даны две коробки имеющие форму правильной четырехугольной призмы первая коробка вдвое выше второй

Задание №13 ЕГЭ по математике базового уровня

Наглядная стереометрия

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры — например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии — они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 13МБ1

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения:

Решение:

Следовательно, объем цилиндра равен π • r 2 • h

Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

Полученное уравнение решим относительно второй высоты h₂.

h₂ – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

Вариант 13МБ2

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Алгоритм выполнения:

Решение:

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

Найдем отношение объемов.

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы. По условию c₁ = 4,5 c₂ (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй), b₂ = 3 b₁ (вторая коробка втрое шире первой). Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a₂ = 3 a₁ Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

Сократим получившуюся дробь на a₁ · b₁ · c₂. Получим:

Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй. Ответ: 2.

Вариант 13МБ3

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Алгоритм выполнения:

Решение:

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

Найдем отношение объемов.

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c₁ = 1,5 c₂ (первая коробка в полтора раза выше второй), b₂ = 3 b₁ (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a₂ = 3 a₁

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

Сократим получившуюся дробь на a₁ · b₁ · c₂. Получим:

Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй. Ответ: 6.

Вариант 13МБ4

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24

Вариант 13МБ5

Алгоритм выполнения

Решение:

.

Подставляем в полученное отношение числовые данные:

.

Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

Вариант 13МБ6

Алгоритм выполнения

Решение:

2 л=2·1000=2000 (куб.см).

Вариант 13МБ7

Алгоритм выполнения

Решение:

.

.

Вариант 13МБ8

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Алгоритм выполнения

Решение:

Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.

Вариант 13МБ9

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?

Алгоритм выполнения

Решение:

Т.к. форма коробок – правильная призма, то в их основании лежат квадраты. Поэтому можем обозначить длину и ширину каждой коробки одинаково. Пусть для первой коробки это а₁, а для второй а₂. Высоты коробок обозначим соответственно h₁ и h₂. Объемы – V₁ и V₂.

Вариант 13МБ10

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Алгоритм выполнения

Решение:

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

Применяем св-во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V₁, малого – V₂. Получим:

.

Поскольку по условию V₁=1600 мл, то V₂=1600/8=200 мл.

Вариант 13МБ11

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?

Алгоритм выполнения

Решение:

Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:

Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

Вариант 13МБ12

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

Алгоритм выполнения

Решение:

Найдем числовое значение полученного отношения:

Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

Вариант 13МБ13

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Алгоритм выполнения

Решение:

Вычисляем m₂:

Вариант 13МБ14

В бак, имеющий форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, ее полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после ее погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

Алгоритм выполнения

Решение:

Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

Источник

Даны 2 коробки имеющие форму правильной. Правильная четырехугольная призма

Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники

Элементы правильной четырехугольной призмы

На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:

Свойства правильной четырехугольной призмы

Формулы для правильной четырехугольной призмы

Указания к решению задач

Задача.

√ 144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Задача

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, которую я разобрал ниже, или же задачи на модификации фигуры — например, у которой отрезали вершины. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии — они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.

Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 13МБ1

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения:

Решение:

Запишем формулу объема цилиндра.

Следовательно, объем цилиндра равен π r 2 h

Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.

Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.

Левые части равны, значит можно приравнять и правые.

π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2

h 2 – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.

h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π r 2 2

Подставим r 2 = 4 r 1 в выражение для h 1.

Получим: h 2 =(π r 1 2 h 1)/ π (4 r 1) 2

Полученную дробь сократим на π, получим h 2 =(r 1 2 h 1)/ 16 r 1 2

Подставим известные данные: h 2 = 80/ 16 = 5 см.

Вариант 13МБ2

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Алгоритм выполнения:

Решение:

V 1 = a 1 · b 1 · c 1

V 2 = a 2 · b 2 · c 2

Найдем отношение объемов.

По условию c 1 = 4,5 c 2 (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй),

b 2 = 3 b 1 (вторая коробка втрое шире первой).

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (3a 1 · 3b 1 · c 2) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2)

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 4,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2) = 4,5/9 = ½.

Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй.

Вариант 13МБ3

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй?

Алгоритм выполнения:

Решение:

Запишем формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы.

Запишем в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае.

V 1 = a 1 · b 1 · c 1

V 2 = a 2 · b 2 · c 2

Найдем отношение объемов.

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2)

Преобразуем полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы.

По условию c 1 = 1,5 c 2 (первая коробка в полтора раза выше второй), b 2 = 3 b 1 (вторая коробка втрое шире первой).

Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a 2 = 3 a 1

Подставим эти выражения в формулу отношения объемов:

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1)/ (a 2 · b 2 · c 2) = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (3a 1 · 3b 1 · c 2) = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2)

V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 1,5c 2)/ (9a 1 · b 1 · c 2) = 1,5/9 = 15/(10 · 9) = 3/(2 · 9) = 1/ (2 · 3) = 1/6.

Объем первой коробочки в 6 раза меньше объема второй.

Вариант 13МБ4

От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней.

Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 3 = 24

Вариант 13МБ5

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?

Алгоритм выполнения

Решение:

Запишем искомое отношение объемов:

.

Подставляем в полученное отношение числовые данные:

.

Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.

Вариант 13МБ6

В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Алгоритм выполнения

Решение:

Отсюда получаем: V 2 =1,4·5=7 (л).

Т.о., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна:

2 л=2·1000=2000 (куб.см).

Вариант 13МБ7

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h=80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Алгоритм выполнения

Решение:

Сокращаем на π, выражаем h 2 :

.

Вариант 13МБ8

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все ее вершины (см. рис.). Сколько вершин у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Алгоритм выполнения

Решение:

Вершины призмы формируют вершины оснований (верхнего и нижнего). Поскольку основаниями правильной треугольной призмы являются правильные треугольники, то вершин у такой призмы 3·2=6 штук.

Спилив вершины призмы, получим вместо них небольшие (по сравнению с размерами самой призмы) треугольники. Это отображено и на рисунке. То есть вместо каждой вершины образуется 3 новых. Следовательно, их кол-во станет равным: 6·3=18.

Вариант 13МБ9

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырехугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза ниже второй, а вторая второе уже первой. Во сколько раз объем первой коробки больше объема второй?

Алгоритм выполнения

Решение:

Тогда получаем отношение:

Вариант 13МБ10

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Алгоритм выполнения

Решение:

Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны.

По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½.

.

Поскольку по условию V 1 =1600 мл, то V 2 =1600/8=200 мл.

Вариант 13МБ11

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?

Алгоритм выполнения

Решение:

Объем шара вычисляется по ф-ле: .

Отсюда объем 1-го (большего) шара равен , 2-го (меньшего) шара – .

Составим отношение объемов:

Подставляем в полученную формулу числовые данные из условия:

Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.

Вариант 13МБ12

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

Алгоритм выполнения

Решение:

Составим отношение этих площадей:

Найдем числовое значение полученного отношения:

Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.

Вариант 13МБ13

Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

Алгоритм выполнения

Решение:

Алгоритм выполнения

Решение:

Погруженная в жидкость деталь занимает объем, соответствующий столбу жидкости, высота которого равна 10 см, т.е. разнице, возникшей между начальной высотой жидкости и конечной (после погружения). Это означает, что деталь имеет объем, равный части жидкости, занимающей объем 40х40х10 (см).

Вопрос: Определить, поместится ли одна коробка внутри другой

Условие: Даны размеры двух коробок. Определить, поместиться ли одна коробка внутрь другой?!

максимум 13 влазит

Вопрос: Можно ли разместить одну из коробок внутри другой?

Почему то не правильно работает, помогите.
вот условие:Есть две коробки, первая размером A1×B1×C1, вторая размером A2×B2×C2. Определите, можно ли разместить одну из этих коробок внутри другой, при условии, что поворачивать коробки можно только на 90 градусов вокруг ребер.
Формат входных данных
Программа получает на вход числа A1, B1, C1, A2, B2, C2.
Формат выходных данных
Программа должна вывести одну из следующих строчек:
Boxes are equal, если коробки одинаковые,
The first box is smaller than the second one, если первая коробка может быть положена во вторую,
The first box is larger than the second one, если вторая коробка может быть положена в первую,
Boxes are incomparable, во всех остальных случаях.