Что такое экстремум в математике

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Точки экстремума, экстремумы функции

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

После чего необходимо найти производную:

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

Изображение на прямой имеет вид

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

Перейдем к вычислению минимумов:

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Второй признак экстремума функции

Для начала находим область определения. Получаем, что

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Третье достаточное условие экстремума

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Источник

Возрастание, убывание и экстремумы функции

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной. Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче!

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции. Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ, как расположен график функции относительно оси Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике(выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, справедливо неравенство Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикерастёт на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, справедливо неравенство Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеубывает на интервалах Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикев первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикево 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума. Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи её стандартная Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике— окрестность:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Собственно, определения:

Точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеназывается точкой строгого максимума, если существует её Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике-окрестность, для всех значений Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикекоторой за исключением самой точки Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикевыполнено неравенство Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. В нашем конкретном примере это точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеназывается точкой строгого минимума, если существует её Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике-окрестность, для всех значений Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикекоторой за исключением самой точки Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикевыполнено неравенство Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. На чертеже – точка «а».

Примечание: требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеназывают точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!):

Точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеназывается точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеданной окрестности выполнено неравенство Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.
Точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеназывается точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеданной окрестности выполнено неравенство Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеили «принцессой болота» Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Как разновидность, встречается остриё, направленное вверх либо вниз, например, минимум функции Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикев точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Да, кстати, о королевских особах:
– значение Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеназывают максимумом функции;
– значение Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеназывают минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание: иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикемаксимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеминимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума, а экстремумы – локальными экстремумами. Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум. Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Чайникам на первых порах рекомендую создать и осмыслить небольшой терминологический конспект, чтобы не путать Иран с Ираком.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы 😉

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной.

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Тогда:

– если производная Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикена интервале, то функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикевозрастает на данном интервале;

– если производная Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикена интервале, то функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеубывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепринадлежит области определения функции Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикелибо значения Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикене существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.

Производная кубической функции Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикенеотрицательна:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикедля любого «икс».
Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикескорость изменения функции равна нулю, о чём в рупор кричит производная: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. И вот вам, кстати, сразу пример, когда в критической точке нет максимума или минимума функции.

Функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеобитает на промежутке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, а её производная неравенством Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеоднозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеВ критической точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция определена, но не дифференцируема.
С геометрических позиций тут нет общей касательной. Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.

Примечание: согласно информации первого параграфа, точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикене является точкой минимума функции Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике(хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции
и слева и справа от данных точек. Так же не считаются точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).

Стандартная гипербола Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеидёт «сверху вниз», то есть данная функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикедля любого «икс» кроме нуля.
Здесь, к слову, точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикевообще не считается критической, так как функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикебанально в ней не определена.

Экспоненциальная функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикерастёт на всей числовой прямой (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике). Исследуя же производную Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, легко сделать вывод, что функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикенаоборот – убывает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Что делает натуральный логарифм Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикесегодня вечером?
Растёт:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикена интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи её производной Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Там, где график косинуса находится над осью Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, синус растёт. Обратно – где график Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикерасположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось (Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике), синусоида Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикедостигает минимума или максимума.

Аналогичная история с косинусом Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи его производной Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике(второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков).

Производная тангенса Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикенесёт бодрую весть о том, что функция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикевозрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикерастёт – производная здесь положительна: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.
При Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеопределена, но не дифференцируема. Однако в критической точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикесуществует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции: где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции:

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Решение:

1) На первом шаге нужно найти область определения функции, а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеесть экстремум, то Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикелибо значения Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикене существует.

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно, и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи её критическая точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике:

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Получилось обычное квадратное уравнение:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Положительный дискриминант доставляет две критические точки:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Примечание: корни можно традиционно обозначить через Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, однако в ходе полного исследования функции удобнее обойтись без подстрочных индексов, так как они вносят лишние оговорки и путаницу

Итак, Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– критические точки

Но экстремумов в них может и не оказаться, поэтому нужно продолжить решение.

