Что такое эквивалентное напряжение

Техническая механика

Сопротивление материалов

Гипотезы прочности

Понятие эквивалентного напряжения

В предыдущей статье мы рассматривали случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, и суммарное напряжение в каждой точке можно было рассчитать простым алгебраическим сложением. Однако часто имеют место случаи сочетания основных деформаций, при которых в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения, распределенные по площади сечений неравномерно и по разным законам.
Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, поэтому при оценке прочности детали приходится основываться на механических характеристиках данного материала, полученных из диаграммы растяжения.

Как известно, при растяжении прочность пластичных материалов характеризуется пределом текучести, а прочность хрупких материалов – пределом прочности. Эти напряжения считаются предельными, и в зависимости от их величины вычисляют допускаемые напряжения. Для упрощения расчетов величины напряжений при сочетании деформаций вводят понятие эквивалентного (равноопасного) напряжения.

Формулы для определения эквивалентных напряжений, которые затем сопоставляют с предельно допускаемыми, выводят на основании гипотез прочности.

Гипотезы прочности – это научные предположения об основной причине достижения материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.

В настоящее время при вычислении эквивалентных напряжений используют три гипотезы прочности: гипотезу наибольших касательных напряжений (или третья гипотеза прочности), гипотезу Мора (четвертая гипотеза прочности) и энергетическую гипотезу (пятая гипотеза прочности).
Применявшиеся ранее при расчетах первая (гипотеза Галилея) и вторая (гипотеза Мариотта-Сен-Венана) гипотезы прочности, основанные соответственно на наибольших нормальных напряжениях и линейных деформациях, в настоящее время не используются, поскольку плохо подтверждаются опытами.

Рассмотрим подробнее суть каждой из перечисленных гипотез прочности.

Третья теория прочности

Гипотеза наибольших касательных напряжений

Согласно этой гипотезе, предложенной в конце XVIII в., опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины.

Если рассмотреть элементарную площадку в наклонном сечении продольно растягиваемого бруса, то при помощи простых геометрических выкладок можно убедиться, что касательное напряжение в такой площадке достигает максимальной величины, когда сечение располагается под углом 45˚ к оси бруса. При этом величина касательного напряжения будет равна половине разности между максимальным и минимальным нормальным напряжением:

Решая это уравнение, получим:

(Здесь и далее знак √ обозначает квадратный корень).

Таким образом, главные напряжения в наклонных площадках в зонах точки А бруса определяют по формулам:

В результате мы получили формулу для вычисления эквивалентных напряжений:

Гипотеза наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами, в особенности для пластичных материалов.

Четвертая теория прочности

Гипотеза Мора

Гипотеза Мора, предложенная им в начале XX века может быть сформулирована так:
Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

По сути, это усовершенствованная и обобщенная гипотеза наибольших касательных напряжений, рассмотренная ранее, тем не менее, она дает возможность определять эквивалентные напряжения в балках с меньшей степенью погрешности и применима при расчетах на прочность как пластичных, так и хрупких материалов.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений, согласно гипотезе Мора имеет вид:

Очевидно, что при k = 1 формула Мора тождественна формуле третьей теории прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений).

Пятая, или энергетическая теория прочности

Энергетическая гипотеза

При деформации элементарной частицы тела в общем случае изменяются ее форма и объем. Таким образом, полная потенциальная энергия деформации состоит из двух частей: энергии формоизменения и энергии изменения объема.
Энергетическая гипотеза прочности, предложенная в начале XX века в качестве критерия перехода материала в предельное состояние принимает только энергию формоизменения.

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений в соответствии с пятой (энергетической) теорией прочности имеет вид:

Эта формула хорошо подтверждается опытным путем для пластичных материалов и получила широкое распространение.

Источник

Научная электронная библиотека

Лекция 11. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Понятия о гипотезе прочности, об эквивалентном напряжении, о предельных напряженных состояниях. Пять теорий прочности.

Одна из важных задач сопротивления материалов состоит в создании теорий прочности, на основе которых можно проверить прочность элементов в сложном напряжённом состоянии, исходя из прочностных характеристик. Существует ряд теорий прочности; в каждом отдельном случае пользуются той из них, которая в наибольшей степени отвечает характеру нагружения и разрушения материала.

В каждой теории прочности используется определенная гипотеза прочности, которая представляет собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Эквивалентное напряжение – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

.

Первая теория прочности (гипотеза наибольших нормальных напряжений).

Согласно этой теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по модулю главное напряжений достигает предельного значения для заданного материала при простом растяжении (сжатии). Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

или

Данная теория прочности дает положительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов.

Вторая теория прочности (гипотеза наибольших линейных деформаций).

Условия прочности при растяжении и сжатии имеют вид:

Экспериментальная проверка данной гипотезы выявила ряд недостатков, поэтому она почти не применяется для расчетов.

Третья теория прочности (гипотеза наибольших касательных напряжений).

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

или .

Во многих случаях третья теория прочности дает приемлемые результаты.

Четвертая теория прочности (гипотеза энергии формоизменения).

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает предельного для данного материала значения:

Пятая теория прочности (гипотеза прочности Мора).Данная гипотеза прочности учитывает различие в свойствах материалов при растяжении и сжатии. Условие прочности по гипотезе Мора имеет вид:

Источник

Понятие о критериях прочности. Эквивалентное напряженное состояние и эквивалентное напряжение

Сущность критериев прочности состоит в замене трехосного напряженного состояния эквивалентным линейным – равноопасным заданному.

В основе вывода каждого критерия прочности и условия прочности применительно к сложным напряженным состояниям лежит соответствующаягипотеза опричине достижения предельного состояния (разрушения) в твердом деформируемом теле, по существу, об условии равнопрочности напряженных состояний.

Согласно критерию наибольших нормальных напряжений условие прочности имеет вид

где σ_adm или [σ] – это допускаемое напряжение)

В соответствии с критериями наибольших линейных деформаций условие прочности записывается следующим образом

На основании критерия наибольших касательных напряжений условие прочности представляется в виде

Согласно энергетическому критерию условие прочности имеет вид

По теории Мора условие прочности записывается следующим образом

Эквивалентное напряжение – это воображаемая условная расчетная величина, а не какое-то реально возникающее напряжение. Значение эквивалентного напряжения зависит не только от заданного типа напряженного состояния (значений соответствующих ему главных напряжений), но и от принятого для расчета прочности критерия эквивалентности напряженного состояния. Поэтому нельзя говорить, что эквивалентное напряжение возникает в некоторой точке. Следует говорить об определении эквивалентного напряжения для исследуемой точки.

Эквивалентное напряжение – напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным линейным, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

.

Установлено, что в каждой точке нагруженного тела, в общем случае действует три главных напряжения.

Опыт показывает, что поведение материалов, т. е. начало стадии пластических деформаций и характер разрушения (хрупкий, вязкий), зависят от величины, знака и соотношения главных напряжений.

При простом напряженном состоянии ответ на этот вопрос дают диаграммы растяжения или сжатия. Предельными напряжениями считаются такие, при которых хрупкий материал разрушается, а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деформации.

При сложном напряженном состоянии решение этой задачи значительно сложнее, т. к. число различных сочетаний из главных напряжений неограниченно велико, а опыт технически очень сложен.

Вследствие этого при составлении условий прочности материала при сложном напряженном состоянии мы можем располагать только допускаемыми напряжениями, установленными по результатам испытаний на простое растяжение или сжатие.

В связи с этим возникает задача: зная максимально допустимые безопасные напряжения при простом растяжении, найти эквивалентную, т. е. равно безопасную комбинацию из главных напряжений при сложном напряженном состоянии.

Единственным практическим путем решения этой задачи является установление общих критериев разрушения, которые позволили бы оценить опасность перехода материала в предельное состояние при сложном напряженном состоянии, используя лишь данные опытов на растяжение.

Критерии разрушения или гипотезы прочности представляют собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материалов того или иного фактора, сопутствующего процессу деформации и разрушения материалов.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала, являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Который из этих факторов является главной причиной разрушения установить не удается, т. к. невозможно наблюдать действие какого-нибудь одного фактора изолированно от остальных.

При сложном напряженном состоянии следует говорить не о предельном напряжении, а о предельном напряженном состоянии. В качестве предельного состояния в опасной точке детали принимается переход материала в окрестности данной точки из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающееся в образовании трещин.

Условимся рассматривать такие случаи напряженного состояния, когда все нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру, вплоть до наступления предельного напряженного состояния. При этом главные напряжения также возрастают пропорционально.

Коэффициентом запаса прочности при сложном напряженном состоянииназывается число, на которое следует умножить все компоненты тензора напряжений (или s₁, s₂, s₃), чтобы данное напряженное состояние стало предельным.

Равноопасными называются такие напряженные состояния, для которых коэффициенты запаса прочности равны.

Это дает возможность сравнивать все напряженные состояния между собой, заменяя их равноопасным одноосным напряженным состоянием (растяжением).

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопаснымзаданному напряженному состоянию (рис. 9.1).

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

.

(9.1)

Условие наступления предельного состояния имеет следующий вид:

или .

13. Теория максимальных нормальных напряжений. Теория максимальных линейных деформаций.

Источник

Условие прочности

Как определить условие прочности балки или иного элемента конструкции при различных видах нагрузок, в том числе и комбинированных? Попробуем разобраться в этом вопросе и сформулировать ответ в сжатом, удобном и понятном виде! Постараемся рассмотреть.

. все возможные виды воздействий при расчете на прочность.

Балки и стержни в конструкциях могут быть нагружены в разных сечениях различными по величине и направлению силами и моментами. При достижении этими нагрузками некоторых предельных значений, как правило, в балке начинаются пластические деформации, а при дальнейшем росте нагрузок происходит разрушение материала. Описанная последовательность характерна для металлов, в том числе для сталей. Однако есть много материалов, которые не обладают пластичностью — бетон, кирпич, стекло, … Разрушение элементов из этих материалов происходит при отсутствии видимых значимых деформаций.

Приведу несколько примеров, помогающих понять вышесказанное.

Берем в руки кусок стальной проволоки и пытаемся согнуть. Как только нормальные напряжения в сечении проволоки, расположенном между руками превысят предел текучести, проволока согнется. Когда мы перестанем прикладывать усилие, проволока останется согнутой, лишь немного отпружинив к первоначальному своему состоянию. Однако, как объект, целостность проволока сохранит, потеряв первоначальную форму!

Попытаемся согнуть тонкий стеклянный стержень. Так как стекло не обладает пластичностью при обычных условиях, то стержень разломится на два куска при достижении нормальными напряжениями предела прочности. Элемент разрушился, потерял первоначальную целостность.

Одноосные напряженные состояния.

Когда нагрузка действует вдоль или вокруг одной оси, то найти её предельно допустимое значение достаточно просто. «Шпаргалка», изображенная на рисунке, подскажет вам решение при любых видах деформирующих воздействий.

Рассмотрим вкратце все пункты «шпаргалки».

3. Очень часто при сжимающих нагрузках происходит выход элемента из устойчивости задолго до наступления деформаций и разрушений от сжатия.

Коэффициент продольного изгиба φ зависит от гибкости стержня и рассчитывается по весьма замысловатым формулам. Подробно в деталях эта тема раскрыта в статье «Расчет на устойчивость сжатых стержней».

Площадь смятия Aсм всегда определяется на основе геометрической схемы и считается индивидуально по обстановке.

6. При кручении максимальный допустимый момент Tmax не должен превышать произведения допустимого касательного (тангенциального) напряжения при кручении для данного материала [τкр] на момент сопротивления сечения кручению Wкр в наиболее опасном месте элемента.

7. Максимальный изгибающий балку момент Мmax не должен превышать произведения допустимого напряжения при изгибе для данного материала [σи] на момент сопротивления сечения изгибу W .

В самой популярной на сегодня статье этого блога «Расчет балки на изгиб – «вручную»!» представлен универсальный алгоритм и пример расчета балок на изгиб. Если не читали – рекомендую!

Площадь является главной геометрической характеристикой при расчетах на растяжение, сжатие, смятие, срез, устойчивость. Моменты сопротивления сечения – это главные геометрические характеристики при выполнении расчетов на изгиб и кручение!

На рисунке ниже изображено сечение балки, вырезанное в перпендикулярном направлении относительно оси z со сложным напряженным состоянием. Рядом показано равноопасное сечение той же балки с простым одноосным напряженным состоянием — растяжением.

Эквивалентное напряжение – это напряжение одноосного растяжения, создающее равнозначную опасность необратимой деформации или разрушения той опасности, которую создает сложное многоосное напряженное состояние!

Существуют первая, вторая, третья и четвертая теории прочности для определения эквивалентных напряжений.

Сегодня практическую ценность имеет третья теория прочности, базирующаяся на критерии пластичности:

σэкв =( σ 2 +4* τ 2 ) 0.5 [σт]

Равновесную третьей практическую ценность имеет и четвертая – энергетическая — теория прочности:

σэкв =( σ 2 +3* τ 2 ) 0.5 [σт]

Общий порядок проверочных расчетов на прочность подразумевает построение эпюр, нахождение наиболее нагруженного (опасного) сечения и проверку условия прочности!

При проектировочных расчетах ищутся размеры сечения при известных нагрузках и допустимых напряжениях, то есть решается задача обратная предыдущей.

Попытку передать свое восприятие одних из основополагающих моментов науки Сопротивление материалов я сделал. Мне хотелось максимально просто, доходчиво, не скучно и предельно коротко рассказать о том, что такое условие прочности элемента конструкции и вообще – что такое прочность и как с ней работать.

О том, что получилось, и есть ли кому-нибудь польза от прочтения этой статьи, я надеюсь узнать из ваших комментариев, уважаемые читатели блога.

Для получения информации о выходе новых статей на этом блоге прошу Вас подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Загляните в вашу почту и подтвердите подписку кликом по ссылке.

Источник

Эквивалентное напряжение

Используя эквивалентное напряжение, реальное, обычно трехмерное напряженное состояние в компоненте в условиях прочности или текучести можно сравнить с характеристическими значениями из испытания на одноосное растяжение (характеристические значения материала, например, предел текучести или предел прочности ).

содержание

Основы

Элементы вектора главных напряжений или тензора напряжений теперь можно преобразовать в скаляр, который должен удовлетворять двум условиям:

Гипотеза об изменении формы (фон Мизес)

Описание в общем напряженном состоянии:

Описание в основном напряженном состоянии:

Описание в плоском напряженном состоянии:

Описание в плоскости состояния искажения при:

Описание в инвариантном представлении:

Гипотеза изменения формы представляет собой частный случай критерия течения Друкера-Прагера, в котором предельные напряжения для сжатия и растяжения одинаковы. σ c <\ displaystyle \ sigma _ > σ т <\ displaystyle \ sigma _>

Гипотеза напряжения сдвига (Треска, Кулон, Сен-Венан, Гость)

Пространственное состояние напряжения:

Уровни напряженного состояния (предусмотрены и имеют разные признаки): σ Икс <\ displaystyle \ sigma _ > σ y <\ displaystyle \ sigma _ >

Основная гипотеза нормального стресса (Рэнкин)

Предполагается, что компонент выходит из строя из-за наибольшего нормального напряжения. В круге напряжений Мора критической точкой является максимальное главное напряжение. Гипотеза используется для материалов, которые разрушаются с разделительным разрушением без течения:

Пространственное состояние напряжения:

Уровень стрессового состояния:

Квадратичный осесимметричный критерий (Буржинский-Ягн)

Квадратичные критерии могут быть решены явно в зависимости от того, что способствовало их практическому использованию. σ е q <\ displaystyle \ sigma _ <\ mathrm >>

Коэффициент Пуассона по напряжению можно изменить с помощью

вычислять. Применение осесимметричных критериев хрупкого разрушения

не был должным образом исследован.

Комбинированный осесимметричный критерий (Хубер)

Критерий Хубера состоит из эллипсоида Бельтрами

Критерий был разработан в 1904 году. Однако изначально она не прижилась, так как некоторые ученые понимали ее как прерывистую модель.

Единая теория силы (Мао-Хун Юй)

Единая теория прочности (UST) состоит из двух шестиугольных пирамид Сайира, повернутых друг относительно друга на 60 °:

Числа сокращения Пуассона при вытягивании и толкании следуют как

Косинусный подход (Альтенбах-Больчун-Колупаев)

Часто гипотезы прочности делаются с использованием угла напряжения

потому что ⁡ 3 θ знак равно 3 3 2 Я. 3 ′ Я. 2 ′ 3 2 <\ displaystyle \ cos 3 \ theta = <\ frac <3 <\ sqrt <3>>> <2>> <\ frac ‘> ‘ ^ <\ frac <3>< 2>>>>>

сформулированы. Рассматриваются несколько критериев поведения изотропных материалов.

встречаются, что является результатом требования выпуклости. Улучшение третьего условия предлагается на фиг.

Источник