Что такое экстремум функции и как его найти по графику
Максимумы, минимумы и экстремумы функций
Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).
Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).
Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.
\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).
Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений
Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки
Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.
Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).
Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.
Определение. Точка x 2 области определения функции f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.
Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Пример 1. Рассмотрим функцию 
В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.
Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее:
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 2. Найти экстремумы функции 
Решение. Найдём производную функции:

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

Так как для любых значений «икса» знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.
Найдём значение функции в точке минимума:

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Локальный характер экстремумов функции
Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, 
Ищем экстремумы функции вместе
Пример 3. Найти экстремумы функции 
Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная 







Для интервала 




















Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При 



Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Пример 4. Найти экстремумы функции 
Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки 

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как 

Находим производную 
1) 
2) 
но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.
Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: 









Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:
(здесь символом 




т.е. если 

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 5. Найти экстремумы функции 
Пример 6. Найти экстремумы функции 
Пример 7. Найти экстремумы функции 
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.
Продолжаем искать экстремумы функции вместе
Пример 8. Найти экстремумы функции 
Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство 


Найдём первую производную функции:
Найдём критические точки функции:
Точки 





Найдём значения функции в этих точках:
Таким образом, экстремумы функции:

Пример 9. Найти экстремумы функции 
Решение. Найдём область определения функции.
Найдём первую производную функции:
Найдём критические точки функции:
Таким образом, у данной функции две критические точки: 




Найдём значение функции в точке минимума:
Таким образом, минимум функции:

Пример 10. Найти экстремумы функции 
Решение. Найдём первую производную функции:

Найдём критические точки функции:

Так как для любого действительного x должно выполняться условие 

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку. Определим значения производной в критической точке. При переходе через точку 

Найдём значение функции в точке максимума:

Таким образом, максимум функции:

Возрастание, убывание и экстремумы функции
А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.
Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!
Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции
Рассмотрим некоторую функцию 
На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси 
Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением 



Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что 



Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.
Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие 

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.
Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).
Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:
Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка 


Собственно, определения:
Точка 





Точка 




Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям
Точки 
Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.
Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):
Точка 


Точка 


Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция 




Да, кстати, о королевских особах:
– значение 
– значение 
Общее название – экстремумы функции.
Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!
Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.
! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.
Сколько может быть экстремумов у функции?
Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.
ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение 

Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком.
Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?
Формулировка побуждает найти:
– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);
– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы 😉
Как всё это определить? С помощью производной функции!
Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?
Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.
Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию 
– если производная 

– если производная 

Примечание: справедливы и обратные утверждения.
Пусть точка 



Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.
Производная кубической функции 

Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки 

Функция 




С геометрических позиций тут нет общей касательной. Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.
Примечание: согласно информации первого параграфа, точка 

и слева и справа от данных точек. Так же не считаются точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).
Стандартная гипербола 

Здесь, к слову, точка 

Экспоненциальная функция 




Что делает натуральный логарифм сегодня вечером?
Растёт:


Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции 





Аналогичная история с косинусом 

Производная тангенса 

С котангенсом и его производной 
Арксинус на интервале 

При 


Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.
Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.
Зачем исследовать функцию с помощью производной?
Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.
Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:
Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции
Решение:
1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.
2) Второй пункт алгоритма обусловлен
необходимым условием экстремума:
Если в точке 


Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».
Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства 



Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение 
Получилось обычное квадратное уравнение:
Положительный дискриминант доставляет две критические точки:
Примечание: корни можно традиционно обозначить через 
Итак, 
Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.
первое достаточное условие экстремума,
которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки 
– если при переходе через точку 
– если при переходе через точку 
Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку 
Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.
В рассматриваемом примере с непрерывностью на 
Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определения интервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.
Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!
Перед нами парабола 

I) Берём какую-нибудь точку интервала 



II) Выбираем точку 




III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке 



В результате получены следующие знаки производной:

Время собирать урожай!
На интервалах 



При переходе через точку 
При переходе же через точку 
Ответ: функции возрастает на интервале 




Остерегайтесь сокращенной записи 

Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу: 
Что произошло? На первом этапе мы нашли производную 



Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-е достаточное условие, однако для исследования функций оно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.
В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере 


Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.
Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:
Исследовать функцию с помощью первой производной
Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.
Решение:
1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках 
2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
Решим уравнение 
Таким образом, получаем три критические точки:
3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ: 
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной 




Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому 

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя 

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ 



В точке 

В точке 
Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение 😉
При переходе через точку 
! Повторим важный момент: точки 
Ответ: функция возрастает на 





Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции 



Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке 
Найти экстремумы функции
Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)
В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.
Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма 

Типичный барьерный риф:
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.
Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знакопостоянства была найдена область определения данной функции: 
Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень 

Но производная проявила своеволие – она в отличие от свого родителя определена и на интервале 


Функция убывает на интервале 




Ответ: функция убывает на интервале 

Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо увАжить область определения функции!
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Это приятный разгрузочный пример для самостоятельного решения.
И заключительный пример посвящен другому приключению непослушной дочери:
Найти точки экстремума функции
Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Найдём критические точки:
На всякий случай детализирую преобразования знаменателя: 
Таким образом, 

Определим знаки производной на полученных интервалах: 
Функция возрастает на интервале 

В точке 

В точке 

В точке 
Ответ: 

По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы 😉
Давайте посмотрим на на эту оригинальную картину: 
В точке 


. да, родители и дети бывают разными. Но мама права в 95% случаев с погрешностью 
Пример 2: Решение:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки: 

3) Методом интервалов определим знаки производной: 
Ответ: функция убывает на интервале 


Пример 4: Решение:
1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке 
2) Найдём критические точки: 


3) Методом интервалов определим знаки производной: 
В точке 

В точке 
Ответ: в точке 

Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции
Пример 5: Решение:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки 
2) Найдём критические точки: 
Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель

3) Определим знаки производной: 
Ответ: функция возрастает на 


Пример 7: Решение:
Область определения: 
Найдём критические точки: 

Определим знаки производной: 
Ответ: функция убывает на интервале 


Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5














































