деление отрезка в данном отношении векторы

Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.

В этой статье мы разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении. Сначала мы получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого приведем подробные решения нескольких характерных примеров.

Навигация по странице.

Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости.

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

В силу операции сложения векторов можно записать равенства и . Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство . Подставив в него , имеем . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем .

Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами и в координатах. Так как и , то , следовательно, .

Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве.

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения.

Пришло время применить полученные формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.

.

В данном примере . Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы и , из которых получаем и соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А :

.

Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.

Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:

.

Источник

Деление отрезка в данном отношении в пространстве

Данные уравнения получаются следующим образом

Требуется найти координаты точки A₀(x₀, y₀,z₀), делящей отрезок в отношении λ, т.е.

Отсюда получаем исходные уравнения, т.е.

Деление отрезка в данном отношении на плоскости см. здесь

Рассмотрим ещё один из способов деления отрезка в данном отношении в пространстве.

где r₁ и r₂ — радиус-вектор точек А₁ и А₂

Координаты точки A₀ находятся по формулам

Координаты середины отрезка в пространстве

В частности координаты середины отрезка А₁А₂ в пространстве определяются уравнениями:

Источник

Как осуществить деление отрезка?

Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.

Деление отрезка в заданном соотношении: координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении, a-b точка

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости

Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С, делящая отрезок АВ в отношении λ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке АВ (т.е. между точками А и В). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков АС и СВ равно λ. Т.е. верно равенство:

Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1, то точка С является серединой отрезка АВ.

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве

Точка С делит отрезок АВ в отношении λ. Необходимо определить координаты точки С.

Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.

Найдем координаты точки D. Так как AD – медиана, то точка D – середина отрезка ВС. Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:

Теорема Фалеса и деление отрезка в заданном отношении

Давно о геометрии не говорили, а о теореме ФАлеса (или ФалЕса?) вообще мало говорят. Хотя она весьма полезна. Начнем с формулировки, которая весьма не вразумительна, чем и объясняется не популярность данной теоремы.

Мутно, долго, не понятно. Мне больше нравится другая формулировка. Тоже не понятно, но элегантно и коротко. Задачи, которые решаются с помощью данной теоремы, довольно специфичны. Но есть одна задача на построение, которую можно встретить в реальной жизни. Это задача о делении отрезка в заданном отношении.

Суть вопроса: Дан отрезок. Его нужно поделить на два куска, чтобы их длины относились, как 2 : 5. Кусков может быть сколько угодно и отношение, может быть каким угодно. Алгебраически задача решается крайне легко: находим общее количество частей (2 + 5 = 7), делим длину отрезка на общее количество частей, находим длину каждого куска.

Но алгебраическое решение не всегда прокатывает. Например, мы не можем найти длину отрезка, или при делении получаются не целые числа. Тогда можно воспользоваться геометрическим способом. Во-первых, проводим луч из конца отрезка. Любой, в любую сторону.

Дальше, на этом луче от точки А откладываем 7 (общее количество частей) равных отрезков. Последнюю получившуюся точку — J соединяем с точкой В, а затем через каждую точку луча проводим прямую параллельную JB.

Таким образом, мы разделили отрезок АВ на 7 равных частей (по теореме Фалеса). Отсчитываем две части и ставим точку. Получаем: AK : KB = 2 : 5.

Вот таким простым образом, вы можете поделить свою комнату с соседом в любом отношении. Если вам кажется, что построение такого количества параллельных прямых дело сложное, то подумайте о перпендикулярах.

Источник

Лекция Способы задания векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.

1.4. Способы задания векторов

Вектор может быть задан следующими способами:

1. Координатами вектора

2 . Координатами начальной z

и конечной точек.

3. Модулем вектора и углами , M

которые он образует с координатными осями.

При этом значения

Между этими способами задания a _z

векторов существует определённая связь. a _x

Например, переход от (2) к (1) x a _y

осуществляется следующим образом :

т ак как , то z A

.

Переход от (3) к (1) и наоборот

осуществляется по формулам: B

x O y

1.5. Деление отрезка в заданном отношении

Р ассмотрим следующую задачу : даны две точки и . Требуется найти точку такую, что отно-шение z А

Построим векторы : М

Из условия коллинеарности векторов

и имеем В

Полученное равенство представим в

координатной форме х Оу

(1)

Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам

Известно, что центр тяжести треугольника

лежит на пересечении его медиан и, если

свойству медиан у

Определим вначале координаты х С

точки К :

далее по формулам (1) получим координаты точки М :

Тема 2: Скалярное произведение

2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается

(2)

Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме

(3)

Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если  постоянная сила, а  вектор перемещения, то  работа силы на перемещении

Из определения скалярного произведения следуют его свойства:

1.  скалярное произведение коммутативно.

2. , если векторы и перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.

3.

Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 4 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:

4.

Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.

2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы : .

Аналогично получаем :

(4)

2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.

По формулам (2) и (4) получаем

(5)

Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует

(6)

(7)

Если в формуле (7) положить , то найдем

.

Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов

; . (8)

Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.

Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство

Пример 2. Даны два вектора Найти их скалярное произведение и угол между ними.

По формулам (5) и (7) получаем

Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору и образует угол с вектором

Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений

Из второго уравнения системы получаем Тогда из первого уравнения имеем . Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению

Из этого уравнения и . Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора , удовлетворяющих условию задачи.

Источник