Что такое чистые числа

Откуда есть пошло комплексное число

В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.

Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.

Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
.
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:

Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:

где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?

Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.

Источник

Что такое комплексное число? Примеры

Тема «Комплексные числа» зачастую вызывает затруднения у учащихся, а ведь на самом деле в них нет ничего страшного, как может показаться на первый взгляд.

Итак, сейчас мы разберем и рассмотрим на простых примерах, что такое комплексное число, как обозначается и из чего состоит. Выражение z = a + bi называется комплексным числом. Это единое число, а не сложение.

Пример 1: z = 6 + 4i

Из чего состоит комплексное число?

Комплексное число имеет действительную и мнимую часть в своем составе.

Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается a = Re (z). А вот то, что стоит вместе с буквой i — т.е. число b называется коэффициентом мнимой части комплексного числа и обозначается b = Im (z). Вместе bi образуют мнимую часть комплексного числа.

Нетрудно догадаться и легко запомнить, что сокращение «Re» происходит от слова «Real» — реальная, действительная часть. Соответственно, «Im» является сокращением слова «Imaginary» — мнимая, воображаемая часть.

Пример 2: z = 0,5 + 9i. Здесь действительная часть a = Re (z) = 0,5, а мнимая часть b = Im (z) = 9i

Чисто мнимое комплексное число

Комплексное число, в котором нет действительной части, т.е. Re (z) = 0, называется чисто мнимым.

Пример 4: z = 2i. Действительная часть отсутствует, a = Re (z) = 0, а мнимая часть b = Im (z) = 2.

Сопряженные комплексные числа

Комплексно-сопряженное число обозначается «зэт» с чертой и используется, к примеру, для нахождения частного двух комплексных чисел, проще говоря — для реализации деления чисел. Те, кто сейчас задумался, вам сюда — читать про деление комплексных чисел.

Числа называются комплексно-сопряженными, имеют одинаковые действительные части и различаются лишь знаком мнимых частей. Рассмотрим пример:

Мнимая единица комплексного числа

И наконец поговорим про букву i. Та самая буква, которая образует в комплексном числе мнимую составляющую. Даже если перед нами выражение z = 5, это просто значит, что мнимая часть данного числа равна нулю, а действительная равна пяти.

Величина i называется мнимой единицей.

Мнимая единица пригодится при решении квадратных уравнений в случае, когда дискриминант меньше нуля. Мы привыкли считать, что если он отрицательный, решения нет, корней нет. Это не совсем корректно. Корни существуют, просто они комплексные. Но об этом позже. А теперь, переходим к следующей статье по изучению комплексных чисел, узнаем же, как посчитать произведение комплексных чисел.

Источник

Что такое комплексные числа

Первый урок по комплексным числам. Сегодня мы разберём:

Если же вас интересует тригонометрическая форма записи комплексного числа, либо извлечение корней из комплексных чисел — этим темам посвящены отдельные уроки.

Сегодня — лишь самое главное. Но не самое простое.:)

0. Краткая вводная

Когда-то нам хватало натуральных чисел:

Всё было прекрасно: «У тебя 5 бананов, у меня ещё 3 — итого у нас 5 + 3 = 8 бананов». Сумма двух натуральных чисел всегда даёт новое натуральное число (говорят, что операция сложения замкнута на множестве натуральных чисел).

Но вот на сцену выходит вычитание — и натуральных чисел стало недостаточно. Например разность 3 − 5 = −2 уже не будет натуральным. Так появились целые числа (натуральные, им противоположные и ноль):

Дальше к делу подключились операции умножения и деления. Да, произведение двух целых чисел всё ещё целое, но вот деление приводит к образованию дробей. Например, 1 : 2 или 5 : 4 уже нельзя записать целым числом. Так появилось множество рациональных чисел или множество дробей:

Это был настоящий триумф для древней математики, и в тот момент казалось, что ничего больше уже изобрести нельзя. Да и зачем?

Проблема пришла откуда не ждали. В какой-то момент классическое умножение «разрослось» до возведения в степень:

Тут-то и выяснилось, что возведение рационального числа в натуральную степень всё ещё будет рациональным числом. Но вот обратная операция — извлечение корня — выносит нас за пределы рациональных чисел:

\[\sqrt<2>=1,41421. \notin \mathbb\]

Так появилось множество действительных чисел — множество бесконечных десятичных дробей, которые могут быть периодическими (и тогда это обычное рациональное число) и непериодическими (такие числа называют иррациональными, и их неизмеримо больше).

