Что такое эпсилон в математике в числовой последовательности
Что такое предел? Что такое |Xn-A| Математика Наука
Для начала успокойтесь, я понимаю на носу экзамен, но для математики нужна «холодная голова». Сейчас мы во всем разберемся, все очень просто на самом деле 🙂
Начнем с того, что вы немного запутались в обозначениях. Последовательность принято записывать в фигурных скобках:
Я допускаю, что иногда лектор (учитель) опускает фигурные скобки и обзывает последовательность просто Xn, и тут уже надо понимать из контекста, где речь идет о целой последовательности, а где о ее конкретном элементе (это не сложно, как правило).
Теперь, собственно, предел. Говорим о числовых последовательностях (для нечисловых все тоже самое, только слова другие). Так как нельзя брать предел от числа — это бессмыслица, то нет нужды писать фигурные скобки в пределе : lim
Запись, lim Xn = A, значит, что при стремлении n к бесконечности, то есть вы берете все больше и больше членов последовательности
Вот собственно и все! Теперь вы можете попробовать посмотреть, как работает это определение на простых последовательностях, например:
2)
Обратите внимание, в первом случае предел не принадлежит последовательности, а во втором — принадлежит.
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Определение предела и число эпсилон
 |
1. Предел последовательности.
Цитирую:
2. Геометрический смысл того же предела последовательности:
Заранее благодарен за ответ.
| Заслуженный участник |
 |
| Заслуженный участник |
 |
Последний раз редактировалось ИСН 16.02.2013, 20:14, всего редактировалось 1 раз.
| Заслуженный участник |
 |
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
|
Последний раз редактировалось henehen 16.02.2013, 22:34, всего редактировалось 3 раз(а).
PS. Причём, что самое интересное, такая привычка «объяснять» через левые переменные навроде эпсилонов и дельт сохраняется практически во всех учебниках и методичках, что весьма здорово способствует механическому использованию математики (не вникая ни во что) и убивает напрочь желание учиться.
И вообще, если кто-то мне объяснит человеческим языком на пальцах всю эту эпсилон-дельту технику, то я буду нечеловечески ему благодарен =)
| Заслуженный участник |
|
|
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
что какой эпсилон
Ε, ε (название: э́псилон, греч. έψιλον) — 5-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 5. Происходит от финикийской буквы hé — hé. От буквы «эпсилон» произошли латинская E и кириллическая Е. Название «эпсилон» (греч. Ε ψιλόν — «е простое» ) было введено для того, чтобы отличать эту букву от созвучного сочетания αι.
Использование
Заглавная буква эпсилон в основном не используется как символ, поскольку пишется так же, как и заглавная латинская буква E.
В различных дисциплинах при помощи строчной буквы ε обозначаются:
в математическом анализе — положительное сколь угодно малое вещественное число; см. примеры в статье Предел последовательности;
в алгебре — предельное порядковое число последовательности \omega,\omega^<\omega>,\omega^<\omega^<\omega>>,\dots.
в теории множеств — отношение принадлежности элемента множеству (такое обозначение является устаревшим, сейчас для той же цели используется символ ∈);
в тензорном исчислении — символ Леви-Чивиты;
в теории автоматов — эпсилон-переход;
в физике — угловое ускорение; коэффициент экстинкции оптического поглощения; проводимость среды; электронный захват; относительное удлинение; диэлектрическая проницаемость среды; энергия активации; ЭДС; ε0 — универсальная электрическая постоянная.
в астрономии — пятая (как правило) по яркости звезда в созвездии;
в программировании — точность численного типа данных;
в информатике — пустая строка;
в фонетике — неогубленный гласный переднего ряда средне-нижнего подъёма.
в теории метаболического контроля — эластичность фермента
Что такое эпсилон в математике в числовой последовательности
Когда говорят об эпсилонах или о языке эпсилон-дельта, речь идет вовсе не о секретных кодах Министерства обороны, а о сложном математическом аппарате, который напрямую связан с понятием предела. Первое определение понятию предела сформулировал Бернард Больцано (1781–1848), не получивший, к сожалению, при жизни должного признания. Первым, кто использовал это понятие на практике, был Огюстен Луи Коши (1789–1857), однако окончательное строгое определение предела дал Карл Вейерштрасс. Определение предела на языке эпсилон-дельта является чрезвычайно точным в той части, которая касается делимости на бесконечное множество частей. Хотя это определение очень сложно понять тому, кто не владеет некоторыми математическими знаниями, оно тем не менее долгое время использовалось в учебниках для средней школы. Мы не хотим сказать, что старшеклассники недостаточно умны, чтобы понять его, но не стоит ожидать, что все поймут его с одинаковой легкостью. Во многих учебниках оно приводится мелким шрифтом, и преподаватели обходят его молчанием.
Карл Вейерштрасс на литографии 1895 года. Этот немецкий математик был первым, кто использовал на практике язык эпсилон-дельта.
Переписка, несомненно, является древнейшей формой общения между учеными. С ее помощью формулируется и решается множество задач. По сравнению с другими формами общения письма обладают преимуществом — конфиденциальностью: они адресуются конкретному человеку или группе людей. В виде переписки проходили многие научные дискуссии.
Одной из самых известных стало жаркое противостояние между Ньютоном и Лейбницем об авторстве математического анализа. Абсолютно независимо друг от друга они получили аналогичные результаты, однако Ньютон опубликовал свои работы первым, что дало ему основания обвинить Лейбница в плагиате. Это привело к ожесточенному и абсурдному спору, не имевшему аналогов в истории науки.
Попробуем сделать понятие предела более ясным, несколько упростив его.
По сути оно имеет много общего с понятием накопления. Представим, что перед входом в помещение образовалась очередь. Можно заметить, что люди постепенно становятся ближе ко входу и друг к другу. Это совершенно естественно: изначально, когда в очереди немного людей, они стараются сохранять комфортное расстояние между собой, но по мере того как число людей растет, расстояние между ними уменьшается. Интересно, что мы говорим о двух разных расстояниях, которые, однако, тесно связаны между собой: о расстоянии между началом очереди и входом и о расстоянии между людьми в очереди, которое по мере того как мы приближаемся к концу, увеличивается. Это логично, так как те, кто становится в очередь, стараются сохранять комфортное расстояние между собой, но по мере того как очередь движется вперед, люди чувствуют давление тех, кто находится позади. Можно сказать, что люди скапливаются у входа.
Можно определить степень скопления людей с помощью параметра, который будет описывать, например, изменение расстояния между людьми в очереди по мере приближения к ее началу. Как правило, этот параметр будет постепенно уменьшаться.
В очереди, например у входа в кинотеатр, люди собираются у дверей, где расстояние между ними будет минимальным. По мере отдаления от входа расстояние между людьми увеличивается.
Степень скопления людей можно определить, выбрав в качестве единицы измерения конкретное расстояние, например 50 см. Если в 50 см от входа находятся люди, это будет соответствовать определенной степени скопления. В зависимости от величины этой единицы измерения число людей будет изменяться. Аналогично можно измерить степень скопления людей, оценив расстояние между ними.
Здесь возникает первый интересный вопрос: когда мы видим скопление людей, логично предположить, что они собрались по какой-то причине, то есть это скопление возникает вокруг определенного места, где происходит что-то важное. Когда мы видим на дороге скопление муравьев, то сразу же понимаем, что где-то поблизости находится еда или вход в муравейник. Еще один пример — скопление машин на автомагистрали, которое служит признаком того, что поблизости находится пункт оплаты проезда или произошла авария. Эти примеры помогут нам понять одно из самых интересных открытий в истории математики. Оно касается существования определенных чисел, которые в течение веков скрывались в мире бесконечно малых.
В предыдущих примерах речь шла о дискретных множествах. Рассмотрим непрерывные величины, так как они допускают возможность бесконечного деления.
Оставим скопления людей и автомашин и рассмотрим возможные множества точек на прямой. Допустим, что дана последовательность точек а 1, a 2, а 3, а n…, которые обладают одним свойством: соседние члены последовательности располагаются все ближе и ближе друг к другу. Очевидно, что они скапливаются вокруг некоторой точки — обозначим ее Р. Допустим, что выбранной нами основной мерой длины является отрезок длиной d. Если мы поместим один конец этого отрезка в точку Р, то увидим, что некоторые точки последовательности окажутся внутри этого отрезка длиной d.
Более того, мы сможем найти точку а n, после которой все точки будут располагаться внутри отрезка d. Если мы уменьшим длину отрезка и сделаем ее равной d’ d, то все точки, начиная с более удаленной, а m, будут располагаться внутри этого нового отрезка. Именно такое значение имеет эпсилон в математическом анализе.
Мы можем гарантировать, что для любой величины d всегда найдется такое n, начиная с которого все элементы последовательности будут находиться внутри отрезка d. В этом случае говорят, что последовательность сходится в точке Р. Это означает следующее: во-первых, эта последовательность бесконечна, во-вторых, расстояние между точкой Р и произвольным членом последовательности может быть сколь угодно малым.
Когда мы работаем с дискретными множествами, все изложенное выше практически неприменимо. Рассмотрим последовательность чисел 100, 50, 25, 12, 6, 3, 1 (можно представить эту последовательность как очередь из семи чисел у входа, которым, например, является ноль). Очевидно, что разница между произвольным членом последовательности и нулем постепенно уменьшается, равно как и разница между двумя соседними членами последовательности. Например, между 100 и 50 находится 49 чисел, между 6 и 3 — всего два. Тем не менее нельзя сказать, что члены последовательности скапливаются в окрестности точки 0. Очевидно, что если мы возьмем отрезок длиной 1/2 и поместим один из его концов в точку 0, на этом отрезке не будет находиться ни один член последовательности. А если мы рассмотрим последовательность
то вблизи нуля всегда будет находиться какой-либо ее член, сколь бы малым ни было расстояние до нуля.
На языке математики эти расстояния называются окрестностями. Окрестность подобна скобкам, в которые заключена точка Р. Основная идея заключается в том, что сколь малыми ни были бы эти скобки (то есть радиус окрестности), в них всегда будут находиться элементы последовательности. В языке эпсилон-дельта основную роль играет соотношение между двумя числами: шириной скобок (радиусом окрестности, который обычно обозначают ε — эпсилон) и числом n, определяющим элемент а n, начиная с которого все элементы последовательности будут располагаться внутри заданной окрестности. На языке математики это звучит так: «Для любого эпсилон существует n, такое что…»
Именно так определяется понятие бесконечного деления, очень близкое к понятию предела. Когда в одном из парадоксов Зенона интервал делится пополам бесконечное число раз, мы формируем последовательность, подобную описанной в предыдущем примере. Теперь мы можем воспользоваться строгим определением перехода к пределу и подтвердить, что последним членом последовательности будет 0. Это не помогает разрешить парадокс, так как ситуация, по сути, не изменилась: точки образуют бесконечную последовательность и скапливаются вблизи нуля, и мы считаем, что существует последняя точка последовательности, 0, но в действительности 0 не является членом этой последовательности. Это утверждение не является оправданным, но четко определено на языке математики. Как говорил Бертран Рассел, «математика может быть определена как доктрина, в которой мы никогда не знаем ни о чем говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим».
В действительности Коши в своем определении предела использовал не точки, которые скапливаются вокруг некоторой данной точки, а точки, которые скапливаются рядом друг с другом. Иными словами, скопление точек, которое рассматривал Коши, подобно скоплениям автомобилей на разных участках дороги, вызванным множеством аварий в разных местах. Ситуация значительно осложняется тем, что если мы рассматриваем исключительно рациональные числа, то прямая, на которой они располагаются, не будет заполнена — на ней останутся промежутки. Например: дана последовательность точек (теперь мы связываем точки на прямой с рациональными числами), которые скапливаются все плотнее и плотнее. Эту ситуацию можно четко определить на языке математики, что сделал Коши. Однако проблема заключается в том, что эти точки могут скапливаться вокруг пустого места на прямой, точнее вокруг точки, которой не соответствует никакое рациональное число.
Так происходит, например, в случае с последовательностью
о которой мы говорили в главе 2 и которая сходится к числу √2, а оно не является рациональным. Разумеется, мы можем построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого будет равна √2, но так мы определим это число геометрически, а во времена Коши математики пытались дать определение числам чисто арифметическими или аналитическими методами. Рациональные числа, по сути, вообще не были определены как числа, пока Дедекинд и, позднее, Кантор не сформулировали для них точной дефиниции. Последний сделал не только это, но и устранил промежутки на числовой прямой, которых в действительности существует бесконечное множество, так как иррациональных чисел, равно как и рациональных, бесконечно много.
Однако Кантор заслуживает отдельной главы, ведь он не только заполнил числовую прямую, устранив эти промежутки, но и первый встретился с бесконечностью лицом к лицу.
Числовая последовательность.
Как найти предел последовательности?
На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности. Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики. Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов. Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре.
Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети:
Понятие числовой последовательности
Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.
Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер: 
С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению 
по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число 
. Тогда говорят, что задана числовая последовательность 
.
Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.
При этом:
называют первым членом последовательности;
– вторым членом последовательности;
– третьим членом последовательности;
…
– энным или общим членом последовательности;
…
На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:
– последовательность положительных чётных чисел: 
Таким образом, запись 
однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям 
в соответствие ставятся числа 
. Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:
Последовательность положительных нечётных чисел 
: 
Ещё одна распространённая последовательность 
: 
Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.
На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть 
– первый член, а 
– шаг арифметической прогрессии. Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
– пятый;
…
И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой 
Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.
Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до 
, нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: 
. В нашем случае: 
Подставьте в формулу 
натуральные номера 
и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности.
Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой 
, где 
– первый член 
, а 
– знаменатель прогрессии 
. В заданиях по матану первый член частенько равен единице.
прогрессия 
задаёт последовательность 
;
прогрессия 
задаёт последовательность 
;
прогрессия 
задаёт последовательность 
;
прогрессия 
задаёт последовательность 
.
Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице.
Прогрессию называют бесконечно убывающей, если 
(последние два случая).
Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора:
Последовательность 
на математическом жаргоне называют «мигалкой»: 
Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел.
А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, 
задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»: 
Факториал: 
Всего лишь свёрнутая запись произведения: 
Отнюдь не графомания, пригодится для задач 😉 Рекомендую осмыслить-запомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =)
Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни:
Разберёмся с последовательностью 
.
Сначала подставим в энный член значение 
и внимательно проведём вычисления: 
Далее подставим в общий член 
: 
Потом подставим следующий номер 
: 
Четвёрку: 
Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать: 
и так далее… пока разогреется самый последний чайник!
Понятие предела последовательности. Простейшие примеры
Для лучшего осмысления нижеследующей информации желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Конечно, в стандартном курсе математического анализа сначала рассматривают предел последовательности и только потом предел функции, но дело в том, что о самой сущности предела я уже подробно рассказывал. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее.
Впрочем, дальше могут читать все-все-все, однако если у вас возникнет непонимание или недопонимание чего-либо, то, пожалуйста, начните с пределов функций.
Пригласим на танец незамысловатую подругу 
: 
Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом: 
Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.
В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл:
Изобразим на числовой прямой члены последовательности 
и симметричную относительно нуля (предела) 
-окрестность: 
Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число 
является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной 
-окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность.
Последовательность 
тоже бесконечно малА: 
с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа.
Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример: 
Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке».
Если у последовательности 
существует конечный предел 
, то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при 
). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа:
Последовательности 
являются бесконечно большими, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»: 
Арифметическая прогрессия с первым членом 
и шагом 
тоже бесконечно великА: 
К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу 
бесконечно добавляется 
. Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом.
У последовательностей 
схожая судьба: 
Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА: 
Если знаменатель геометрической прогрессии 
, то последовательность бесконечно великА: 
Если же 
, например, 
, то предела 
вообще не существует, так как члены 
без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно.
После небольшого разоблачения 
становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе.
Действительно, для последовательности 
легко подобрать 
-окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ 
-окрестность своего предела. Вывод: предела 
не существует.
Факториал 
является бесконечно большой последовательностью: 
Причём, растёт он как на дрожжах, так, 
представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор.
С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры:
Как найти предел последовательности?
А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции: 
В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров 
.
В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.
Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.
По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.
Начнём с прогрессий:
Найти предел последовательности 
Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов: 
Так как 
, то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле 
.
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 
. В данном случае: 
– первый член, 
– знаменатель прогрессии.
Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби:
Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел 
Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости 
в числителе потребуется применить формулу суммы 
первых членов арифметической прогрессии: 
, где 
– первый, а 
– энный член прогрессии.
Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость 
– одна из самых популярных.
И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций!
Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры № 1-3 урока Пределы. Примеры решений.
А может быть что-нибудь посложнее наподобие 
? Ознакомьтесь с Примером № 3 статьи Методы решения пределов.
С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн».
Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.
Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость 
. Как решать пределы вроде 
можно узнать из Примеров № 11-13 той же статьи.
Чтобы разобраться с пределом 
, обратитесь к Примеру № 7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.
Следующие четыре примера (№ 3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:
Найти предел последовательности 
Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии: 
(1) В числителе дважды используем формулу 
.
(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.
(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на 
(«эн» в старшей степени).
Как видите, ничего сложного.
Найти предел последовательности 
Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.
В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:
Найти предел последовательности 
Решение оформим по той же схеме: 
(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».
(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: 
и выбираем последовательность с наибольшим основанием: 
. В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на 
.
(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку 
является бесконечно убывающей геометрической прогрессией 
, то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: 
. Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.
Найти предел последовательности 
Это пример для самостоятельного решения.
Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:
Найти предел последовательности 
Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» 
нужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: 
.
Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.
Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата: 
Очевидно, что последним множителем в произведении будет 
.
Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 
Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: 
.
Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь: 
Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом: 
С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.
Оформляем решение: 
(1) Расписываем факториалы
(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение 
. Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.
(3) Сокращаем числитель и знаменатель на 
…. …хммм, флуда тут и впрямь много.
(4) Упрощаем числитель
(5) Сокращаем числитель и знаменатель на 
. Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.
Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения: 
Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.
Найти предел последовательности 
Это пример для самостоятельного решения.
Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи № 2-6).
Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.
Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.
Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках.
Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.
Найти предел последовательности 
Решение: последовательность 
– ограничена: 
, а последовательность 
– бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме: 
Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем.
Найти предел последовательности 
Это пример для самостоятельного решения.
Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс:
Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!
Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы:
Найти предел последовательности 
Решение: неопределённость 
можно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей: 
(1) Используем формулу 
.
(2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.
(3) Неопределённость 
не устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на 
и, чтобы ничего не изменилось, домножаем на 
.
(4) Используем первый замечательный предел 
, при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает 
, которая, понятно, стремится к нулю при 
.
Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности: 
Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной:
при 
.
В данном случае 
Найти предел последовательности 
Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.
Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах.
В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:
Как найти предел знакочередующейся последовательности?
Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа 
.
Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»?
И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон:
Найти предел последовательности 
Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности 
, которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить 
, нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»: 
Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел: 
Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока.
Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей 
.
Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и 
, то 
.
Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности 
получен бесконечный результат 
(или если предела нет), то у последовательности 
предела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с 
.
Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =)
Пример 2: Решение: 
Найдём предел последовательности: 
Используем формулу суммы 
первых членов арифметической прогрессии 
.
В данном случае 
Пример 4: Решение: 
Пример 6: Решение: 
Пример 8: Решение: 
Пример 10: Решение: последовательность 
– ограничена: 
, а последовательность 
, значит, по соответствующей теореме: 
Пример 12: Решение: 
Заменим бесконечно малую эквивалентной: 
при 
.
В данном примере 
. 
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам