Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
Теорема о циркуляции
Электростатическое поле характеризуется циркуляцией его вектора напряженности по замкнутому полю и равняется нулю. Утверждение называют теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.
Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса
Так как линии на напряженности электростатического поля незамкнуты, то это применяют в качестве следствия. Их начало идет с положительных зарядов, а заканчивается отрицательными или их уходом в бесконечность. Теорема верна для статичных зарядов.
Еще одним следствием является непрерывность тангенциальных составляющих напряженности. Это говорит о том, что ее компоненты, являющиеся касательными к выбранной любой поверхности во всякой точке, на обеих сторонах содержат одинаковые значения.
Для вычисления ротора применяют формулы:
Представление теоремы о циркуляции в дифференциальном виде:
Дан рисунок 3 с изображением электростатического поля. Что можно сказать о его характеристиках?
Решение
По рисунку видно, что существование электростатического поля невозможно. Для выделенного пунктиром контура циркуляции вектора напряженности применяется формула:
Это невозможно, так как существует противоречие теоремы о циркуляции. Определение напряженности поля (измеряется в вольтах на метр В м или в ньютонах на кулон Н К ) идет с помощью густоты силовых линий, причем с различными значениями. Работа по замкнутому кругу не равна нулю, значит, циркуляция вектора напряженности также нулю не равняется.
Показать, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков, основываясь на теореме о циркуляции.
Решение
Выполнение теоремы о циркуляции обусловлено наличием электростатического поля. Его находят из формулы:
Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля
Взаимодействие неподвижных зарядов реализуется посредством электростатического поля. Описывают электростатическое поле при помощи вектора напряженности ($\overline$), который определен как сила ($\overline$), действующая на единичный положительный заряд, размещенный в рассматриваемой точке поля:
Электростатические силы являются консервативными, это значит, что их работа по замкнутой траектории ($L$) равна нулю:
В дифференциальной форме теорему о циркуляции записывают как:
\[rot\ \overline=0\ \left(4\right).\]
Такой вид записи как (4) удобно использовать для проверки потенциальности векторного поля. Потенциальное поле является безвихревым.
Из теоремы о циркуляции следует, что линии электростатического поля не бывают замкнутыми, они начинаются на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля
Физическая величина ($\overline$), являющаяся характеристикой магнитного поля, равная:
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция:
Если направление обхода контура связывается с направлением тока правилом правого винта, то ток в сумме (5) стоит со знаком плюс.
Теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля доказывают, опираясь на закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции.
Примеры задач с решением
Решение. Из теоремы о циркуляции, которая записана в дифференциальном виде:
\[rot\ \overline=0\ \left(1.1\right).\]
следует, что если вихрь поля равен нулю, то поле потенциально. Используя определение ротора:
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
Вы будете перенаправлены на Автор24
Теорема о циркуляции
Ранее мы выяснили, что на заряд (q), который находится в электростатическом поле, действуют консервативные силы, работа ($A$) которых на любом замкнутом пути (L) равна нулю:
Для единичного положительного заряда можем записать:
Интеграл в левой части уравнения (2) есть циркуляция вектора напряженности по контуру L. Характерным свойством электростатического поля является то, что циркуляция его вектора напряжённости по любому замкнутому контуру равна нулю. Такое утверждение называется теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.
Докажем теорему о циркуляции на том основании, что работа поля по перемещению заряда не зависит от траектории перемещения заряда в электростатическом поле, что выражается равенством:
Выражение (4) представим как:
Следствие теоремы о циркуляции
Следствием теоремы о циркуляции является то, что линии напряженности электростатического поля незамкнуты. Они начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Теорема верна именно для статичных зарядов. Другое следствие теоремы: непрерывность тангенциальных составляющих напряженности (в отличие от нормальных составляющих). Это значит, что компоненты напряженности, которые являются касательными к выбранной любой поверхности во всякой ее точке, имеют по обе стороны поверхности равные значения.
Выделим произвольную поверхность S, которая опирается на контур L (рис.1).
Готовые работы на аналогичную тему
В соответствии с формулой Стокса (теоремой Стокса) интеграл от ротора вектора напряженности ($rot\overrightarrow$), взятый по поверхности S равен циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность:
При практическом вычислении ротора чаще других используют формулы:
Так как в соответствии с уравнением (6) циркуляция вектора напряжённости равна нулю, то мы получаем:
Условие (8) должно выполняться для любой поверхности S, которая опирается на контур L. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение:
причем для каждой точки поля.
Задание: На рис. 3 изображено электростатическое поле. Что можно сказать о характеристиках данного поля из рисунка?
О данном поле можно сказать, что существование такого электростатического поля невозможно. Если выделить контур (он изображен пунктиром). Для такого контура циркуляция вектора напряженности:
что противоречит теореме о циркуляции для электростатического поля. Напряженность поля определяется густотой силовых линий, она в разных частях поля не одинакова, в результате работа по замкнутому контуру будет отличаться от нуля, следовательно, циркуляция вектора напряженности не равна нулю.