Казалось бы: ну вот теперь точно всё! Что ещё нужно для счастья? Проблема в том, что на множестве действительных чисел нельзя извлечь даже самый простой квадратный корень из отрицательного числа:

Однако законы физики (особенно электродинамика и вообще всё, где есть слово «динамика») как бы намекали, что множество содержательных процессов протекает там, где привычные корни не извлекаются. А значит, следует расширить множество действительных чисел так, чтобы такие корни всё же извлекать.

И тут открылись врата в Ад.

1. Комплексная единица

Начнём с ключевого определения.

Однако в остальном это такое же число, как и все остальные. Комплексные единицы можно складывать, умножать, их можно комбинировать с «нормальными» числами:

2. Стандартная форма записи комплексных чисел

А теперь всё по-взрослому.

Определение. Комплексное число — это любое число вида

\[\begin & z=5+3i \\ & \operatorname\left( z \right)=5 \\ & \operatorname\left( z \right)=3 \\ \end\]

\[\begin & 5=5+0\cdot i \\ & x=x+0\cdot i\left( \forall x\in \mathbb \right) \\ \end\]

И напротив: существуют «чисто мнимые» числа, у которых вообще нет действительной части. Та же комплексная единица, например:

\[\begin i &=0+1\cdot i \\ 35i &=0+35\cdot i \\ \end\]

Таким образом, действительные числа являются частным случаем комплексных. Подобно тому как рациональные числа являются частным случаем действительных (в конце концов, рациональные числа — те же десятичные дроби, но с дополнительным условием: они периодические).

2.1. Равенство комплексных чисел

В самом деле, пусть некоторое число записано двумя способами:

Соберём все действительные слагаемые слева, а мнимые — справа:

Слева мы видим действительное число. Значит, справа тоже должно стоять действительное число. Единственная ситуация, в которой это возможно:

Получается, что справа от знака равенства стоит ноль. Следовательно, слева тоже ноль:

Следовательно, исходные записи совпадают.

Поэтому имеет смысл следующее определение.

Определение. Два комплексных числа равны друг другу тогда и только тогда, когда равны их действительные части, а также равны их мнимые части:

Если хотя бы одна из частей не равна, то и сами числа не равны.

Поскольку от перестановки слагаемых сумма не меняется (сложение чисел — настолько суровая операция, что какие-то там «комплексные единицы» никак не нарушают его коммутативности), мы можем записать:

А вот перестановка мнимой и действительной части (если эти части разные) немедленно ведёт к нарушению равенства:

К координатной плоскости мы ещё вернёмся. А пока определим правила сложения и вычитания комплексных чисел.

3. Сложение и вычитание комплексных чисел

Выше мы проводили аналогию между комплексными числами и многочленами. Идём по этому пути дальше и вспоминаем, что многочлены можно складывать, группируя слагаемые и приводя подобные:

Точно так же можно определить и сложение (да и вычитание) двух комплексных чисел. Всё просто:

Другими словами, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и отдельно — мнимые. То же самое для вычитания.

Не нужно учить эти формулы. Дальше будут формулы умножения и деления — они ещё сложнее. Нужно понять ключевую идею: мы работаем с комплексными числами точно так же, как с многочленами. С небольшим дополнением: все степени комплексной единицы выше первой «сжигаются» прямо по определению самой единицы:

Небольшое замечание. В отличие от математики 5—6 классов, в серьёзной «взрослой» алгебре нет такого понятия как «вычитание». Зато есть понятие противоположного элемента и алгебраической суммы:

Всё это в полной мере относится и к комплексным числам. Там тоже есть противоположные:

Есть ноль (нейтральный элемент по сложению):

\[\begin 0 & =0+0\cdot i \\ z & =a+bi \\ z+0 & =\left( a+0 \right)+\left( b+0 \right)\cdot i= \\ & =a+bi=z \end\]

В общем, множество комплексных чисел — это абсолютно «нормальное» множество с понятной операцией сложения. Буквально через пару минут мы определим и умножение, но сначала давайте всё-таки запишем определение самого множества комплексных чисел.

Записывается это так:

Не пугайтесь, когда увидите подобную запись где-нибудь в учебнике алгебры. По сути, это краткая запись всего того, о чём мы говорили выше. Ничего нового мы здесь не узнали.

А вот что действительно представляет интерес — сейчас узнаем.:)

4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Такие упорядоченные пары удобно рассматривать как координаты точек. По горизонтали (ось абсцисс) мы будем отмечать действительную часть числа, а по вертикали (ось ординат) — мнимую.

Определение. Комплексная плоскость — декартова система координат, где по горизонтали отмечается действительная часть комплексного числа, а по вертикали — мнимая.

Рассмотрим несколько примеров. Отметим на комплексной плоскости числа:

4.1. Ещё раз о сложении и вычитании

Такое представление чисел — в виде точек на комплексной плоскости — называется геометрической интерпретацией. Числа в таком виде удобно складывать и вычитать. По сути, всё сводится к сложению обычных векторов.

Допустим, мы хотим сложить два числа:

Отметим эти числа на комплексной плоскости, построим векторы из начала координат с концами в отмеченных точках, а затем просто сложим эти векторы (по правилу треугольника или параллелограмма — как пожелаете):

Координаты новой точки: (6; 2). Следовательно, сумма равна:

Аналогичный результат можно получить и алгебраически:

Как видим, алгебраические выкладки заняли гораздо меньше времени и места. Уже хотя бы потому что не потребовалось чертить систему координат.:)

Зачем же тогда нужна комплексная плоскость и геометрическая интерпретация? Всё встанет на свои места буквально через пару уроков, когда мы рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексных чисел, а также будем извлекать из этих чисел корни.

А чтобы подготовиться к этим урокам, рассмотрим ещё два ключевых определения.

5. Комплексно-сопряжённые и модуль числа

Для начала вспомним школьную алгебру. Работа с многочленами, 7-й класс:

называется разностью квадратов и является одной из формул сокращённого умножения.

В математических классах с помощью сопряжённых искали обратные числа, чтобы затем решать сложные показательные и логарифмические уравнения:

Теперь настало время комплексных чисел. В них тоже можно ввести понятие сопряжённых.

5.1. Комплексно-сопряжённые

Комплексно-сопряжённые числа отмечаются чертой сверху.

Рассмотрим несколько примеров:

Видим, что комплексно-сопряжённое к «чисто мнимому» числу есть число, ему противоположное. А комплексно-сопряжённое к действительному числу есть само это число.

Зачем нужны комплексно-сопряжённые? Вспомним всё ту же формулу разности квадратов:

Итак, произведение числа на комплексно-сопряжённое даёт сумму квадратов действительной и мнимой части. Это ключевое свойство комплексно-сопряжённых, и оно позволяет нам рассмотреть следующее определение.

5.2. Модуль комплексного числа

Снова вспомним школьную алгебру. Модуль действительного числа определяют так:

Ключевая идея: модуль числа — это всегда неотрицательная величина, равная расстоянию от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта. Но всё это происходит на числовой прямой. На комплексной плоскости к делу подключается теорема Пифагора.

Вновь обратимся к геометрической интерпретации:

\[b=0\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt<<^<2>>>\]

Получается, что на множестве комплексных чисел нельзя ввести привычные нам понятия «больше» или «меньше». Поскольку каждое число характеризуется двумя независимыми параметрами (действительной и мнимой частью), нет универсальной меры, нет отношения порядка.

Можно считать это фундаментальным законом природы. Когда мы держим в голове больше одного параметра, нет больше универсального критерия успеха:

Оценка одного и того же события будет меняться в зависимости от настроения и наших предпочтений.

Модуль числа нам пригодится в следующем уроке. А вот комплексно-сопряжённые мы будем применять уже сейчас.

6. Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа можно не только складывать и вычитать, но даже умножать и делить друг на друга.

6.1. Умножение

С умножением ничего особенного.

\[\begin <_<1>>\cdot <_<2>> & =\left( a+bi \right)\left( c+di \right)= \\ & =ac+bc\cdot i+ad\cdot i+bd\cdot <^<2>>= \\ & =\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)\cdot i\end\]

Как видим, произведение комплексных чисел вновь даёт комплексное число.

Как и в случае со сложением, не нужно учить эти формулы наизусть. Лучше просто потренироваться и понять сам механизм:

Достаточно решить 10—15 таких примеров — и никакие специальные формулы и определения вам больше не понадобятся. То же самое и с делением.

6.2. Деление

Финальный бросок — попробуем разделить одно комплексное число на другое. Разумеется, делитель не должен быть нулём, иначе частное не определено.

Частное комплексных чисел вновь будет комплексным числом.

Саму формулу не нужно запоминать. Достаточно лишь отметить для себя, что мы умножили числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряжённое к знаменателю. Само деление можно выполнять напролом:

Тем не менее, даже после основательной тренировки умножение и особенно деление комплексных чисел остаётся трудоёмкой операцией, где можно допустить множество ошибок. Поэтому для таких операций (а также для кое-чего гораздо более серьёзного) математики придумали другую форму записи комплексных чисел — тригонометрическую. С ней мы и познакомимся на следующем уроке.:)

Источник

Комплексные числа

1. Понятие мнимой единицы

Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: i 2 = – 1.

Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.

Из этого равенства находим

Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел.

2. Степени мнимой единицы

Рассмотрим степени мнимой единицы:

Если выписать все значения степеней числа i, то мы получим такую последовательность: i, – 1, – i, 1, i, – 1, – i, 1 и т. д. Легко видеть, что значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4.

Таким образом, если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i; если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно – 1; наконец, если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно – i. Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Соответственно получим i 28 = 1; i 33 = i; i 135 = – i.

3. Определение комплексного числа

Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.

Определение 1. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Пример 2. Найти x и y из равенства:

Решение. а) Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y = 15, 5x = – 7. Отсюда

б) Из условия равенства комплексных чисел следует

Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, имеем 5x = 25, т. е. x = 5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – y = 6, откуда y = – 1. Итак, получаем ответ: x = 5, y = – 1.

8–13. Найдите значения x и y из равенств:

4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

14–21. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

14. (3 + 5i) + (7 – 2i).
15. (6 + 2i) + (5 + 3i).
16. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
17. (5 – 4i) + (6 + 2i).
18. (3 – 2i) + (5 + i).
19. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
20. (– 5 + 2i) + (5 + 2i).
21. (– 3 – 5i) + (7 – 2i).

22–29. Произведите умножение комплексных чисел:

Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

Пример 4. Выполнить действия:

а) (2 + 3i) 2 = 4 + 2 Ч 2 Ч 3i + 9i 2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i) 2 = 9 – 2 Ч 3 Ч 5i + 25i 2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i) 3 = 125 + 3 Ч 25 Ч 3i + 3 Ч 5 Ч 9i 2 + 27i 3 ;
так как i 2 = – 1, а i 3 = – i, то получим (5 + 3i) 3 = 125 + 225i – 135 – – 27i = – 10 + 198i.

30–37. Выполните действия:

Рассмотрим теперь применение формулы

Пример 5. Выполнить действия:

а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 5 2 – (3i) 2 = 25 – 9i 2 = 25 + 9 = 34;
б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 2 2 – (5i) 2 = 4 + 25 = 29;
в) (1 + i)(1 – i) = 1 2 – i 2 = 1 + 1 = 2.

38–43. Выполните действия:

Обратим внимание на то, что при использовании формулы (*) всегда получается частный случай комплексного числа – действительное число, а комплексные числа, которые мы умножаем, являются сопряженными.

Определение 2. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Мы видим, что произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Пример 6. Выполнить деление:

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

44–55. Выполните деление:

56–60. Выполните действия:

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнение:

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то

D = (– 6)2 – 4 Ч 1 Ч 13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,

D = b 2 – 4ac =12 2 – 4 Ч 9 Ч 29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

62–65. Решите уравнения:

62. x 2 – 4x + 13 = 0.
63. x 2 + 3x + 4 = 0.
64. 2,5x 2 + x + 1 = 0.
65. 4x 2 – 20x + 26 = 0.

5. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b) (рис. 1). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).

Решение. Заданные числа изображены на рис. 2.

6. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом Z(a; b) (рис. 3).

Обозначив модуль комплексного числа буквой r. (1)

Из соотношений и

Если в запись комплексного числа z вместо a и b подставить эти значения, то получим

Таким образом, мы получили новую форму записи комплексного числа:

которая называется тригонометрической формой комплексного числа.

Сформулируем правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической.

1. Находят модуль комплексного числа r, для чего используют формулу

2. Для нахождения j сначала определяют геометрически, в какой четверти находится точка z.

4. Записывают комплексное число z в тригонометрической форме.

Пример 9. Записать в тригонометрической форме комплексное число z = 1 + i.

1) Так как a = 1, b = 1, то

2) Изобразим число z геометрически (рис. 4). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая в I четверти, и вектор z.

3) Составим соотношения и т. е.

Этим соотношениям соответствует в I четверти угол

4) Так как

то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид

Пример 10. Записать число в тригонометрической форме.

Решение. 1) Здесь

Следовательно,

2) Изобразим число z геометрически (рис. 5). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая во II четверти, и вектор z.

4) Запишем заданное число в тригонометрической форме:

Пример 11. Записать в тригонометрической форме чисто мнимое число z = – 3i.

Решение. 1) Запишем данное число в виде z = 0 – 3i. Значит, a = 0, b = – 3, откуда

2) Точка, соответствующая геометрически числу z = – 3i, лежит на мнимой оси (рис. 6).

3) Аргумент этого числа равен ,

так как угол отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.

4) Запишем данное число в тригонометрической форме:

66–71. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:

7. Показательная форма комплексного числа

которое называется формулой Эйлера.

Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

z = a + bi – алгебраическая форма;
z = r (cos j + i sin j ) – тригонометрическая форма;
z = re ij – показательная форма.

Пример 12. Записать число

в показательной форме.

Решение. Здесь

Следовательно, показательная форма числа имеет вид

Источник