Значение слова в словаре Википедия
Пропорция в архитектуре — отношение подобных отрезков или фигур, составляющих архитектурное сооружение и придающих ему целостность и гармоничность (см. Гармоническая пропорция ). Архитектурные пропорции определяются как художественным замыслом, так и конструктивно-техническими.
Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков Значение слова в словаре Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков
пропорции, ж. (книжн.) (латин. proportio). Соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Правильные пропорции частей тела. Смешать сахар с желтком в такой пропорции: две ложки сахара на один желток. равенство двух отношений (см. отношение.
Примеры употребления слова пропорция в литературе.
Петр сидел на лавке у ворот, молча попыхивал сладко пахнущим кнастером, слушал захмелевшего Осипа Баженина, который хвастался тем, как быстро и в точных пропорциях построил нынче фрегат.
Я только сильно надеюсь, что строители не сумеют соблюсти пропорции: тогда собор обратится в безобразную груду, и этот провал погубит карьеру Бармы и Постника.
Старый бербер, кривой на один глаз, смешивал в тазу воду для стирки в необходимых пропорциях.
Источник: библиотека Максима Мошкова
В математике равенство двух отношений
Последняя бука буква «я»
Ответ на вопрос «В математике равенство двух отношений «, 9 (девять) букв:
пропорция
Альтернативные вопросы в кроссвордах для слова пропорция
Определение слова пропорция в словарях
Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков Значение слова в словаре Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков
пропорции, ж. (книжн.) (латин. proportio). Соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Правильные пропорции частей тела. Смешать сахар с желтком в такой пропорции: две ложки сахара на один желток. равенство двух отношений (см. отношение.
Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова. Значение слова в словаре Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
ж. Определенное соотношение частей целого между собой; соразмерность. Количественное соотношение между чем-л. Определенное соотношение между составными частями чего-л. ж. Равенство двух отношений (в математике).
Примеры употребления слова пропорция в литературе.
Петр сидел на лавке у ворот, молча попыхивал сладко пахнущим кнастером, слушал захмелевшего Осипа Баженина, который хвастался тем, как быстро и в точных пропорциях построил нынче фрегат.
Я только сильно надеюсь, что строители не сумеют соблюсти пропорции: тогда собор обратится в безобразную груду, и этот провал погубит карьеру Бармы и Постника.
Старый бербер, кривой на один глаз, смешивал в тазу воду для стирки в необходимых пропорциях.
Источник: библиотека Максима Мошкова
Свойства отношений на множестве
Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.
Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.
Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: a
b, b
a (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.
Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.
Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх:
.
Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l», заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.
Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y, граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).
Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.
Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.
Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.
Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRy
yRx.
Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х), отношение «больше на» и др.
Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRz
xRz.
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z, содержит стрелку, идущую от х к z.
Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b, отрезок b длиннее отрезка с, то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а=b, b=с)
(а=с).
Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b, а отрезок b перпендикулярен отрезку с, то отрезки а и с не перпендикулярны!
Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.
Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: x
y 
xRy или yRx.
Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y, либо y>x.
На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.
Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y, что ни число х не является делителем числа y, ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11, 3 и 10 и т.д.).
Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х= задано отношение «число х кратно числу y». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.
Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.
Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).
В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: <
; 
; 
>, <
; 
>, <
>. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем разбиение множества на классы.
Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.
Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х= <
;
; 
; 
; 
; 
> соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.
Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?
Во-первых, эквивалентный – это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности <
; 
; 
>, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь 
может быть заменена другой, например 
. И эта замена не изменит результата вычислений.
Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.
В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.
Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу. На множестве Х=<3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10> задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9). Во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности.
Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».
Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х Просмотров 151 448 Комментариев 0
Понятие равенства, знак равенства, связанные определения
Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.
Что такое равенство
Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.
Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты 
и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.
Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: 
и 
. Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.
Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.
Запись равенств, знак равно
Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).
Верные и неверные равенства
Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.
Свойства равенств
Запишем три основных свойства равенств:
Буквенно сформулированные свойства запишем так:
Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.
Двойные, тройные и т.д. равенства
При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.
Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.