Задание: Исходя из теоремы о циркуляции, покажите, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков.
Для электростатического поля выполняется теорема о циркуляции, которая выражается уравнением:
При небольших размерах контура циркуляция вектора напряженности и в соответствии с указанным направлением обхода контура интеграл в формуле (2.1) можно представить как:
Из механики известно определение элементарной работы силы
Пусть в электрическом поле существует точечный заряд, который под действием поля перемещается из точки 1 в точку 2.
Считается, что заряд постоянный. Таким образом, работа равна криволинейному интегралу от напряженности, вычисленному вдоль траектории.
2.Работа в поле точечного заряда
Очевидно, что данная работа не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения заряда. Можно сделать вывод о том, что если заряд перемещается по замкнутой траектории, то работа поля равна нулю. Таким образом, можно записать
3.Теорема о циркуляции
Пусть поле создано системой точечных зарядов. Вычислим интеграл от напряженности по замкнутой траектории.
Данное утверждение и составляет суть теоремы о циркуляции. В математике подобный интеграл называют циркуляцией.
Циркуляция напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю.
4.Понятие о циркуляции
Пусть в некоторой области пространства существует векторное поле .
Циркуляцией вектора по произвольному замкнутому контуру L называется следующий криволинейный интеграл:
Здесь — единичный вектор, касательный к контуру в данной точке, направленный в сторону положительного обхода контура.
Существует соглашение, что положительное направление обхода контура (направление ) выбирается таким, чтобы область, охваченная контуром, оставалась при обходе слева.
Так же, как и поток, циркуляция является ещё одной характеристикой свойств векторного поля. А именно, циркуляция характеризует степень завихренности векторного поля.
Пример: если в качестве «измерителя» циркуляции поля скоростей жидкости можно взять турбинку, то если она вращается, циркуляция не равна нулю.
Циркуляция – это интегральная характеристика поля.
5.Понятие ротора
Поле по своей структуре может быть достаточно неоднородным. Циркуляция же не дает детальной характеристики поля. Следовательно, начнем стягивать контур интегрирования к какой-либо точке М (уменьшать турбину). Циркуляция при этом будет стремиться к нулю, но и площадь, охваченная контуром, также будет стремиться к нулю. А их отношение дает конечное число.
Турбину можно ориентировать в пространстве тремя независимыми способами. Следовательно, таким способом можно получить 3 независимых числа, а три числа – это вектор, следовательно, образуется векторная характеристика поля, которая и называется ротором.
Ротор– это локальная или дифференциальная характеристика.
6.Формула Стокса
В математике доказывается теорема Стокса, связывающая циркуляцию вектора с интегралом по поверхности, охваченной контуром интегрирования.
7.Выражение для ротора в декартовой системе координат
8.Циркуляция и ротор в электростатике
Используя формулу Стокса можно показать, что ротор напряженности электрического равен нулю.
— это теорема о циркуляции в дифференциальной форме.
Заметим, что данная теорема справедлива только для электростатического поля. Если поле не статическое, то теорема не справедлива. В принципе измерить циркуляцию или ротор можно с помощью «электророторметра».
9.Потенциальная энергия
Из механики известно, что если работа силы не зависит от формы траектории, то сила называется консервативной, а если работа поля по замкнутой траектории равна нулю, то поле называется потенциальным. Следовательно, кулоновская сила – это сила консервативная, а электростатическое поле – поле потенциальное.
В связи с этим можно ввести понятие потенциальной энергии.
10.Разность потенциалов
Поделим работу на заряд.
Правая часть зависит только от самого поля. Следовательно, и левая часть также является характеристикой поля. Её называют разностью потенциалов.
Разностью потенциалов между двумя точками электростатического поля называется отношение работы, совершенной полем по перемещению пробного заряда между этими точками к величине этого заряда.
Следующее выражение – интегральная связь между разностью потенциалов и напряженностью.
Не следует путать разность и изменение.
Замечание:Потенциальная энергия (потенциал) определяется с точностью до постоянной, и физический смысл имеет не она сама, а её изменение или разность.
Замечание: Потенциал и напряженность – это две равноправные характеристики поля. Напряженность – это силовая характеристика, а потенциал – энергетическая.
Замечание: Если рассматриваемая среда не вакуум, то напряженность и потенциал в e раз меньше, где e – диэлектрическая проницаемость среды.
Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора напряженности
ЛОГИЧЕСКОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
К СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА.
О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ.
Показана недостаточность теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля в электрических цепях, включающих полый замкнутый проводник.
Проверим полноту этой логики.
Будем рассматривать только электрические цепи постоянного тока. Терминология:
3) В пространстве, окружающем произвольный ток, всегда есть МП [1, с.161].
5) Закон Био-Савара в векторной форме: [1, с. 163];
Итак, в замкнутой электрической цепи с током могут существовать проводящие участки двух типов:
Проанализируем цепь, показанную на Рис. 2.
