Что такое чистый изгиб

Техническая механика

Сопротивление материалов

Изгиб

Основные понятия об изгибе

Деформация изгиба характеризуется потерей прямолинейности или первоначальной формы линией балки (ее осью) при приложении внешней нагрузки. При этом, в отличие от деформации сдвига, линия балки изменяет свою форму плавно.
Легко убедиться, что на сопротивляемость изгибу влияет не только площадь поперечного сечения балки (бруса, стержня и т. д.), но и геометрическая форма этого сечения.

На изгиб могут работать многие элементы конструкций – оси, валы, балки, зубья зубчатых колес, рычаги, тяги и т. д.

Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент (рис. 2).
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил. Тогда в каждом сечении бруса будут действовать только изгибающие моменты.

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.
Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1):

— поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
— сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
— продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:

— при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
— волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.
Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис 4,a).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4,b). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Источник

Изгиб.

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией, параллельной базе эпюре, а эпюра М — наклонной прямой (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М — по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M_max или M_min (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

Далее по полученному значению [M_x] определяют допускаемые значения внешних поперечных нагрузок [Q] и внешних изгибающих моментов [M_внеш]. Условие прочности имеет вид:

Перемещения при изгибе.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина.

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

где A_f – площадь эпюры изгибающего момента М_f от заданной нагрузки; y_c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М_f ; EI_x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A_f*y_c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М_f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое «расслоение эпюры»), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.

Источник

Чистый изгиб

Чистый изгиб

Чистокровный. В предыдущей главе мы упоминали, что величина напряжения на любом поперечном сечении балки определяется боковой силой этой детали и величиной изгибающего момента. При приложении боковых сил напряжение определяется с самого начала. Равный нулю, есть только изгиб moment. In этот случай, он называется Чистым bend. An пример такого изгиба показан на рисунке. 81.

To найдя законы распределения этих внутренних сил по поперечному сечению, необходимо учитывать деформацию beam. In в случае простой балки с симметричной продольной плоскостью с внешней изгибающей парой, действующей в этой плоскости, изгиб происходит в той же плоскости.

Если поперечное сечение балки прямоугольное, а на ее поверхности нанесены 2 смежные вертикальные линии ТТ и ПП, то видно, что эти линии остаются прямыми при изгибе и вращении, поэтому они остаются перпендикулярными продольным волокнам балки (рис.82)

Теория изгиба, описанная ниже, основана не только на предположении, что линии, проведенные по краям, такие как TT, остаются прямыми, но и на предположении, что все поперечное сечение балки (первоначально плоское) является плоским после изгиба и перпендикулярным продольным волокнам балки. Людмила Фирмаль

Опыт показывает, что теория, основанная на этом предположении, дает очень точные результаты для отклонения луча и продольной деформации волокна. Из приведенного выше предположения следует, что при изгибе поперечные сечения ТТ и ПП вращаются относительно друг друга вокруг оси, перпендикулярной плоскости изгиба, так что выпуклые продольные волокна подвергаются растяжению и сжатию в вогнутой стороне.

Линия PPG, есть следы пересечения сторон Да. К Да. Рисунок 82. Края поверхности, где волокна не изменяются. Эта поверхность Называется нейтральным слоем, а пересечение с любым поперечным сечением называется нейтральной осью. Удлинение B’b4 волокон на расстоянии y от нейтрального слоя получается, если линию l, b провести параллельно линии TT(рис. 82, а).Обозначим радиус кривизны изогнутой оси пучка через r и воспользуемся подобием треугольника nOphi b ^ b ’, чтобы найти относительное удлинение волокна BB’.

Из этого уравнения видно, что деформация продольных волокон пропорциональна расстоянию y от нейтрального слоя и обратно пропорциональна радиусу кривизны. Эксперимент показывает, что продольное растяжение волокон на выпуклой стороне пучка сопровождается боковым сжатием, а продольное сжатие на вогнутой стороне сопровождается боковым расширением той же величины, что и в случае простого растяжения или сжатия(см. п. 14). * ) Ось луча является локусом точки центра тяжести сечения b ^ lok. O означает центр кривизны оси балки.

В поперечном сечении, как показано на фиг. 82 b, вертикальные стороны прямоугольного поперечного сечения наклонены друг к другу. Относительная деформация в поперечном направлении (53） Где IX-коэффициент Пуассона. Это искажение приводит к тому, что все линии в поперечном сечении, параллельные оси z, изгибаются так, что они перпендикулярны стороне поперечного сечения.

Радиус кривизны/?Только в несколько раз больше, чем r из ex, который численно больше, чем e (см. уравнение 53）、 I = 1 г (54） Из продольной деформации волокна соответствующее напряжение определяется на основе закона крюка (уравнение 4). 0,= ^ * Г (55） Законы распределения этих напряжений показаны на рисунке. 83.

Напряжение волокна пропорционально расстоянию от нейтральной оси расположение нейтральной оси и радиус кривизны r (2 неизвестных в уравнении (55)) можно определить из условия, что сила, распределенная в поперечном сечении балки, создает пару сопротивлений, уравновешенную внешней парой M (рис.81). 。 Dp означает основную площадь поперечного сечения на расстоянии y от нейтральной оси (Рисунок 83).

Сила, действующая на эту базовую платформу Произведение напряжения на площадь yP (уравнение 55), то есть-yP Все такие силы, распределенные в поперечном сечении, представляют собой систему сил, соответствующих парам сил, так что результат действия этих сил равен нулю и становится:

Среди них Существует момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси r (приложение п. (см. 350).Из уравнения (56)видно, что кривизна прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна величине изгибающей жесткости балки. Исключение r из уравнений (55)и (56)дает следующее уравнение для определения напряжения: (57）

В этом уравнении, как показано на Рис. 5, момент M, вызывающий изгибную деформацию за счет выпуклой части, является положительным. 82; координата y положительна вниз. Было приведено предыдущее рассуждение. Для прямоугольных cross-section. It также эффективен для балок с другими формами поперечного сечения.

Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения возникают в крайних волокнах. Людмила Фирмаль

Также в прямоугольном или любом месте Другое поперечное сечение с центроидом вдоль серого К середине высоты A относится случай y =±2.Тогда он берется в случае положительного М. Единое время.»Э (ОЖ) m1n =-57—(58） Для простоты используйте следующие обозначения: (5Э） И затем… «Юта,= U. (0) w1n = * — (60）

Величина V / g называется моментом сопротивления площади поперечного сеченияния. Для прямоугольного сечения(рис. 82, б)мы имеем. В’ • • * ТГ ’ Для круглого поперечного сечения с диаметром / В ——— * Y = −12,5 см, (a) Шах » 230 кг / СМГ. Тогда n £6 2-10M2. 5, почтовое отделение № — а.’2〜= 250’〜 = 108700 см. Рис.84.

Обратите внимание, что при вычислении /(рис. 84) ось кривой представляет собой дугу Окружность радиусов r и yB представляет собой прямоугольный треугольник вокруг ноги. Где o-центр окружности. Так… Вт — р * — (р-р?= Ч1-Т-、 /Очень мало по сравнению с радиусом r, и в этом уравнении мы используем значение/ * Двухместный 147.5 * 2р 8 * 108,700 Ф= −0,025 см.

3.Деревянная балка с квадратным поперечным сечением 25×25 см опирается на A и B (рис.84), и на обоих концах приложена сила P. Для AB = 180 см, s = 30 см, (stL) goax = 67 кг / см *и E = \ 0 * кг / см определите величину P и Центрального прогиба. Вес балки игнорируется. Построить график боковых сил и изгибающих моментов. Ответ. P = 5816 кг,/ = 0,217 см. 4.As как показано на рисунке, поддерживаются двутавровые балки высотой 75 см.

Он нагружается на консоль с равномерно распределенными нагрузками 85 и 13 300 кг / м. Для 1K = 357 400 см определите максимальное напряжение в центре балки и отклонение в центре балки. SH II11 。 6.0 м► 0-и измеряет следующее: Изменение температуры другого волокна пропорционально. Соответствующее относительное удлинение и укорочение температуры также пропорционально y. то есть оно следует тем же законам, что и деформация, определенная в Формуле(52).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Что такое чистый изгиб

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент М_х (рис. 1). Так как Q_y=dM_x/dz=0, то M_x=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент M_х по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

.

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения

Рис.2. Модель чистого изгиба

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя (—радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (M_х=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а), нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

а) расчетная схема, б) деформации и напряжения

Рис.3. Фрагмент чистого изгиба бруса

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б. Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

.

Из подобия треугольников С00₁ и 0₁ВВ₁ следует, что

.

Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

Подставляя в это уравнение выражение (2)

и учитывая, что , получаем, что

Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:

и учитывая, что где J_x—главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу

Кривизна нейтрального слоя является мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе. тем меньше, чем больше величина EJ_х, называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения при растяжении EF).

Подставляя (4) в (2), получаем формулу для нормальных напряжений в виде

Рис.4. Распределение нормальных напряжений

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М_х и нормальных напряжений в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M_х>0 нормальные напряжения при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении с изгибающим моментом M_х определяются по формуле

Рис.5. Конфигурации поперечных сечений бруса

Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

где max M_х—максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), — допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором ).

Рис.6. Модель изгиба хрупкого материала

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие max и наибольшие сжимающие напряжения (рис. 6.), которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение и сжатие . Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

.

Источник