метод крамера история возникновения

Метод Крамера

Вы будете перенаправлены на Автор24

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin <|cc|>a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin <|cc|>b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin <|cc|>a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

А теперь три других детерминанта:

Источник

Метод Крамера: решаем системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x, при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B, соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

А теперь о том, как посчитать определитель. Например, определитель матрицы третьего порядка, который чаще всего встречается на практике, вычисляется по формуле:

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте.

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы купить конспект. Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Источник

Культура и наука

Габриэль Крамер родился в Женеве в семье врача. В 18 лет он получил степень доктора, написав работу по теории звука. Через два года после этого он участвовал в конкурсе на место преподавателя на кафедре философии университета Женевы. На данное место претендовали три человека, все претенденты были достойные. Тогда поделили данное место на два: место на кафедре философии и место на кафедре математики. Место на кафедре математики разделили Крамер и Каландрини.

Им было предложено по очереди путешествовать 2−3 года. В то время как один из них путешествует, второй должен исполнять все обязанности полностью и получать полное жалованье. Крамер и Каландрини поделили между собой математические курсы, которые они должны были преподавать. Крамер учил геометрии и механике, Каландрини — алгебре и астрономии.

Крамер предложил учить студентов на французском языке вместо принятой тогда латыни, чтобы дать возможность обучаться имевшим способности к математике, но не знавшим латыни студентам. Это было принято университетом.

Итак, Крамер предложил учить студентов на французском языке вместо принятой тогда латыни…

Собственно, по какой причине мне захотелось посвятить эту тему методу ( правилу ) Крамера?

Причина весьма проста. Ознакомился здесь с темой: Как убивают высшее образование в России.

И в данной теме обратил внимание на сообщения обсуждающих:

Лиса (Лиса) писал (а) в ответ на сообщение :

> Другие доказательства у старых теорем, более краткие и понятные.
> Методы решения появляются новые и отсеиваются плохие старые.
> Например, на сегодня только законченный дебил, которого нужно срочно отчислять из технического ВУЗа, станет добровольно решать СЛАУ методом Крамера, а 40-50 лет назад это метод вовсю пытались нам навязать. Ну я так думаю, что тут дело было в. в фамилии автора этого дебильного метода.
quoted1

Странно, тема об убийстве высшего образования в России. И Габриэль Крамер?

Чем он не угодил? Тем что предложил учить студентов на французском языке вместо принятой тогда латыни?

В американском городе Норуолк, штат Коннектикут, автомобиль Tesla со включенным автопилотом протаранил две машины, в том числе полицейскую. Об этом сообщает сайт ABC News.

Ранним утром в субботу, 7 декабря, полицейские прибыли на трассу 95, чтобы эвакуировать занимавший проезжую часть сломавшийся автомобиль. Они ждали эвакуатор возле сломанного транспортного средства.

В это время проезжавший мимо водитель автомобиля Tesla Model 3 2018 года поставил свою машину на автопилот, так как отвлекся на находившуюся на заднем сидении собаку. В результате Tesla въехала сзади в полицейский автомобиль, продолжила двигаться в этом же направлении и ударила сломавшуюся машину.

Сидевшему за рулем Tesla человеку, чье имя не сообщается, выдали повестку в суд за безрассудное вождение. В результате произошедшего никто не получил серьезных травм.

В полиции подчеркнули, что до сих пор не существует полностью автоматизированных или автопилотируемых автомобилей. Производитель Tesla также отмечает, что водителю необходимо постоянно следить за безопасностью и держать руки на руле во время движения.

Это упоминается с целью приблизить время Габриэля Крамера к современности. А то много «экономистов» развелось — всё «экономят», «экономят», «экономят»…

*
Ruby Ludwig Valentin (Mad_and_crazy) писал (а) в ответ на сообщение :

В процессе обучения, Ruby Ludwig Valentin, метод Крамера очень хорош. А уже потом, когда поймёшь, что такое матрица… можно с методом Гаусса сравнить. И ещё с около сотней различных подобных приёмов.

Ведь те двуногие твари, что убивают высшее образование в России и понятия не имеют о Крамере, Гаусе, обучении, образовании. Этих дебилов ведь только дрессировали, откуда им знать о занятиях вменяемых людей?

Источник

Метод Крамера

Общие понятия

Методом Крамера, или как его еще называют, правилом Крамера, является такой способ нахождения неизвестных для заданной системы уравнений. Такой метод используется лишь тогда, когда количество неизвестных равняется числу уравнений системы, иными словами, матрица, образованная из заданной системы уравнений, должна быть квадратной без нулевых строк и ее главный определитель не должен равняться нулю. Рассмотрим теорему Крамера:

Порядок определения неизвестных по методу Крамера включает такие действия:

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Способы расчета определителей матриц

Для расчета определителей матриц, размером более 2х2, применяют различные способы, рассмотрим их подробнее:

1. Метод Гаусса, второе его название – метод понижения порядка определителя. При данном методе матрицу преобразуют к форме треугольника, после этого перемножают составляющие главной диагонали. Стоит отметить, что при применении этого метода запрещено множить или делить строки, или столбцы на числа, не вынося их как множители или делители.

При данном методе можно лишь плюсовать или минусовать строки, или столбцы друг с другом, перед этим перемножив минусуемую строку на нуль. Необходимо также помнить, что во время перестановки столбиков или строк местами, нужно изменять знак матрицы.

2. Правило треугольников или правило Саррюса, которые очень похожи между собой. Для применения правила Саррюса, вначале записывают матрицу, а потом справа от нее снова записывают ее первый и второй столбики.

Числа матрицы и этих столбиков соединяют диагоналями, числа, что лежат на главной и параллельных диагоналях, записывают с плюсом, а числа, что лежат на побочной и параллельных ей диагоналях – с минусом.

Правило треугольников заключается в том, что для расчета детерминанта произведения всех чисел, что соединены на рисунке красной линией слева, записывают с плюсом, а те, что соединены так же справа – с минусом.

Оба способа применимы для матриц величиной 3х3.

3. Для расчета систем линейных арифметических уравнений с четырьмя неизвестными, стоит отметить, что более применимым для расчета определителей является метод Гаусса, либо также применяют метод миноров.

Использование метода Крамера

Метод Крамера применяют для определения неизвестных в системах линейных арифметических уравнений.

Разберем применение метода Крамера для расчета системы уравнений с двумя неизвестными:

\( \begin a_1 x_1+a_2 x_2=b_1 \\ a_3 x_1+a_4 x_2=b_2 \end\)

Преобразуем ее в такую форму:

Рассчитаем главный определитель системы, его так же именуют детерминантом основной матрицы:

Далее, если главный детерминант не равняется нулю, рассчитываем систему линейных уравнений методом Крамера. Для этого рассчитываем все детерминанты, заменяя поочередно столбики основной матрицы столбиками свободных членов:

Затем по формуле Крамера рассчитаем все переменные:

Рассмотрим задачу с конкретными уравнениями. Рассчитаем данную систему уравнений методом Крамера:

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

1. Определим главный детерминант по вышеизложенному принципу:

3. Затем рассчитаем наши неизвестные, применяя формулы Крамера:

Источник

Краткое описание

Широко востребованный метод Крамера активно используется специалистами для решения распространённых алгебраических уравнений (СЛАУ). Итоговая точность полученного результата обусловлена применением определённой математической матрицы, а также некоторыми вспомогательными ограничениями, которые неизбежно накладываются во время доказательства конкретной теоремы.

Если у системы присутствует минимум одно решение, то она называется совместной. Речь касается несовместного примера только в том случае, если многочисленные алгоритмы решения совпадают с пустым множеством. Классическая формула Крамера используется в том случае, если необходимо отыскать верное решение для линейных уравнений. Для получения достоверного результата матрицы должны быть исключительно квадратными. А на практике такой подход означает одинаковое количество уравнений и неизвестных в системе.

Ключевые нюансы

Востребованный в математике метод Крамера для решения систем линейных уравнений можно успешно использовать только в том случае, если ученик хорошо понимает, что такое матрица алгебраических примеров и каким образом она выписывается. В противном случае будет сложно избежать распространённых ошибок. Если необходимые навыки имеются, то в итоге остаётся только правильно запомнить формулы, которые определяют метод Крамера. Чтобы лучше усвоить все тонкости этой темы, необходимо воспользоваться следующими обозначениями:

Практическое применение

Для решения многих математических задач принято использовать теорему Кронекера — Капелли. Если основной определитель G главной матрицы, которая была составлена за счёт коэффициентов уравнений, не равен нулю, тогда система уравнений будет совместна. Но такое решение является единственным. Для поиска верного результата принято вычислять систему через формулу Крамера для линейных уравнений: x i = D i / D.

Метод Крамера основан на нескольких основных нюансах, которые в сочетании друг с другом дают отличный результат:

Разнообразие математических подходов

Немного иные приёмы используются в том случае, когда предстоит работать с определителем матрицы. Если нужно рассчитать правильные данные на основе конструкции с соразмерностью больше чем 2 на 2, тогда можно использовать сразу несколько проверенных временем способов:

Для каждого направления свойственны свои нюансы и правила теории, которые должен знать каждый ученик. В противном случае решить правильно поставленную задачу практически невозможно.

Помощь онлайн-калькуляторов

Созданные программистами программы пользуются огромным спросом даже среди опытных математиков, так как всего за несколько минут можно правильно решить задачу. Многофункциональные онлайн-калькуляторы с подробным решением по методу Крамера позволяют быстро и качественно решить целую систему различных уравнений. Для этого пользователю необходимо правильно указать количество неизвестных величин.

Для быстрого переключения в уравнении с положительных знаков на отрицательные нужно вводить соответствующие числа. Если в задаче отсутствует коэффициент, то на его место в калькулятор вводят ноль. Указывать можно не только числа, но и дроби. К примеру: 4,7 или 1/5.

На специальных сайтах можно решать различные системы уравнений по методу талантливого учёного Крамера в режиме онлайн. Решение будет отображено на экране моментально, к тому же его можно расширить. При решении системы уравнений крайне важно найти определители и присоединить сразу несколько разных матриц. Для существенного сокращения решения эта математическая операция упрощена, что существенно облегчает работу учеников.

Актуальные примеры решения

Единственность арифметических действий с системой при её совместимости обеспечивает условие неравенства нулю основного определителя. Но если сумма точек, которые были возведены в квадрат, строго положительна, то полученный СЛАУ будет несовместим с квадратной матрицей. Такая ситуация может произойти тогда, когда минимум один из присутствующих элементов deti отличён от нуля.

В качестве примера можно рассмотреть задачу, по условиям которой необходимо решить трёхмерную систему ЛАУ, используя для этого формулы Крамера:

Нелишним также будет рассмотреть следующий пример, где ученику нужно определить то, при каких показателях параметра F неравенство формулы | F x — y — 4|+|x + F y + 4| 3 ), а это очень важно в математике.

В распространённых задачах на системы линейных уравнений обязательно встречаются и такие, в которых помимо букв существуют ещё и другие символы. Они обозначают некоторое число (чаще всего действительное). Математики к таким задачам и системам уравнений приводят примеры, которые основаны на поиске общих свойств каких-либо явлений и предметов. Это очень удобно в том случае, если учёными был изобретён какой-либо агрегат или материал, а для описания всех его свойств необходимо решить целую систему линейных уравнений, где вместо коэффициентов используются буквы.

Источник