Откуда это противоречие? Попробуем разобраться.
Была выведена формула: “ (47.3) ” [1, с.177].
Можно сделать вывод, что уравнение (47.3), в данном случае, неверно и требует теоретической доработки, а “. полная система дифференциальных уравнений магнитного поля постоянных токов. ” [1. с.182] не является полной, как и система уравнений Максвелла (не всегда ). Это произошло потому, что рассматривались только линейные контуры с током. Более точно теорема о циркуляции вектора напряженности МП, создаваемого произвольным током должна выглядеть так: “ Циркуляция вектора напряженности МП произвольного тока по произвольной замкнутой кривой L равна алгебраической сумме циркуляций элементов этого тока по этой кривой ”.
Тем не менее, теорема о циркуляции вектора напряженности МП стала научной догмой. Из-за этого другие токовые системы в дальнейшем не просчитывались.
Кратко повторим логику вывода.
Рассмотрим последствия этих рассуждений.
Во-первых, нужно исключить бесконечность из формул и создать реальную физическую систему.
Зависимость напряженности МП от расстояния до оси системы в плоскости Z = 0.
Зависимость напряженности МП от координаты Z вдоль прямой, параллельной оси Z
и находящейся от оси на расстоянии ± dR.
1) линию нулевой напряженности поля (ЛНН);
2) минимум напряженности по трем координатам в центре системы (исключая ЛНН);
3) градиент такой, что напряженность поля возрастает по направлению из центра кривизны силовых линий.
Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11
Представляет интерес исследование поведения свободных радикалов в переменном МП такой конфигурации. Здесь возможно образование спиральных полимерных (органических) структур.
Конфигурация МП (Рис.11) подобна полю в “пробкотроне” [3], но с «зеркальным отношением» более 100. Из-за явного сходства, такое МП названо “магнитный кокон”. Конфигурация МП в “магнитном коконе” соответствует условию минимума напряженности поля [4]. Такое МП найдено экспериментально у тороидальных токовых структур (см. далее). Это позволяет создать давно ожидаемую ловушку для плазмы и реальный управляемый термоядерный реактор с магнитным удержанием плазмы [5].
Известны эксперименты Евгения Подклетнова (см. “Наука и жизнь”, №1, 1999, с.100) по вращению сверхпроводящего диска в постоянном МП. В них зарегистрировано уменьшение веса предметов над диском. Высокотемпературная плазма, как и сверхпроводник, является идеальным диамагнетиком. Это позволяет надеяться на получение каких то гравитационных (может и пространственно-временных) эффектов при вращении релятивистской плазмы в МП. Весьма возможно создание излучателя и детектора гравитационных волн высокой частоты.
На основе МП такой конфигурации уже давно могли и должны были быть созданы устройства:
УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАГНИТНАЯ ЛИНЗА относится к технике электронной оптики. Линза может быть рассеивающей и использована для повышения разрешающей способности электронно-оптических систем за счет уменьшения аберраций.
Устройство, показанное на Рис.5, может быть легко трансформировано в два соосных тора, как это показано на Рис. 14. Свойства тороидальных токовых структур будут рассмотрены позднее.
Теперь рассмотрим электрическую цепь, показанную на Рис. 3.
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля (МП) гласит: “. циркуляция вектора напряженности магнитного поля по кривой. охватывающей токи, равна помноженной на 4 p / с сумме сил этих токов (взятых с надлежащими знаками). ” [1, с.178]. Из теоремы следует, что циркуляция постоянна и не зависит от геометрии цепи.
Проверим положение теоремы.
Чтобы убедиться в справедливости теоремы, необходимо и достаточно доказать, что напряженность МП в точке P постоянна при изменении размеров системы (контур интегрирования L и ток I в линейном проводнике постоянны). ПЗП 1 не создает МП в объеме, который он охватывает (см. п.6). Поэтому, согласно принципу суперпозиции, можно рассматривать только линейный проводник АВ (Рис. 16).
Это и нужно было показать.
1) И.Е. Тамм // «Основы теории электричества», М, Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1989. с.504.
2) С.Г. Калашников // “Общий курс физики”, том 2, государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1956.
3) С.Ю. Таскаев // Физика плазмы, сентябрь, 1997, т.23, №12, с.1123; “Динамика потенциалов при нагреве струи в пробкотроне атомарными пучками”.
4) Т.С. Симонен // Физика плазмы, сентябрь, 1997, т.23, №9, с.771; “Устойчивость плазмы с высоким давлением при благоприятной кривизне силовых линий магнитного поля”.
5) С.В. Путвинский // УФН, ноябрь 1998, т.168, №11, с.1235; “Возможна ли будущая мировая энергетическая система без ядерного синтеза”.
6) “Физический энциклопедический словарь”, гл. редактор А.М.Прохоров, Москва, “Советская энциклопедия”, 1983.
.
— единичный вектор, касательный к контуру в данной точке, направленный в сторону положительного обхода контура.
