первый период истории математики
Первый период истории математики – донаучный.
Математика очень древняя наука. Считать и оперировать числами люди умели и раньше. Существуют специально математические тесты, давность которых исчисляется в четыре и более тысяч лет и которые, как теперь можно считать доказанным, представляли уже собой материал для упражнений в школе.
В этот период хотя и существуют уже общие алгоритмы для решения некоторых классов задач, но рассматриваются они только на конкретных примерах. Общие правила пока не формулируются. К этому периоду относится математика первобытных народов и математические знания древних египтян и вавилонян. Познакомившись с содержанием математики этого времени, начинаешь удивляться тому, какие важные и трудные историко-математические задачи могли быть связаны со столь отдаленными временами.
Вторым, естественным периодом в истории математики является история античной греческой математики. В это время математика стала наукой, обладающей основными характерными для нее – вплоть до нашего времени – особенностями. Решаются задачи относящиеся, например, к истории понятий величины и действительного числа, истории теории делимости, предыстории дифференциального и интегрального исчислений, истории алгебры, аналитической геометрии и других разделов и понятий математики. Над которыми и теперь еще работают историки математики. Следует отметить, что и по отношению к этому периоду перед историками математики стоит еще ряд интересных и важных задач.
Третий большой период в истории математики, который естественно назвать периодом элементарной математики, охватывает историю математики у разных народов не всегда одного и того же времени: древних и средневековых Китая и Индии; народов Средней Азии и Кавказа; арабов и средневековых европейцев, вплоть до эпохи Возрождения включительно.
К этому же периоду относятся русские математические рукописи XI – XVI вв.
История математики этого периода в последнее время стала предметом интенсивного научного исследования, и новые данные, особенно связанные с историей математики народов Средней Азии, Китая и Индии, опровергают ряд прочих установившихся среди историков математики неверных представлений.
К четвертому периоду относится история европейской математикиXVI – XVIII столетий, сюда же относят деятельность Петербургской Академии наук в XVIII в. Это период создания буквенных исчислений и математического анализа и связан он с введением в математику переменной величины и общего понятия функции.
Занимаясь вопросами диалектико-материалистического обоснования дифференциального исчисления, К. Маркс в своих математических рукописях посвятил истории дифференциального исчисления этого времени специальный очерк.
Пятый (последний) период – история математики XIX – XXI столетий – или период современной математики. История математики XIX в. представлена в известных трудах великих математиков этого периода: Кеплера, Кавальери, Декарта, Ферма, Паскаля, Гюйгенса, Валлиса, Ньютона, Лейбница, Бернулли (Якова, Ивана, Даниила), Эйлера, Лагранжа, Лапласа и других. Для этого периода характерны пересмотр и расширение всех основных понятий математики, начиная с понятия функции, расширение которого было связано с потребностями теперь уже не только механики и астрономии, но и, особенно, математической физики; разработка теории специальных функций (особенно эллиптических); создание новых, абстрактных, математических дисциплин, таких, как теория инвариантов, теории групп, полей, колец, структур и других алгебраических систем («современная алгебра»), неевклидовы геометрии, теория функций комплексного переменного, теория множеств и теория функций действительного переменного, функциональный анализ, топология; разработка аксиоматического метода и задач обоснования математики, математической логики и теории алгоритмов, математической статистики и теории информации, теории автоматов.
В основу периодизации положены важнейшие математические идеи, результаты и методы, определяющие содержания работ и характерные черты каждого периода.
Таким образом, с развитием производительных сил общества усложняются задачи, которые приходится решать науке, и изменяются условия, в которых она находится. В частности, в условиях подъема производительных сил и победы прогрессивных слоев общества создается обстановка, благоприятствующая развитию науки, и наоборот, господство реакционных классов и их мировоззрения препятствуют ее развитию. Этим объясняется то, что рабовладельческий строй в Риме, почти ничего не давшего для истории математики, так как реакционные силы в частности, юристы постановили «относительно злодеев (преступников), математиков и им подобных», что «обучать искусству геометрии и участвовать в публичных упражнениях в искусстве, столь заслуживающем осуждения, как математика, запрещается», а в средневековом феодальном обществе, также сковывавшем развитие науки, математиков отождествляли с колдунами, что «хороший христианин должен остерегаться математиков и всех тех, кто занимается пустыми пророчествами. Нам угрожает реальная опасность, что математики заключили договор с дьяволом, чтобы затемнить ум и заключить человека в узы ада» (M.Keine.MathematicsinWesternCulture, London, 1954, стр.3).
На уроке истории математики следует отметить важность истории математики для целей преподавания и воспитания молодежи.
Преподаватели знают, что беседы из истории математики оживляют преподавание, повышают интерес к предмету, расширяют их кругозор, знакомят со значением математики для развития техники и естествознания.
Поэтому интерес преподавателей школ и высших учебных заведений, а также студентов и учащихся средних школ к истории математики как отечественных, так и зарубежных ученых, не должен быть временным и преходящим.
На уроках математики, следуя программе каждого класса и в соответствии с возрастными особенностями школьников, необходимо помещать серию коротких (на 3 или 5 минут) рассказов из истории математики и ее применении в житейской практике и в науке. Не обязательно выдерживать историческую последовательность и опасаться повторения таких бесед в разных классах на уроках, так как беседы могут быть одинаковыми по теме, но различными по глубине и широте охвата исторического и фактического материала.
Основные этапы становления современной математики
В истории математики принято различать следующие четыре периода:
Период накопления начальных математических сведений заканчивается в Древней Греции VI в до н э он включает в себя происхождение первых натуральных чисел и первых геометрических фигур и тел, математику Древнего Египта, в пирамидах. Важнейшим из дошедших до нас текстов является папирус Райнда содержащий 84 задачи. Носителями научных знаний в Древнем Египте были «писцы» — чиновники состоящие на государственной или храмовой службе. Положение писца в Древнем Египте было привилегированным. Работа в письме не облагалась налогами.
Писцы обучались в специальных школах имелись и высшие писцовые школы, которые торжественно назывались «дома жизни». Зафиксированы должности писца дома документов, писца войска писца царских работ, и т.д.
Математические знания древнего писца позволяли ему производить расчеты при строительных работах, сборе налогов, разделе имущества обмене и распределении продуктов, измерении площадей полей, объем плотин, зернохранилищ и т.п. Все задачи сводятся к вычислениям с конкретными количествами, числа как таковые, и методы решения не становятся еще предметом рассмотрения. Задачи группируются по темам (задачи на емкость, задачи на площадь и т.д.). Каждая задача решается заново, без каких-либо пояснений в числах, лишь иногда дается проверка найденного решения. Математика первого периода в Древнем Египте еще не разделяется на арифметику и геометрию, а представляет собрание примеров решения простейших прикладных задач. В современном мире школьнику и студенту пригодится решебник по алгебре онлайн бесплатно, чтобы не ударить в грязь лицом на уроках.
Другим источником изучения математики первого периода являются математические клинописные тексты Древнего Вавилона обнаруженные при археологических раскопках или найденные в развалинах старых сооружений. Среди разрозненного по музеям мира множества глиняных табличек самых разных эпох (от начала III тысячелетия до н. э.) обнаружено примерно 150 текстов математических задач и приблизительно 200 – с числовыми таблицами. Как и в Древнем Египте, в Древнем Вавилоне носителями научных знаний были «писцы». Они руководили общественными работами, занимались учетом хозяйств — составлением торговых документов и деловой перепиской. Писцы были связаны с храмами, где хранили клинописи. В Древнем Вавилоне специальность писца была в почете. «Тот, кто в совершенстве овладеет искусством писца на табличках, тот будет сверкать подобно солнцу». Писцы относились к правящему классу и нередко писцами становились сыновья правителей. Обучались писцы в академии — «Дом табличек». Писец должен был уметь писать понятно, хорошо знать математику, уметь межевать земли примирять спорщиков.
Задачи, решаемые в вавилонских клинописных текстах также как и в древнеегипетских папирусах, являются чисто практическими вычислительными задачами и излагаются догматически без каких-либо пояснений. Отличие, однако, состоит в том, что искусство счета вавилонян более совершенное, а решаемые математические задачи разнообразнее и сложнее. В Древнем Вавилоне впервые возникла позиционная система счисления, разработана алгебра линейных и квадратных уравнений, решаются простейшие теоретико-числовые задачи. Здесь же мы можем отметить начавшееся разделение математики на арифметику и геометрию, видеть и зачатки алгебры и теории чисел, а также появление и «теоретических» задач, т.е. задач не связанных с практикой, а обусловленные потребностью самой математики.
Математика в древних цивилизациях развивалась очень медленно. Иногда на протяжении целых веков не было никакого прогресса. Тенденция резко изменилась в VI в. до н.э. Так в Древней Греции, математика, за несколько десятилетий, из набора примеров для решения простейших прикладных задач, превращается в строгую дедуктивную науку.
Формируются первые математические понятия и аксиомы, строятся первые математические теории.
Интересно отметить, что греки приписывали радикальные перемены во всех областях общественной жизни, в том числе математики возникшему в то время в Греции, новому демократическому строю.
Обратимся к каждому из названных течений:
Первые математические теории были доказаны учеными: ионийской школы натурфилософии в первой половине VI в. до н.э. Основателем школы считался Фалес — купец политический деятель, философ, астроном и математик, живший в Милете – богатой греческой колонии Малой Азии. Но коренное преобразование математики начинается с Пифагора (VI в. до н.э.). В V в. до н.э. Прокл напишет: «Пифагор преобразовал математику, рассматривал принципы чисто абстрактным образом и исследовал теоремы не с материальной, не с интеллектуальной точки зрения».
В школе Пифагора разрабатывается арифметика целых чисел выстраивается первая теория отношений, имеет место открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, представляется теория делимости основывается геометрическая алгебра, в которой задачи решаются построением с помощью циркуля и линейки. Все это относится к VI-V в. до н. э. Развивая математику пифагорейцев, греки в IV-III в. до н.э. выстраивают теорию канонических сечений (Менехм, Апполоний); создают новую теорию отношений (Евдокс); первый метод пределов (Евдокс); первые интегральные и дифференциальные методы (Архимед). Достижения греческих математиков были приведены в систему в «Началах» Евклида (III в. до н.э.). Со II в. до н.э. начинается спад греческой математики вызванный началом тяжелых разрушительных войн, приведших к созданию Римской империи и только в начале нашей эры греческая математика вновь начинает оживать. Уже в I в. н.э. в Александрии работают такие математики как Герон и Менелай, в середине II в. н.э. – Птоломей, в III в. н. э. создает свою алгебру Диофант.
Значительная часть знаменитой Александрийской библиотеки сгорела в I в н.э. при захвате римлянами Александрии и в последующем — христианами-фанатиками, лишь немногие рукописи уцелели и их перевод в VIII в. н.э. послужил толчком развития математики в странах Ислама и Европы.
Второй период развития математики нельзя представить без рассмотрения особенностей эволюции китайской математики. Необходимо отметить, что китайская цивилизация длительное время была почти полностью изолирована от остального мира. Это наложило свой отпечаток и на развитие китайской математики. Жаль, что китайские ученики не могут пользоваться на уроках интернетом, чтобы использовать онлайн решебник по алгебре.
Наиболее древние, дошедшие до нас математические тексты относятся к II в. до н.э. Исторические документы свидетельствуют, что в Китае математике уделялось большое внимание издавна, уже во II-й половине в. до н.э. были поставлены математическое образование и экзамены. В VII-X вв. в Императорской гимназии математика изучалась семь лет. Для занятия места чиновника в Китае требовалось сдать экзамены по математике кроме прочих. В течение многих веков переиздавались «Десять классических трактатов», содержащих основы китайской математики. Однако китайской математике был свойственен догматизм, проявляющийся в неизменности математических произведений – «классических трактатов» со II в до н.э. по IV в н.э. в, то время как греческие математические работы при переписке подвергались значительной обработке, дополнялись, комментировались. Исследования показывают, что математика Древнего и Среднего Китая вплоть до XIV в. развивалась преимущественно как совокупность вычислительных алгоритмов. Наиболее значительные из этих алгоритмов — метод «ФАН-ЧЕН» решение системы линейных уравнений и метод «ТЯНЬ-ЮАНЬ» приближенного решения алгебраических уравнений. Достижение Китайской математики — введение отрицательных чисел.
Необходимо отметить особое место и математики средневековой Индии. Первые индийские математические тексты относятся к VII-V в до н.э. Можно назвать крупнейших индийских математиков V-VII вв. н.э. — Ариабхата (V-VI в н.э.), Брахмапутра (VII в. н.э.), Магавира (IХ в н.э.), Шридхара (IX-Х вв. н.э.), Бхаскара (ХП в н.э.) Уже с первых веков н.э. прослеживается связь математики Индии с математикой Китая. Особенно усилившаяся в период распространения Буддизма и в это же время индийская математика распространяется на территории стран ислама.
Важнейшим достижением индийской математики является: создание арифметики на основе десятичной позиционной системы счисления, разработка тригонометрии, создание алгебраической символики.
В VII в. н.э. сторонники ислама, Халифы, подчинили себе Сирию, Междуречье, Иран, Египет, Среднюю Азию, Северную Африку, а позднее — Испанию, Сицилию и юг Италии, часть Закавказья и часть Индии.
Образование исламского халифата совпало со становлением феодального строя. В этот период образовались научные центры: Багдад — столица халифата, Бухара Хорезм, Каир, Кордова, Исфахан, Марага и многие другие. В IX-Х вв. н.э. работают такие известные математики как Ал-Хорезми, Ал-Беруни, Абу Камил, Ал-Мисри, Хасан ибн Ал-Хасан. А в XI в. н.э.- Омар Хаям, а в ХШ в н.э. — Насир ад-Дин ат-Туси, в ХУ в — Ал—Каши и т.д. Из достижений арабских математиков отметим работы по теории параллельных, алгебре и тригонометрии. Немаловажно было то, что арабские математики переписывали труды греческих математиков, комментировали их и совершенствовали их, переняли у индийской математики их десятичную позиционную систему счисления и все это послужило основой для последующего развития математики в Европе.
Основой развития науки служило интенсивное развитие Ремесел, товарного производства и торговли. Для развития математики большую роль сыграли переводы на латинский язык сочинений арабских математиков, особенно в XI-ХIII вв. Благодаря переводам европейцы знакомятся с трудами Архимеда, Полония, Евклида, Диофанта и других греческих математиков. Важную роль в развитии математики сыграло открытие университетов: древнейшего медицинского в Солерне (ХI в.), юридического в Болонье (1100 г.), Парижского (ХII в.), в XII-ХIII вв. — Оксфордского, Кембриджского (1209 г), затем в Праге (1348 г.), Кракове (1364 г.), в Вене (1365 г.), в Лейпциге (1409 г.), Базен (1469 г.) и т.д. Главными направлениями в университетах были: искусство, богословие, право, медицина.
В течение нескольких веков математика в университетах остается вспомогательной дисциплиной в Европе и это отрицательно сказывалось на знаниях студентов, но, несмотря на это, университеты были основными центрами, распространения математики. Из стен средневековых университетов вышли такие математики как Томас Брадверди в Англии, Николь Орем во Франции, Иоган Мюллер-Региомонтан в Германии, Николай Коперник в Польше и др.
XI-ХVI вв. вошли в историю Европы под названием « эпоха Возрождения », при этом имелось в виду возрождение того уровня культуры, который был достигнут в античном мире. Кроме того, надо отметить, что это период возрождения новой формации — буржуазного общества. Новый тип производства и отношений требует новых технических усовершенствований и изобретений, возрастает торговля, активизируется мореплавание и т.п. Все это ведет к тому, что научные знания становятся необходимым элементом общественной жизни, совершается культурная революция.
Развитию математики, с одной стороны, способствовали чисто практические (прикладные) соображения, а с другой — религиозные традиции утверждавшие, что Вселенная построена богом по математическому плану.
В XV-ХVI вв. математика развивалась, главным образом, в Италии Франции, Германии, а с конца ХVI в. в Голландии, пережившей буржуазную революцию. В эпоху Возрождения математики выходит за пределы знаний унаследованных от греков и народов Востока в это время идет проникновение индийской математики — вводится десятичная позиционная система счисления, вводятся десятичные дроби, отрицательные, иррациональные и мнимые числа, создается развитая алгебраическая символика. Тогда же были решены в радикалах алгебраические уравнения 3-ей и 4-ой степени, разработаны плоская и сферическая геометрия, усовершенствованы вычислительные методы.
Математика становится мощным средством решения многоплановых задач, в математике начинают видеть метод изучения природы.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.
Конспект «История развития математики»
История развития математики
С точки зрения выдающегося советского математика академика Андрея Николаевича Колмогорова, история развития математического знания распадается на четыре этапа:
период зарождения математики (примерно до VI – V вв. до н.э.), на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
период элементарной математики, начинающийся в VI–V вв. до н.э. и завершающийся в конце XVI в. («Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе»;
охватывающий XVII-XVIII вв. период математики переменных величин, «который можно условно назвать также периодом «высшей математики»;
период современной математики – математики XIX-XX I вв., в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм».
1. Зарождение математики. Уже на самых ранних ступенях развития цивилизации необходимость счета общеупотребимых предметов привела к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Затем постепенно вырабатываются приемы выполнения простейших арифметических действий над натуральными числами, возникают системы счисления.
Вавилон. В 1849-1850 гг. в развалинах древнего города Ниневия была найдена древнейшая библиотека. Выяснилось, что почти за 2000 лет до н.э. были составлены таблицы умножения, квадратов последовательных целых чисел. Для решения квадратных уравнений народы Месопотамии разработали систему действий, эквивалентную современной формуле. Но не были найдены рассуждения, приведшие к используемому алгоритму, т. е. математику Древнего Вавилона можно было назвать рецептурной.
Следы вавилонской нумерации сохранились до сих пор: 1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд; аналогично при делении окружности на градусы, минуты, секунды. Такая традиция пришла из астрономии. Вавилоняне проводили систематические наблюдения за звездным небом, составляли календарь, вычисляли периоды обращения Луны и всех планет, могли предсказывать солнечные и лунные затмения. Эти знания астрономии впоследствии перешли к грекам, которые вместе с астрономическими таблицами заимствовали и шестидесятеричную нумерацию.
Египет. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Древнего Египта, относящиеся к началу 2-го тыс. до н. э., состоят из примеров решения отдельных задач или рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые данные в текстах. Эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Математическая теория в смысле системы взаимосвязанных и доказываемых общих теорем вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее, запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. Египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц.
Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объёмов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием.
Появляются первые попытки анализа роли и значения математики в научном познании. Так, например, пифагорейцы считали число основой и началом всего существующего. Они полагали, что задача научного познания состоит в нахождении в вещах внешнего мира закономерностей, присущих числам. На позициях математизации действительности стоял также греческий философ Платон. По его мнению, математические формы являются строительными кирпичиками Вселенной.
Родоначальником применения математики для изучения природных явлений был Архимед, достижения которого в исследованиях механики и физики (архимедов винт, метательные машины, исследования о равновесии и устойчивости плавающих тел) сочетались с прозорливостью в области математики. Его труды – яркий образец развития прикладных математических знаний в древности. В сочинениях Архимеда мы находим также зачатки применения метода интегральных сумм при решении практических задач. Архимед сформулировал и доказал теорему о сумме квадратов членов арифметической прогрессии. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей, объёмов и центров тяжести (шара, параболоида и их сегментов и т.д.); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в III в. до н. э. трансцендентных кривых.
Для математики поздней античности характерно выдвижение на первое место практических вычислительных методов и задач. Это свойственно работам Герона, Птоломея.
Математика в Западной и Центральной Европе стала на путь самостоятельного развития только с наступлением эпохи Возрождения в XVI в. Так, итальянцы Н. Тарталья (ок. 1530) и Л. Феррари (1545) решили в общем виде кубические уравнения и уравнения четвертой степени. В этот же период впервые начинают оперировать с мнимыми числами (Дж. Кардано, Р. Бомбелли). Складывается алгебраическое буквенное исчисление (Виет, 1591г.). В Англии Непер изобрел логарифмы как средство для астрономических вычислений (1614г.), Бриг составил первые таблицы логарифмов. Тогда же в Европе появляется и общая формула бинома Ньютона и т.д.
Математическое образование в России находилось в IX — XIII вв. на уровне наиболее культурных европейских стран. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. Наиболее древнее, известное нам математическое исследование относится к 1130г. и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологическим расчётам, которые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математической части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени.
Период элементарной математики заканчивается в Западной Европе в начале XVII в., когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин.
Вслед за Ньютоном и Лейбницем в области анализа и его приложений большую роль сыграли братья Бернулли, Эйлер, Лагранж, Лаплас и другие крупные математики того времени.
4. Современная математика. Все созданные в XVII и XVIII вв. разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в XIХ и XХ вв. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применения к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако помимо этого количественного роста, с конца XVIII и в начале XIХ вв. в развитии математики наблюдается и ряд существенно новых черт.
В деле обоснования анализа и уточнения его основных понятий важную роль сыграла созданная немецким математиком Г. Кантором (1845-1918) теория множеств.
Таким образом, в результате как внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между множествами, элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п.
Существенная новизна начавшегося в ХIХ в. этапа развития математики состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, например, введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие математики потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых геометрических и алгебраических систем.
В начале ХIХ в. происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными разделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получает широкое развитие механика непрерывных сред. Быстро растут и математические запросы техники. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатываются теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений с частными производными и уравнений математической физики.
Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей. Если в начале ХIХ в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в концу ХIХ и в начале ХХ вв. теория вероятностей получает много новых применений благодаря созданию теории случайных процессов и развитию аппарата математической статистики.
Теория чисел, представлявшая собрание отдельных результатов и идей, с ХIХ в. развивалась в различных направлениях как стройная теория.
Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиков главным образом под углом зрения изучения их логических и аксиоматических основ. Но основными отделами геометрии, где сосредотачиваются наиболее значительные научные силы, становятся дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, риманова геометрия.
Практическое использование результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретического разбора задачи это часто оказывается весьма трудным делом. Зародившиеся в конце ХIХ и в начале ХХ вв. численные методы анализа и алгебры выросли в связи с созданием и использованием ЭВМ в самостоятельную ветвь математики – вычислительную математику. Выдающееся значение для создания кибернетики и современной вычислительной математики имели труды Н.Винера, К Шеннона, Дж. Неймана, русских и советских математиков А.М. Ляпунова, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова и др.
Данный краткий обзор истории развития математических идей и методов и их приложений позволяет сделать следующие обобщения и выводы.
Прежде всего, можно заметить, что в ходе исторического развития происходило постоянное расширение предмета исследования математики, создавались новые понятия, возрастал интерес к анализу основ, взаимозависимостей, способов доказательств.
Второй важный вывод состоит в том, что современная математика переходит от изучения только «пространственных форм и количественных отношений действительного мира» к исследованию скоплений абстрактных математических структур. Уровень абстракции предмета изучения постоянно возрастает.
В ходе развития математики и ее приложений постепенно расширяется их взаимосвязь с практической жизнью и потребностями других наук. Этот процесс развивается в двух направлениях: с одной стороны, усиливается влияние практической жизни и других наук (главным образом естественных) на развитие математики, с другой — расширяется сфера приложений математики, ее средств и методов в различных областях науки и техники. Эти две стороны связи математики с общественной жизнью и с другими науками всегда взаимообусловлены.