первое достаточное условие экстремума,

которое вкратце формулируется следующим образом: пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Тогда:

если при переходе через точку Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепроизводная меняет знак с «плюса» на «минус», то в данной точке функция достигает максимума;

если при переходе через точку Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепроизводная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке функция достигает минимума.

Тут всё очень и очень наглядно, представьте – функция росла-росла-росла, и после прохождения некоторого рубежа вдруг стала убывать. Максимум. Во втором случае график шёл-шёл-шёл «сверху вниз», а при переходе через точку Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеразвернулся в противоположную сторону. Минимум.

Исходя из вышесказанного, вытекает логичное решение: на числовой прямой нужно отложить точки разрыва функции, критические точки и определить знаки производной на интервалах, которые входят в область определения функции.

В рассматриваемом примере с непрерывностью на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикевсё тип-топ, поэтому работаем только с найдёнными критическими точками.

Напрашивается метод интервалов, который уже применялся для определения интервалов знакопостоянства функции. Так почему бы его не использовать для производной? Ведь производная тоже простая смертная функция, найдёшь её – и делай всё, что хочешь.

Внимание! Сейчас мы работаем с ПРОИЗВОДНОЙ, а не с самой функцией!

Перед нами парабола Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, ветви которой направлены вниз, и многим читателям уже понятны знаки производной, но ради повторения снова пройдёмся по всем этапам метода интервалов. Отложим на числовой прямой найденные критические точки:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
I) Берём какую-нибудь точку интервала Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи находим значение производной в данной точке. Удобнее всего выбрать Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, значит, производная отрицательна на всём интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

II) Выбираем точку Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, принадлежащую интервалу Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, и проводим аналогичное действие:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, следовательно, Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикена всём интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

III) Вычислим значение производной в наиболее удобной точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепоследнего интервала:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, поэтому Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикев любой точке интервала Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

В результате получены следующие знаки производной:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Время собирать урожай!

На интервалах Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепроизводная отрицательна, значит, САМА ФУНКЦИЯ Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикена данных интервалах убывает, и её график идёт «сверху вниз». На среднем интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, значит, функция возрастает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, и её график идёт «снизу вверх».

При переходе через точку Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепроизводная меняет знак с «–» на «+», следовательно, в этой точке функция достигает минимума:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

При переходе же через точку Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепроизводная меняет знак с «+» на «–», и функция достигает максимума в данной точке:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Ответ: функции возрастает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи убывает на интервалах Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает минимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, а в точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– максимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Остерегайтесь сокращенной записи Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Под значками Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеобычно понимают минимальное и максимальное значение, а это, как пояснялось выше, далеко не то же самое, что минимум и максимум.

Пример так тщательно провёрнут через мясорубку, что грех не привести графическое изображение всех событий. Незнакомец теоретической части статьи снимает шляпу:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Что произошло? На первом этапе мы нашли производную Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи критические точки Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике(в которых парабола пересекает ось абсцисс). Затем методом интервалов было установлено, где Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике(парабола ниже оси) и Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике(парабола выше оси). Таким образом, с помощью производной мы узнали интервалы возрастания/убывания и экстремумы «синей» функции.

Помимо 1-го достаточного условия экстремума существует и 2-е достаточное условие, однако для исследования функций оно малоинформативно и больше используется в экстремальных задачах.

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике…Итак, решение нашего уравнения: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции. Поэтому повысим степень:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Исследовать функцию с помощью первой производной
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение:

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Решим уравнение Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Таким образом, получаем три критические точки:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, принадлежащую интервалу Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, и выполним подстановку: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, а значит, производная отрицательна и на всём интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи знаменатель Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикестрого положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикевозрастает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи убывает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает максимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает минимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение 😉

При переходе через точку Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепроизводная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент: точки Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикене считаются критическими – в них функция не определена. Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ: функция возрастает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи убывает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеВ точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикедостигается максимум функции: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, а в точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– минимум: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеесть две вертикальные асимптоты Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи наклонная асимптота Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Вот наш герой:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеэкстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Найти экстремумы функции
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается.
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

Как отмечалось, в ходе выполнения задания всегда нужно внимательно следить за точками разрыва и интервалами, которые не входят в область определения функции. Казус состоит в том, что иногда производная может существовать на таких участках! Простейший пример: производная натурального логарифма Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеопределена на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, но сам логарифм – нет. Интервалы, которые не входят в область определения функции, НЕЛЬЗЯ рассматривать и у производной!

Типичный барьерный риф:

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Приближаю оформление к боевым условиям и прекращаю нумерацию пунктов алгоритма.

Решение: в Примере 11 статьи об интервалах знакопостоянства была найдена область определения данной функции: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, знание которой КРИТИЧЕСКИ ВАЖНО учитывать в нашей задаче:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Вроде бы всё хорошо: у нас есть корень Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи крайние точки области определения:Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Но производная проявила своеволие – она в отличие от свого родителя определена и на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Более того, точка Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике(не критическая. ;)) вошла в этот нехороший интервал! Что делать? Мама всегда права, поэтому определяем знаки производной только на интервалах области определения функции:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Функция убывает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи возрастает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Точки экстремума (и, понятно, экстремумы) ОТСУТСТВУЮТ. Значение Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеосталось не при делах, так как на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикепопросту нет графика функции Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

Ответ: функция убывает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи возрастает наЧто такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, экстремумы отсутствуют.

Будьте очень внимательны, если вам встретится логарифм или корень – в подобных примерах просто необходимо увАжить область определения функции!

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Это приятный разгрузочный пример для самостоятельного решения.

И заключительный пример посвящен другому приключению непослушной дочери:

Найти точки экстремума функции
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Решение: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Найдём критические точки:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

На всякий случай детализирую преобразования знаменателя:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, затем сокращаем числитель и знаменатель на «икс».

Таким образом, Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– критические точки. Почему значения Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, обращающие знаменатель производной в ноль, следует отнести к критическим точкам? А дело в том, что САМА-ТО ФУНКЦИЯ в них определена! Ситуация необычна, но клубок распутывается по стандартной схеме.

Определим знаки производной на полученных интервалах:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Функция возрастает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи убывает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает минимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.
В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает максимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.
В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикенет экстремума.

Ответ: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– точка минимума, Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– точка максимума

По условию требовалось найти точки экстремума и что-то добавлять излишне. Но в решении как бы невзначай вычислены и сами экстремумы 😉

Давайте посмотрим на на эту оригинальную картину:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– классическое остриё, направленное вниз, при Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– «нормальный» максимум. В точках Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция не дифференцируема, однако в них существуют бесконечные производные и вертикальные касательные (см. теорию производной).

. да, родители и дети бывают разными. Но мама права в 95% случаев с погрешностью Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. Я проводил статистическое исследование.

Пример 2: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– критическая точка.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Ответ: функция убывает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи возрастает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает минимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Пример 4: Решение:

1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.
2) Найдём критические точки:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике, Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– критические точки.
3) Методом интервалов определим знаки производной:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает минимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.
В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеэкстремум отсутствует.

Ответ: в точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает минимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции

Пример 5: Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.

2) Найдём критические точки:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– критическая точка.
3) Определим знаки производной:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Ответ: функция возрастает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи убывает на Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике. В точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеона достигает максимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Пример 7: Решение:

Область определения: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике.
Найдём критические точки:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике– критическая точка.
Определим знаки производной:
Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике
Ответ: функция убывает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеи возрастает на интервале Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикеВ точке Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математикефункция достигает минимума: Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Что такое экстремум в математике. Смотреть фото Что такое экстремум в математике. Смотреть картинку Что такое экстремум в математике. Картинка про Что такое экстремум в математике. Фото Что такое экстремум в математике Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *